Généralités sur les fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

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Contenu du cours

I. Domaine de définition

Définition

Le domaine de définition $D_{f}$ d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.

Règles fondamentales

Dénominateur : doit être $\neq = 0$
Racine carrée $u$ : $u \geq 0$
Logarithme ln(u) : $u > 0$ (hors programme 1BAC sauf rappels)
Polynôme : défini sur $R$

Exemple

$f (x) = \frac{x - 1}{x - 3}$ . Conditions : $x - 1 \geq 0$ et $x - 3 \neq = 0$ , soit $x \geq 1$ et $x \neq = 3$ . Donc $D_{f} = [1; 3 [\cup] 3; + \infty [$ .

II. Égalité de deux fonctions

Deux fonctions f et g sont égales si et seulement si :

$D_{f} = D_{g}$ (mêmes domaines)
$\forall x \in D_{f}, f (x) = g (x)$

Attention : $f (x) = x$ et $g (x) = \frac{x ^{2}}{x}$ ne sont PAS égales car $D_{f} = R$ mais $D_{g} = R^{*}$ (on exclut 0).

III. Représentation graphique

La courbe représentative $C_{f}$ dans un repère $(O, i, j)$ est l'ensemble des points $M (x; f (x))$ pour $x \in D_{f}$ .

Translations et symétries

$g (x) = f (x) + k$ : translation verticale de $C_{f}$ de vecteur $k j$
$g (x) = f (x + a)$ : translation horizontale de vecteur $- a i$
$g (x) = - f (x)$ : symétrie par rapport à l'axe (Ox)
$g (x) = f (- x)$ : symétrie par rapport à l'axe (Oy)
$g (x) = ∣ f (x) ∣$ : on rabat la partie sous (Ox) au-dessus

IV. Parité

Définitions

Soit f définie sur $D_{f}$ tel que $D_{f}$ est symétrique par rapport à 0 (c'est-à-dire : $\forall x \in D_{f}, - x \in D_{f}$ ).

f paire : $\forall x \in D_{f}, f (- x) = f (x)$ . Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe (Oy).
f impaire : $\forall x \in D_{f}, f (- x) = - f (x)$ . Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O.

Exemples : $x^{2}$ paire ; $x^{3}$ impaire ; cos paire ; sin impaire.

V. Périodicité

Définition

f est périodique de période T ( $T > 0$ ) si :

$\forall x \in D_{f}, x + T \in D_{f}$
$\forall x \in D_{f}, f (x + T) = f (x)$

Pour étudier f, il suffit alors de l'étudier sur un intervalle de longueur T.

Exemples : cos et sin sont $2 π$ -périodiques ; tan est $π$ -périodique.

VI. Monotonie et taux d'accroissement

Définitions

Soit $I \subseteq D_{f}$ . f est dite :

croissante sur I si : $\forall x, y \in I, x \leq y \Rightarrow f (x) \leq f (y)$
décroissante sur I si : $\forall x, y \in I, x \leq y \Rightarrow f (x) \geq f (y)$
constante sur I si : $\forall x \in I, f (x) = c$

Taux d'accroissement

Pour $x_{1} \neq = x_{2}$ dans $D_{f}$ , le taux d'accroissement est :

$τ = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$

Si $τ > 0$ sur I $\Rightarrow$ f strictement croissante sur I
Si $τ < 0$ sur I $\Rightarrow$ f strictement décroissante sur I

VII. Extrema

Maximum sur I : $\exists x_{0} \in I, \forall x \in I, f (x) \leq f (x_{0})$ . On note max = $f (x_{0})$ , atteint en $x_{0}$ .
Minimum sur I : $\exists x_{0} \in I, \forall x \in I, f (x) \geq f (x_{0})$ .

f majorée : $\exists M, \forall x, f (x) \leq M$ . f minorée : $\exists m, \forall x, f (x) \geq m$ . f bornée : majorée et minorée, soit $\exists M, \forall x, ∣ f (x) ∣ \leq M$ .

VIII. Opérations sur les fonctions

Soit f, g deux fonctions et $λ \in R$ .

$(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ , définie sur $D_{f} \cap D_{g}$
$(λ \cdot f) (x) = λ \cdot f (x)$ , définie sur $D_{f}$
$(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$ , définie sur $D_{f} \cap D_{g}$
$(f / g) (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}$ , définie sur ${x \in D_{f} \cap D_{g} : g (x) \neq = 0}$

Somme de fonctions monotones

f et g croissantes sur I $\Rightarrow$ f + g croissante sur I
f et g décroissantes sur I $\Rightarrow$ f + g décroissante sur I
f et g croissantes $\geq 0$ sur I $\Rightarrow$ f $\cdot$ g croissante sur I

IX. Composition de fonctions

Définition

Soient $f : I \to R$ et $g : J \to R$ avec $f (I) \subseteq J$ . La composée $g \circ f$ est définie par :

$(g \circ f) (x) = g (f (x))$ , pour $x \in I$

Monotonie de la composée

Soit f monotone sur I et g monotone sur f(I) :

Si f et g sont de même sens de variation $\Rightarrow$ $g \circ f$ est croissante.
Si f et g sont de sens de variation opposés $\Rightarrow$ $g \circ f$ est décroissante.

Exemple

$h (x) = x^{2} + 1$ . Posons $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (u) = u$ . On a $h = g \circ f$ .

Sur $] - \infty, 0]$ : f décroissante ( $\geq 1$ ) et g croissante $\Rightarrow$ h décroissante.

Sur $[0, + \infty [$ : f croissante et g croissante $\Rightarrow$ h croissante.

📈 Figure clé

Courbe de

f (x) = x^{2}

(fonction paire, sommet en

O

)

🔑 Formules clés à retenir

Domaine : dénominateur $\neq = 0$ , $u \to u \geq 0$
Paire : $f (- x) = f (x)$ (sym. axe Oy) $\cdot$ Impaire : $f (- x) = - f (x)$ (sym. O)
T-périodique : $f (x + T) = f (x)$
Taux d'accroissement : $τ = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$
Composée : $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ $\cdot$ monotonie : même sens $\Rightarrow$ croissante
f majorée : $\exists M, \forall x, f (x) \leq M$ $\cdot$ bornée : $\exists M, ∣ f (x) ∣ \leq M$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Domaine de $f (x)$ : il faut $f (x) \geq 0$ . Ne pas oublier d'étudier le signe ! Et pour $1/ f (x)$ , il faut $f (x) \neq = 0$ (pas $f (x) > 0$ ).

❌

Tester la parité correctement : vérifier d'abord que $D$ est symétrique par rapport à 0. Si $D = [0, 1]$ , la fonction ne peut être ni paire ni impaire (sauf si on peut la prolonger).

❌

Monotonie de $g \circ f$ : si $f$ croissante et $g$ décroissante → $g \circ f$ DÉCROISSANTE. Deux sens opposés → résultat décroissant. Ne pas systématiquement dire "croissante".

🟢 Astuces de pros

✅

Domaine d'une composée : $D_{f \circ g} = {x \in D_{g} : g (x) \in D_{f}}$ . Commence par trouver le domaine de $g$ , puis filtre les $x$ tels que $g (x)$ soit dans le domaine de $f$ .

✅

Exploiter la parité pour le tableau de variations : si $f$ est paire, son tableau de variations est symétrique par rapport à $x = 0$ . On peut ne l'étudier que sur $[0, + \infty [$ et compléter par symétrie.

💡

Taux d'accroissement = pente de la sécante : le taux $τ = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ est la pente de la droite (AB) sur la courbe. Quand $b \to a$ , $τ$ tend vers $f^{'} (a)$ = pente de la tangente.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Généralités sur les fonctions

Type 1 : Déterminer le domaine de définition

Quand ? On te donne une fonction $f$ et on demande $D_{f}$ (ou « pour quelles valeurs $f (x)$ existe-t-elle ? »).

Repère les « interdits » : un dénominateur $\neq = 0$ , une racine dont le contenu doit être $\geq 0$ , un $ln$ ou $tan$ avec ses conditions.
Écris chaque condition sous forme d'(in)équation et résous-la.
Fais l'intersection de toutes les conditions trouvées.
Conclus avec une réunion d'intervalles : $D_{f} = \dots$

Exemple éclair : $f (x) = \frac{x - 1}{x - 3}$ . Conditions : $x - 1 \geq 0$ et $x - 3 \neq = 0$ , donc $D_{f} = [1; 3 [\cup] 3; + \infty [$ .

Type 2 : Étudier la parité d'une fonction

Quand ? On demande si $f$ est paire, impaire, ou si la courbe a un axe / centre de symétrie.

Vérifie d'abord que $D_{f}$ est symétrique par rapport à $0$ : pour tout $x \in D_{f}$ , on doit avoir $- x \in D_{f}$ . Sinon, $f$ n'est ni paire ni impaire.
Calcule $f (- x)$ en remplaçant $x$ par $- x$ et simplifie.
Si $f (- x) = f (x)$ : $f$ est paire (axe de symétrie $Δ : x = 0$ , l'axe des ordonnées).
Si $f (- x) = - f (x)$ : $f$ est impaire (centre de symétrie $O$ ).
Sinon : ni paire ni impaire.

Exemple éclair : $f (x) = x^{3} - x$ sur $R$ . $f (- x) = - x^{3} + x = - (x^{3} - x) = - f (x)$ : $f$ est impaire.

Type 3 : Montrer une périodicité

Quand ? Fonction trigonométrique, ou énoncé du type « montrer que $T$ est une période de $f$ ».

Vérifie que pour tout $x \in D_{f}$ , $x + T \in D_{f}$ .
Calcule $f (x + T)$ et utilise les formules ( $cos (x + 2 π) = cos x$ , etc.).
Montre que $f (x + T) = f (x)$ : alors $T$ est une période.
Conclusion utile : il suffit d'étudier $f$ sur un intervalle de longueur $T$ , puis on translate.

Exemple éclair : $f (x) = cos (2 x)$ ; $f (x + π) = cos (2 x + 2 π) = cos (2 x) = f (x)$ , donc $π$ est une période.

Type 4 : Étudier les variations (par le taux de variation)

Quand ? Avant la dérivation, on demande de montrer que $f$ est croissante / décroissante sur un intervalle $I$ .

Prends $x_{1}$ et $x_{2}$ dans $I$ avec $x_{1} < x_{2}$ .
Calcule et simplifie le taux $T = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$ (factorise, mets au même dénominateur, parfois multiplie par la quantité conjuguée).
Détermine le signe de $T$ sur $I$ .
Si $T > 0$ : $f$ est strictement croissante ; si $T < 0$ : strictement décroissante sur $I$ .

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ sur $[0; + \infty [$ : $\frac{x _{2}^{2} - x _{1}^{2}}{x _{2} - x _{1}} = x_{1} + x_{2} > 0$ , donc $f$ est croissante.

Type 5 : Comparer deux fonctions / résoudre $f (x) \geq g (x)$

Quand ? On demande la position relative de deux courbes ou de comparer $f$ et $g$ .

Forme la différence $d (x) = f (x) - g (x)$ sur le domaine commun.
Réduis $d (x)$ et étudie son signe (factorisation, tableau de signes).
Là où $d (x) > 0$ : $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ ; où $d (x) < 0$ : en dessous ; où $d (x) = 0$ : points d'intersection.

Exemple éclair : $f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x$ : $d (x) = x^{2} - x = x (x - 1) \geq 0$ sur $] - \infty; 0] \cup [1; + \infty [$ , donc $C_{f}$ y est au-dessus de $C_{g}$ .

Type 6 : Déterminer une fonction composée $g \circ f$

Quand ? On donne $f$ et $g$ et on demande $g \circ f$ , son domaine, ou de décomposer une fonction.

Pour $g \circ f$ : remplace $x$ par $f (x)$ dans l'expression de $g$ : $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ .
Domaine : $x$ doit appartenir à $D_{f}$ et $f (x)$ doit appartenir à $D_{g}$ .
Pour décomposer une fonction donnée, repère la « fonction intérieure » $u$ et la « fonction extérieure » appliquée à $u$ .

Exemple éclair : $f (x) = x + 1$ , $g (x) = x$ : $(g \circ f) (x) = x + 1$ , défini si $x + 1 \geq 0$ , soit $D = [- 1; + \infty [$ .

Type 7 : Déterminer un extremum et l'encadrement de $f$

Quand ? On demande le maximum / minimum de $f$ sur $I$ , ou de montrer un encadrement $m \leq f (x) \leq M$ .

Utilise les variations (tableau) : un changement croissant→décroissant donne un maximum, décroissant→croissant un minimum.
Lis la valeur de l'extremum $f (x_{0})$ et la valeur $x_{0}$ où il est atteint.
Pour un encadrement : appuie-toi sur les variations ou sur une forme canonique pour borner $f$ .
Précise : « $f$ admet un maximum / minimum égal à $\dots$ atteint en $x_{0}$ ».

Exemple éclair : $f (x) = - x^{2} + 4$ : forme canonique déjà donnée, $f (x) \leq 4$ avec égalité en $x = 0$ : maximum $4$ en $0$ .

Généralités sur les fonctions — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

105 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 105 corrigés

Exercices Faciles

22 exercices

Domaine de définition

Facile

Énoncé

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes :

$f (x) = \frac{2 x - 1}{x ^{2} - 4}$
$g (x) = 3 x + 6$
$h (x) = \frac{x - 2}{x - 5}$
$k (x) = \frac{1}{9 - x ^{2}}$

Courbe représentative de

f

Ma réponse

Généralités sur les fonctions

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I. Domaine de définition

Définition

Règles fondamentales

Exemple

II. Égalité de deux fonctions

III. Représentation graphique

Translations et symétries

IV. Parité

Définitions

V. Périodicité

Définition

VI. Monotonie et taux d'accroissement

Définitions

Taux d'accroissement

VII. Extrema

VIII. Opérations sur les fonctions

Somme de fonctions monotones

IX. Composition de fonctions

Définition

Monotonie de la composée

Exemple

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Généralités sur les fonctions

Type 1 : Déterminer le domaine de définition

Type 2 : Étudier la parité d'une fonction

Type 3 : Montrer une périodicité

Type 4 : Étudier les variations (par le taux de variation)

Type 5 : Comparer deux fonctions / résoudre f(x)≥g(x)

Type 6 : Déterminer une fonction composée g∘f

Type 7 : Déterminer un extremum et l'encadrement de f

Généralités sur les fonctions — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Domaine de définition

Parité — identification

Sens de variation par taux d'accroissement

Composition simple

Domaine de définition d'une fonction irrationnelle

Parité : fonctions impaire et paire

Ensemble de définition et parité

Domaine de définition et parité

Domaine de définition et parité

Composée de racine et de cube

Composée de racine et de cube

Lecture d'un tableau de variations

Lecture d'un tableau de variations

Domaine de définition d'une fonction

Comparaison de fonctions

Représentation graphique

Domaine de définition d'une fonction rationnelle

Égalité de fonctions simples

Domaine de définition d'une racine carrée

Restrictions de domaine

Domaine de définition avec logarithme

Domaine de définition d'une fonction

Comparaison de deux fonctions

Domaine de définition d'une fonction rationnelle

Domaine de définition avec log

Exercices Intermédiaires

Parité et domaine symétrique

Monotonie de la composée

Fonction bornée — encadrement

Égalité de deux fonctions

Fonction composée g∘f : expression et domaine

Lecture graphique : image, antécédent, extremums

Étude d'une fonction du second degré et composées

Composée d'une racine et d'un cube

Fonction majorée et minorée

Fonction majorée et minorée

Étude d'un trinôme et d'une homographique

Étude d'un trinôme et d'une homographique

Type 5 : Comparer deux fonctions / résoudre $f (x) \geq g (x)$

Type 6 : Déterminer une fonction composée $g \circ f$

Type 7 : Déterminer un extremum et l'encadrement de $f$

Composée $g \circ f$ et domaine de $2 x - x^{2}$

Domaine et encadrement de $x + 2 - x - 1$

Variations de $f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

Composition $f \circ g$ et monotonie

Encadrement et variations de $\frac{x}{x ^{2} + 1}$

Signe et borne de $\frac{x ^{3} + 1}{x ^{3} - 1}$