Généralités sur les fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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📚 Contenu du cours

I. Domaine de définition

Définition

Le domaine de définition D_f d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.

Règles fondamentales

Dénominateur : doit être ≠ 0
Racine carrée √u : u ≥ 0
Logarithme ln(u) : u > 0 (hors programme 1BAC sauf rappels)
Polynôme : défini sur ℝ

Exemple

f(x) = √(x−1)/(x−3). Conditions : x − 1 ≥ 0 et x − 3 ≠ 0, soit x ≥ 1 et x ≠ 3. Donc D_f = [1 ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[.

II. Égalité de deux fonctions

Deux fonctions f et g sont égales si et seulement si :

D_f = D_g (mêmes domaines)
∀x ∈ D_f, f(x) = g(x)

Attention : f(x) = x et g(x) = x²/x ne sont PAS égales car D_f = ℝ mais D_g = ℝ* (on exclut 0).

III. Représentation graphique

La courbe représentative C_f dans un repère (O, i^→, j^→) est l'ensemble des points M(x ; f(x)) pour x ∈ D_f.

Translations et symétries

g(x) = f(x) + k : translation verticale de C_f de vecteur k·j^→
g(x) = f(x + a) : translation horizontale de vecteur −a·i^→
g(x) = −f(x) : symétrie par rapport à l'axe (Ox)
g(x) = f(−x) : symétrie par rapport à l'axe (Oy)
g(x) = |f(x)| : on rabat la partie sous (Ox) au-dessus

IV. Parité

Définitions

Soit f définie sur D_f tel que D_f est symétrique par rapport à 0 (c'est-à-dire : ∀x ∈ D_f, −x ∈ D_f).

f paire : ∀x ∈ D_f, f(−x) = f(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe (Oy).
f impaire : ∀x ∈ D_f, f(−x) = −f(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O.

Exemples : x² paire ; x³ impaire ; cos paire ; sin impaire.

V. Périodicité

Définition

f est périodique de période T (T > 0) si :

∀x ∈ D_f, x + T ∈ D_f
∀x ∈ D_f, f(x + T) = f(x)

Pour étudier f, il suffit alors de l'étudier sur un intervalle de longueur T.

Exemples : cos et sin sont 2π-périodiques ; tan est π-périodique.

VI. Monotonie et taux d'accroissement

Définitions

Soit I ⊆ D_f. f est dite :

croissante sur I si : ∀x, y ∈ I, x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y)
décroissante sur I si : ∀x, y ∈ I, x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f(y)
constante sur I si : ∀x ∈ I, f(x) = c

Taux d'accroissement

Pour x₁ ≠ x₂ dans D_f, le taux d'accroissement est :

τ = [f(x₂) − f(x₁)] / (x₂ − x₁)

Si τ > 0 sur I ⇒ f strictement croissante sur I
Si τ < 0 sur I ⇒ f strictement décroissante sur I

VII. Extrema

Maximum sur I : ∃ x₀ ∈ I, ∀x ∈ I, f(x) ≤ f(x₀). On note max = f(x₀), atteint en x₀.
Minimum sur I : ∃ x₀ ∈ I, ∀x ∈ I, f(x) ≥ f(x₀).

f majorée : ∃M, ∀x, f(x) ≤ M. f minorée : ∃m, ∀x, f(x) ≥ m. f bornée : majorée et minorée, soit ∃M, ∀x, |f(x)| ≤ M.

VIII. Opérations sur les fonctions

Soit f, g deux fonctions et λ ∈ ℝ.

(f + g)(x) = f(x) + g(x), définie sur D_f ∩ D_g
(λ·f)(x) = λ·f(x), définie sur D_f
(f · g)(x) = f(x)·g(x), définie sur D_f ∩ D_g
(f / g)(x) = f(x)/g(x), définie sur {x ∈ D_f ∩ D_g : g(x) ≠ 0}

Somme de fonctions monotones

f et g croissantes sur I ⇒ f + g croissante sur I
f et g décroissantes sur I ⇒ f + g décroissante sur I
f et g croissantes ≥ 0 sur I ⇒ f · g croissante sur I

IX. Composition de fonctions

Définition

Soient f : I → ℝ et g : J → ℝ avec f(I) ⊆ J. La composée g ∘ f est définie par :

(g ∘ f)(x) = g(f(x)), pour x ∈ I

Monotonie de la composée

Soit f monotone sur I et g monotone sur f(I) :

Si f et g sont de même sens de variation ⇒ g ∘ f est croissante.
Si f et g sont de sens de variation opposés ⇒ g ∘ f est décroissante.

Exemple

h(x) = √(x² + 1). Posons f(x) = x² + 1 et g(u) = √u. On a h = g ∘ f.

Sur ]−∞, 0] : f décroissante (≥ 1) et g croissante → h décroissante.

Sur [0, +∞[ : f croissante et g croissante → h croissante.

🔑 Formules clés à retenir

Domaine : dénominateur ≠ 0, √u → u ≥ 0
Paire : f(−x) = f(x) (sym. axe Oy) · Impaire : f(−x) = −f(x) (sym. O)
T-périodique : f(x+T) = f(x)
Taux d'accroissement : τ = [f(b)−f(a)]/(b−a)
Composée : (g∘f)(x) = g(f(x)) · monotonie : même sens ⇒ croissante
f majorée : ∃M, ∀x, f(x) ≤ M · bornée : ∃M, |f(x)| ≤ M

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Domaine de √(f(x)) : il faut f(x) ≥ 0. Ne pas oublier d'étudier le signe ! Et pour 1/f(x), il faut f(x) ≠ 0 (pas f(x) > 0).

❌

Tester la parité correctement : vérifier d'abord que D est symétrique par rapport à 0. Si D = [0, 1], la fonction ne peut être ni paire ni impaire (sauf si on peut la prolonger).

❌

Monotonie de g∘f : si f croissante et g décroissante → g∘f DÉCROISSANTE. Deux sens opposés → résultat décroissant. Ne pas systématiquement dire "croissante".

🟢 Astuces de pros

✅

Domaine d'une composée : Df∘g = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df}. Commence par trouver le domaine de g, puis filtre les x tels que g(x) soit dans le domaine de f.

✅

Exploiter la parité pour le tableau de variations : si f est paire, son tableau de variations est symétrique par rapport à x = 0. On peut ne l'étudier que sur [0, +∞[ et compléter par symétrie.

💡

Taux d'accroissement = pente de la sécante : le taux τ = [f(b)−f(a)]/(b−a) est la pente de la droite (AB) sur la courbe. Quand b→a, τ tend vers f'(a) = pente de la tangente.

Généralités sur les fonctions — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

🟢 Exercices Faciles

6 exercices

Domaine de définition

🟢 Facile

Énoncé

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes :

f(x) = (2x − 1)/(x² − 4)
g(x) = √(3x + 6)
h(x) = √(x − 2) / (x − 5)
k(x) = 1/√(9 − x²)

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Correction détaillée

1. f

Condition : x² − 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 et x ≠ −2. D_f = ℝ \ {−2 ; 2}.

2. g

3x + 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2. D_g = [−2 ; +∞[.

3. h

x − 2 ≥ 0 et x − 5 ≠ 0, soit x ≥ 2 et x ≠ 5. D_h = [2 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[.

4. k

9 − x² > 0 (strict car au dénominateur) ⇔ x² < 9 ⇔ −3 < x < 3. D_k = ]−3 ; 3[.

Parité — identification

🟢 Facile

Énoncé

Étudier la parité des fonctions suivantes (définies sur ℝ) :

f(x) = x⁴ − 3x² + 1
g(x) = x³ − 2x
h(x) = x² + x
k(x) = x · cos(x)

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Correction détaillée

1. f

f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² + 1 = x⁴ − 3x² + 1 = f(x). f est paire.

2. g

g(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x = −(x³ − 2x) = −g(x). g est impaire.

3. h

h(−x) = x² − x. h(−x) ≠ h(x) et h(−x) ≠ −h(x). h n'est ni paire ni impaire.

4. k

k(−x) = (−x)·cos(−x) = −x·cos(x) = −k(x). k est impaire (produit d'une impaire et d'une paire).

Sens de variation par taux d'accroissement

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = x² − 4x + 5 définie sur ℝ. Pour a, b ∈ ℝ avec a ≠ b, calculer τ = [f(b) − f(a)]/(b − a) en fonction de a et b. En déduire le sens de variation de f sur ]−∞ ; 2] et sur [2 ; +∞[.

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Correction détaillée

f(b) − f(a) = b² − 4b + 5 − a² + 4a − 5 = (b² − a²) − 4(b − a) = (b − a)(b + a) − 4(b − a) = (b − a)(a + b − 4)

τ = (b − a)(a + b − 4) / (b − a) = a + b − 4

Sur ]−∞ ; 2]

Si a, b ≤ 2 alors a + b ≤ 4, donc τ ≤ 0 (strict si a, b distincts < 2). f est décroissante sur ]−∞ ; 2].

Sur [2 ; +∞[

Si a, b ≥ 2 alors a + b ≥ 4, donc τ ≥ 0. f est croissante sur [2 ; +∞[.

Minimum : f(2) = 4 − 8 + 5 = 1.

Composition simple

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = 2x + 1 et g(x) = x² − 3. Calculer :

(g ∘ f)(x)
(f ∘ g)(x)
(f ∘ f)(x)
Calculer (g ∘ f)(2) et (f ∘ g)(2). Sont-elles égales ?

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Correction détaillée

1. g ∘ f

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)² − 3 = 4x² + 4x − 2

2. f ∘ g

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x² − 3) = 2(x² − 3) + 1 = 2x² − 5

3. f ∘ f

(f ∘ f)(x) = f(2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3

4. Valeurs en 2

(g ∘ f)(2) = 4×4 + 4×2 − 2 = 16 + 8 − 2 = 22

(f ∘ g)(2) = 2×4 − 5 = 3

Elles sont différentes : la composition n'est pas commutative.

Domaine de définition d'une fonction irrationnelle

🟢 Facile

Énoncé

Déterminer le domaine de définition de la fonction :

f(x) = √(2x − 1) / (x² − 4)

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Correction détaillée

Conditions d'existence

On a besoin de deux conditions :

Condition 1 : expression sous la racine ≥ 0 : 2x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1/2
Condition 2 : dénominateur non nul : x² − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2 et x ≠ −2

Intersection des conditions

La condition 1 donne x ∈ [1/2 ; +∞[. On exclut x = 2 (−2 est déjà exclu car −2 < 1/2).

D_f = [1/2 ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[

Parité : fonctions impaire et paire

🟢 Facile

Énoncé

Étudier la parité des fonctions suivantes (préciser le domaine de définition) :

f(x) = x³ − x
g(x) = x² + 1
h(x) = x² + x + 1

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Correction détaillée

1. f(x) = x³ − x

D_f = ℝ, symétrique par rapport à 0.

f(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −f(x)

Donc f est impaire (sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O).

2. g(x) = x² + 1

D_g = ℝ, symétrique par rapport à 0.

g(−x) = (−x)² + 1 = x² + 1 = g(x)

Donc g est paire (sa courbe est symétrique par rapport à l'axe (Oy)).

3. h(x) = x² + x + 1

D_h = ℝ, symétrique par rapport à 0.

h(−x) = x² − x + 1. h(−x) ≠ h(x) et h(−x) ≠ −h(x).

Donc h n'est ni paire ni impaire.

🟡 Exercices Intermédiaires

6 exercices

Parité et domaine symétrique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = (x² − 1)/(x³ − x).

Déterminer D_f. Est-il symétrique par rapport à 0 ?
Simplifier l'expression de f(x).
Étudier la parité de f.

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1. D_f

x³ − x = x(x − 1)(x + 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ −1.

D_f = ℝ \ {−1 ; 0 ; 1}. Symétrique par rapport à 0 (car −x ∈ D_f ⇔ x ∈ D_f). ✓

2. Simplification

f(x) = (x − 1)(x + 1) / [x(x − 1)(x + 1)] = 1/x (sur D_f)

3. Parité

f(−x) = 1/(−x) = −1/x = −f(x). f est impaire.

Monotonie de la composée

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit h(x) = 1/(x² + 1) définie sur ℝ.

Écrire h comme la composée h = g ∘ f en précisant f et g.
Étudier le sens de variation de f sur ]−∞ ; 0] et [0 ; +∞[.
Étudier le sens de variation de g sur ]0 ; +∞[.
En déduire le sens de variation de h sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0] et [0 ; +∞[.

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Correction détaillée

1. Décomposition

Posons f(x) = x² + 1 et g(u) = 1/u. Alors h(x) = g(f(x)) = 1/(x² + 1). h = g ∘ f. ✓

2. Variation de f

f(x) = x² + 1. Sur ]−∞ ; 0] : f décroissante. Sur [0 ; +∞[ : f croissante. Image : f(x) ≥ 1.

3. Variation de g sur ]0 ; +∞[

g(u) = 1/u est décroissante sur ]0 ; +∞[.

4. Sens de h

Sur ]−∞ ; 0] : f décroissante puis g décroissante → sens opposés… attends, on utilise la règle composée :

Rappel : même sens ⇒ g∘f croissante ; sens opposés ⇒ g∘f décroissante.

Sur ]−∞ ; 0] : f ↘ et g ↘ (même sens "décroissant") ⇒ h croissante.

Sur [0 ; +∞[ : f ↗ et g ↘ (sens opposés) ⇒ h décroissante.

Maximum en x = 0 : h(0) = 1.

Fonction bornée — encadrement

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = x/(x² + 1), définie sur ℝ.

Montrer que pour tout x ∈ ℝ : −1/2 ≤ f(x) ≤ 1/2. (Indication : étudier le signe de (x − 1)² et de (x + 1)²)
Vérifier que f(1) = 1/2 et f(−1) = −1/2.
En déduire que f atteint ses bornes et que f est bornée sur ℝ.

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1. Encadrement

(x − 1)² ≥ 0 ⇔ x² − 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x² + 1 ≥ 2x ⇔ (en divisant par x² + 1 > 0) : 1 ≥ 2x/(x²+1), soit x/(x²+1) ≤ 1/2.

(x + 1)² ≥ 0 ⇔ x² + 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x² + 1 ≥ −2x ⇔ −x/(x²+1) ≤ 1/2, soit x/(x²+1) ≥ −1/2.

Donc −1/2 ≤ f(x) ≤ 1/2 pour tout x ∈ ℝ. ✓

2. Valeurs

f(1) = 1/(1+1) = 1/2 ✓. f(−1) = −1/(1+1) = −1/2 ✓.

3. Conclusion

f atteint son maximum 1/2 en x = 1 et son minimum −1/2 en x = −1.

Comme |f(x)| ≤ 1/2, f est bornée sur ℝ.

Égalité de deux fonctions

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soient les fonctions f, g, h définies par :

f(x) = x² , g(x) = (x√x · √x)/1 , h(x) = x·|x|

Déterminer D_f, D_g, D_h.
Pour chaque paire, dire si les deux fonctions sont égales. Justifier.

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1. Domaines

f : polynôme, D_f = ℝ.

g : √x nécessite x ≥ 0, D_g = [0 ; +∞[. Sur D_g, g(x) = (x√x)(√x) = x · (√x)² = x · x = x².

h : x·|x| définie partout, D_h = ℝ. On a h(x) = x² si x ≥ 0 et h(x) = −x² si x < 0.

2. Comparaisons

f et g : D_f ≠ D_g (ℝ vs [0;+∞[). Donc f ≠ g.

f et h : D_f = D_h = ℝ, mais f(−1) = 1 et h(−1) = −1. Donc f ≠ h.

g et h : D_g ≠ D_h. Donc g ≠ h. (Même si sur [0;+∞[ elles coïncident.)

Fonction composée g∘f : expression et domaine

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soient f(x) = √(x + 1) et g(x) = 2x − 3.

Déterminer D_f et D_g.
Calculer et simplifier (g ∘ f)(x). Préciser son domaine de définition.
Calculer et simplifier (f ∘ g)(x). Préciser son domaine de définition.
Les fonctions g ∘ f et f ∘ g sont-elles égales ?

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1. Domaines

D_f = [−1 ; +∞[ (condition : x + 1 ≥ 0). D_g = ℝ.

2. (g ∘ f)(x) = g(f(x))

(g ∘ f)(x) = g(√(x+1)) = 2√(x+1) − 3

D_g∘f = [−1 ; +∞[ (il faut que x ∈ D_f et f(x) ∈ D_g = ℝ)

3. (f ∘ g)(x) = f(g(x))

(f ∘ g)(x) = f(2x−3) = √((2x−3) + 1) = √(2x−2)

Condition : 2x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1. D_f∘g = [1 ; +∞[

4. Égalité ?

Non, car D_g∘f = [−1 ; +∞[ ≠ [1 ; +∞[ = D_f∘g. De plus les expressions sont différentes.

g ∘ f ≠ f ∘ g : la composition n'est pas commutative en général.

Lecture graphique : image, antécédent, extremums

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une courbe C_f représentant une fonction f est donnée. D'après sa lecture graphique, on observe :

f passe par les points A(−2 ; 3), B(0 ; 1), C(1 ; 0), D(3 ; −2), E(4 ; 1)
f atteint un maximum en x = −2 avec f(−2) = 3
f atteint un minimum en x = 3 avec f(3) = −2

Quel est l'image de 0 par f ? l'image de 4 ?
Quels sont les antécédents de 1 par f ?
Sur quel intervalle f est-elle décroissante d'après le graphe ?
f admet-elle un axe de symétrie d'après ces données ? Justifier.

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1. Images

f(0) = 1 (point B(0;1)). f(4) = 1 (point E(4;1)).

2. Antécédents de 1

On cherche x tel que f(x) = 1. D'après les points donnés : f(0) = 1 et f(4) = 1.

Les antécédents de 1 sont x = 0 et x = 4.

3. Sens de variation

Le maximum est en x = −2 et le minimum en x = 3, donc f est décroissante sur [−2 ; 3].

4. Symétrie

f(0) = f(4) = 1, ce qui suggère une symétrie autour de x = 2. Vérifions : f(−2) = 3 et si la symétrie existait, f(6) devrait valoir 3. On ne peut pas conclure sans plus de points, mais les données sont compatibles avec une symétrie d'axe x = 1 (milieu de −2 et 4) non confirmée par le minimum en 3.

On ne peut pas conclure à une symétrie avec les données disponibles.

🔴 Exercices Difficiles

6 exercices

Translation et symétries graphiques

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = x² et C_f sa courbe dans le repère (O, i^→, j^→). On définit :

g(x) = (x − 3)² + 2 , h(x) = −f(x) + 4 , k(x) = f(−x + 1)

Exprimer g, h, k en termes de translations/symétries de C_f. Préciser les vecteurs ou axes.
Donner le sommet de chacune des paraboles g, h, k.
Étudier la parité de g(x + 3) − 2.

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Correction détaillée

1. Transformations

g(x) = (x − 3)² + 2 = f(x − 3) + 2 : translation de C_f de vecteur 3·i^→ + 2·j^→.

h(x) = −f(x) + 4 : symétrie par rapport à (Ox) puis translation verticale de 4·j^→ (on obtient une parabole "tournée vers le bas" de sommet (0 ; 4)).

k(x) = f(−x + 1) = f(−(x − 1)) : symétrie par rapport à (Oy) appliquée à C_f (qui redonne C_f car f paire) puis translation de 1·i^→. Donc k a même courbe que x ↦ f(x − 1) = (x − 1)².

2. Sommets

g : sommet (3 ; 2). h : sommet (0 ; 4). k : sommet (1 ; 0).

3. Parité de ψ(x) = g(x + 3) − 2

ψ(x) = ((x + 3) − 3)² + 2 − 2 = x². ψ est paire (symétrique par rapport à (Oy)).

Composée et monotonie — étude

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = √(x − 2) et g(x) = x² − 4x + 5.

Déterminer D_f et D_g.
Montrer que g(x) = (x − 2)² + 1 pour tout x ∈ ℝ. En déduire la variation de g.
Déterminer le domaine de f ∘ g et donner son expression.
Étudier le sens de variation de f ∘ g sur ]−∞ ; 2] et sur [2 ; +∞[.

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Correction détaillée

1. Domaines

D_f = [2 ; +∞[. D_g = ℝ.

2. Forme canonique de g

g(x) = x² − 4x + 4 + 1 = (x − 2)² + 1.

g décroissante sur ]−∞ ; 2], croissante sur [2 ; +∞[, minimum g(2) = 1.

3. Domaine et expression de f ∘ g

(f ∘ g)(x) existe ⇔ g(x) ∈ D_f, soit g(x) ≥ 2 ⇔ (x − 2)² + 1 ≥ 2 ⇔ (x − 2)² ≥ 1 ⇔ |x − 2| ≥ 1 ⇔ x ≤ 1 ou x ≥ 3.

D_f∘g = ]−∞ ; 1] ∪ [3 ; +∞[

(f ∘ g)(x) = √((x − 2)² + 1 − 2) = √((x − 2)² − 1)

4. Monotonie

Sur ]−∞ ; 1] : g décroissante (valeurs ≥ 2) et f croissante → sens opposés → f ∘ g décroissante.

Sur [3 ; +∞[ : g croissante (valeurs ≥ 2) et f croissante → même sens → f ∘ g croissante.

Décomposition paire + impaire

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f une fonction définie sur ℝ. On pose pour tout x ∈ ℝ :

p(x) = [f(x) + f(−x)] / 2 et q(x) = [f(x) − f(−x)] / 2

Montrer que p est paire et q est impaire.
Montrer que f = p + q. En déduire que toute fonction définie sur ℝ s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
Appliquer à f(x) = x³ + 2x² − x + 5 : déterminer p et q.

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Correction détaillée

1. Parité

p(−x) = [f(−x) + f(x)]/2 = p(x) : p paire. ✓

q(−x) = [f(−x) − f(x)]/2 = −q(x) : q impaire. ✓

2. Décomposition

p(x) + q(x) = [f(x) + f(−x) + f(x) − f(−x)]/2 = f(x). ✓

Unicité : supposons f = p₁ + q₁ = p₂ + q₂ avec p_i paire et q_i impaire.

En évaluant en x et −x et en additionnant/soustrayant : p₁ = p₂ et q₁ = q₂. ✓

3. Application

f(x) = x³ + 2x² − x + 5. f(−x) = −x³ + 2x² + x + 5.

p(x) = [f(x) + f(−x)]/2 = (2·2x² + 2·5)/2 = 2x² + 5 (partie paire).

q(x) = [f(x) − f(−x)]/2 = (2x³ − 2x)/2 = x³ − x (partie impaire).

Vérification : (2x² + 5) + (x³ − x) = x³ + 2x² − x + 5 = f(x). ✓

Parité, périodicité et conséquences graphiques

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f une fonction définie sur ℝ, paire et périodique de période T = 4.

Que signifie « f est paire » ? « f est périodique de période 4 » ? Quelles symétries cela implique-t-il sur la courbe C_f ?
On sait que f(1) = 3, f(2) = −1, f(0) = 5. Calculer f(−1), f(3), f(5), f(−3), f(7).
Montrer que si f est paire et de période T, alors f(T/2) = f(−T/2) = f(T/2). En déduire, si T = 4, que f est également déterminée par ses valeurs sur [0 ; 2].

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Correction détaillée

1. Définitions et symétries

Paire : f(−x) = f(x) pour tout x ∈ ℝ. Courbe symétrique par rapport à l'axe (Oy).

Période T=4 : f(x+4) = f(x) pour tout x ∈ ℝ. Courbe invariante par translation de vecteur 4u^→_x.

2. Calcul des valeurs

f(−1) = f(1) = 3 (parité).

f(3) = f(3−4) = f(−1) = f(1) = 3 (période puis parité).

f(5) = f(5−4) = f(1) = 3 (période).

f(−3) = f(−3+4) = f(1) = 3 (période).

f(7) = f(7−4) = f(3) = 3 (période).

f(2) = −1 (donné). f(−2) = f(2) = −1 (parité).

3. Réduction au domaine [0;2]

Pour tout x ∈ ℝ : f est connue sur [0;2] ⇒ sur [−2;0] par parité (f(−x)=f(x)) ⇒ sur [−2;2] ⇒ sur tout ℝ par période 4. Donc f est entièrement déterminée par ses valeurs sur [0;2]. ∎

Taux de variation et interprétation géométrique

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = x² − 2x + 3.

Calculer le taux de variation de f entre x = 1 et x = 1 + h (h ≠ 0). Simplifier.
Que représente géométriquement ce taux de variation ?
Calculer la limite quand h → 0. Que représente cette limite ?
Écrire l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse x = 1.

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Correction détaillée

1. Taux de variation

f(1+h) = (1+h)² − 2(1+h) + 3 = 1 + 2h + h² − 2 − 2h + 3 = 2 + h².

f(1) = 1 − 2 + 3 = 2.

Taux = [f(1+h) − f(1)]/h = (2 + h² − 2)/h = h.

2. Interprétation géométrique

Le taux de variation [f(1+h)−f(1)]/h est la pente de la droite sécante à C_f passant par les points de la courbe d'abscisses 1 et 1+h.

3. Limite quand h → 0

lim_h→0 h = 0. Cette limite est le nombre dérivé f'(1), c'est-à-dire la pente de la tangente à C_f au point d'abscisse 1.

4. Équation de la tangente

f'(1) = 0 (pente). f(1) = 2 (ordonnée). Tangente : y = 2 (droite horizontale en (1 ; 2)).

BAC — Fonction composée : étude de f∘g

🔴 Difficile

Énoncé

(Type BAC) Soient f(x) = √x définie sur [0 ; +∞[ et g(x) = x² − 4x + 5.

Déterminer le domaine de définition de f∘g. (Condition : g(x) ≥ 0)
Calculer (f∘g)(x). Simplifier.
Étudier les variations de h = f∘g sur ℝ. (Calculer h'(x) et étudier son signe)
Déterminer le minimum de h et en quel point il est atteint.

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Correction détaillée

1. Domaine de f∘g

g(x) = x² − 4x + 5 = (x−2)² + 1 ≥ 1 > 0 pour tout x ∈ ℝ. Donc g(x) ≥ 0 toujours : D_f∘g = ℝ.

2. Expression de h = f∘g

h(x) = f(g(x)) = √(x²−4x+5) = √((x−2)²+1).

3. Variations de h

h(x) = √(x²−4x+5). h'(x) = (2x−4)/(2√(x²−4x+5)) = (x−2)/√(x²−4x+5).

h'(x) = 0 ⟺ x = 2. h'(x) < 0 pour x < 2 (h décroissante). h'(x) > 0 pour x > 2 (h croissante).

4. Minimum de h

h(2) = √((2−2)²+1) = √1 = 1. Le minimum de h est 1, atteint en x = 2.

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Domaine de définition

Définition

Règles fondamentales

Exemple

II. Égalité de deux fonctions

III. Représentation graphique

Translations et symétries

IV. Parité

Définitions

V. Périodicité

Définition

VI. Monotonie et taux d'accroissement

Définitions

Taux d'accroissement

VII. Extrema

VIII. Opérations sur les fonctions

Somme de fonctions monotones

IX. Composition de fonctions

Définition

Monotonie de la composée

Exemple

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Généralités sur les fonctions — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Domaine de définition

1. f

2. g

3. h

4. k

Parité — identification

1. f

2. g

3. h

4. k

Sens de variation par taux d'accroissement

Sur ]−∞ ; 2]

Sur [2 ; +∞[

Composition simple

1. g ∘ f

2. f ∘ g

3. f ∘ f

4. Valeurs en 2

Domaine de définition d'une fonction irrationnelle

Conditions d'existence

Intersection des conditions

Parité : fonctions impaire et paire

1. f(x) = x³ − x

2. g(x) = x² + 1

3. h(x) = x² + x + 1

🟡 Exercices Intermédiaires

Parité et domaine symétrique

1. Df

2. Simplification

3. Parité

Monotonie de la composée

1. Décomposition

2. Variation de f

3. Variation de g sur ]0 ; +∞[

4. Sens de h

Fonction bornée — encadrement

1. Encadrement

2. Valeurs

3. Conclusion

Égalité de deux fonctions

1. Domaines

2. Comparaisons

Fonction composée g∘f : expression et domaine

1. Domaines

2. (g ∘ f)(x) = g(f(x))

3. (f ∘ g)(x) = f(g(x))

4. Égalité ?

Lecture graphique : image, antécédent, extremums

1. D_f