Examen blanc n°4 — 2ᵉ Bac Sciences Économiques

Exercice 1 : Dénombrement et probabilités conditionnelles (6 points)

Une enquête menée auprès des clients d'une banque montre que :

• $60\%$ des clients possèdent une carte de crédit ;
• parmi les clients possédant une carte de crédit, $70\%$ utilisent l'application mobile ;
• parmi les clients ne possédant pas de carte de crédit, $40\%$ utilisent l'application mobile.

On choisit un client au hasard. On note $C$ l'événement « le client possède une carte de crédit » et $M$ l'événement « le client utilise l'application mobile ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer $P(C\cap M)$.
3. Montrer que $P(M)=0{,}58$.
4. Un client utilise l'application mobile. Calculer la probabilité qu'il possède une carte de crédit (arrondir à $10^{-3}$).

Exercice 2 : Suites numériques (5 points)

On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :

$U_{n+1}=\dfrac{1}{2}U_n+3$.

On pose, pour tout entier $n$, $V_n=U_n-6$.

1. Calculer $U_1$ et $U_2$.
2. Montrer que la suite $(V_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
3. Exprimer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} U_n$.

Exercice 3 : Étude de fonction et coût marginal (5 points)

Une entreprise produit $x$ centaines d'articles ($0 \lt x \leq 10$). Le coût total de production, en milliers de dirhams, est donné par :

$C(x)=x^{3}-6x^{2}+15x$.

1. On appelle coût marginal la dérivée $C'(x)$. Calculer $C'(x)$.
2. Montrer que $C'(x) \gt 0$ pour tout $x$ de $]0\,;\,10]$ et en déduire le sens de variation de $C$.
3. Le coût moyen est défini par $C_m(x)=\dfrac{C(x)}{x}$. Montrer que $C_m(x)=x^{2}-6x+15$.
4. Déterminer la valeur de $x$ qui minimise le coût moyen et calculer ce coût moyen minimal.

Exercice 4 : Logarithme, exponentielle et intégrale (4 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-3e^{x}+2=0$. (On pourra poser $X=e^{x}$.)
2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $]0\,;\,+\infty[$.
3. En déduire que $f$ admet un maximum sur $]0\,;\,+\infty[$ et préciser sa valeur.
4. Calculer l'intégrale $\displaystyle I=\int_{1}^{e} \dfrac{\ln(x)}{x}\,dx$.