Géométrie dans l'espace

الهندسة في الفضاء

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Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Positions relatives

Deux droites : parallèles, sécantes, confondues, ou non coplanaires (gauches — ni parallèles, ni sécantes).

Droite et plan : parallèle (d ∩ P = ∅), sécante (d ∩ P = {un point}), ou incluse dans P.

Deux plans : parallèles (P ∩ P' = ∅), confondus, ou sécants (P ∩ P' = une droite).

II. Droite perpendiculaire à un plan

Une droite d est perpendiculaire à un plan P ssi elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de P passant par son pied H.

Conséquences :

  • Si d ⊥ P et d' ∥ d, alors d' ⊥ P.
  • Si d ⊥ P et P ∥ P', alors d ⊥ P'.

Théorème des 3 perpendiculaires : Soit H le pied de la perpendiculaire à P depuis un point S, et Δ une droite de P. Si la projection Δ' de Δ sur P vérifie Δ' ⊥ SH dans P, alors Δ ⊥ (plan SH).

III. Plans et angles dièdres

L'angle dièdre formé par deux plans sécants est l'angle formé par deux demi-droites issues de la droite d'intersection, contenues dans chaque plan et perpendiculaires à cette droite.

Deux plans sont perpendiculaires ssi leur angle dièdre est 90°.

Un plan (P) est perpendiculaire à un autre (P') ssi (P) contient une droite perpendiculaire à (P').

IV. Repère orthonormé de l'espace

Dans un repère (O ; i→, j→, k→), tout point M a des coordonnées (x ; y ; z).

  • Distance : AB = √((xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²)
  • Milieu : I de [AB] : ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2 ; (zA+zB)/2)

Vecteur : AB→ = (xB−xA ; yB−yA ; zB−zA). Norme : ‖AB→‖ = AB.

Produit scalaire : u→(x,y,z)·v→(x',y',z') = xx' + yy' + zz'.

u→ ⊥ v→ ⇔ u→·v→ = 0.

V. Équation cartésienne d'un plan

Un plan (P) de vecteur normal n→(a,b,c) passant par A(x₀,y₀,z₀) a pour équation :

a(x−x₀) + b(y−y₀) + c(z−z₀) = 0 soit ax + by + cz + d = 0

Distance d'un point M₀ à un plan : d(M₀, P) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)

VI. Volumes et surfaces des solides usuels

SolideVolumeAire latérale / totale
Cube (arête a)a³6a²
Pyramide(1/3)·B·hB + Σ(faces lat.)
Cylindre (R, h)πR²h2πR²+2πRh
Cône (R, h)(1/3)πR²hπR²+πRℓ
Sphère (R)(4/3)πR³4πR²

VII. Sphère — équation et intersection

La sphère de centre Ω(a,b,c) et rayon R : (x−a)²+(y−b)²+(z−c)² = R².

Intersection sphère-plan : d = d(Ω, P). Si d < R : cercle de rayon r = √(R²−d²). Si d = R : point de tangence. Si d > R : vide.

🔑 Formules clés à retenir

  • dist(A,B)=√(Δx²+Δy²+Δz²)
  • u→·v→ = xx'+yy'+zz' ; ⊥ ⇔ u→·v→=0
  • Plan : ax+by+cz+d=0 ; normal n→(a,b,c)
  • d(M₀,P) = |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²)
  • V(pyramide)=(1/3)·B·h ; V(sphère)=(4/3)πR³
  • Sphère : (x−a)²+(y−b)²+(z−c)²=R²
  • Théorème des 3 ⊥
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Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

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Plan perpendiculaire ≠ droite perpendiculaire : le vecteur normal d'un plan n→(a,b,c) est perpendiculaire au plan entier, pas juste à une droite. Toute droite de direction n→ est perpendiculaire au plan.

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Théorème des 3 perpendiculaires (mal énoncé) : si une droite (d) est perpendiculaire à une droite (d') du plan, ce n'est PAS forcément qu'elle est ⊥ au plan. Il faut que (d') passe par le pied de la perpendiculaire de (d) au plan.

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Volume de la pyramide : V = (1/3)·B·h, PAS (1/4) ni (1/2). Le facteur 1/3 est propre aux pyramides et cônes (une dimension de moins que le prisme).

🟢 Astuces de pros

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Trouver l'équation d'un plan : tu as le vecteur normal n→(a,b,c) et un point M₀(x₀,y₀,z₀) → équation : a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0, puis développe.

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Intersection droite-plan : paramètre la droite, substitue dans l'équation du plan, résous pour le paramètre t, puis retrouve le point d'intersection.

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Distance point-plan : d(M₀, P) = |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²). La valeur absolue au numérateur est indispensable — la distance est toujours positive !