Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Positions relatives

Deux droites : parallèles, sécantes, confondues, ou non coplanaires (gauches — ni parallèles, ni sécantes).

Droite et plan : parallèle ( $d \cap P = \emptyset$ ), sécante ( $d \cap P = {$ un point $}$ ), ou incluse dans P.

Deux plans : parallèles ( $P \cap P^{'} = \emptyset$ ), confondus, ou sécants ( $P \cap P^{'} =$ une droite).

II. Droite perpendiculaire à un plan

Une droite d est perpendiculaire à un plan P ssi elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de P passant par son pied H.

Conséquences :

Si $d ⊥ P$ et $d^{'} ∥ d$ , alors $d^{'} ⊥ P$ .
Si $d ⊥ P$ et $P ∥ P^{'}$ , alors $d ⊥ P^{'}$ .

Théorème des 3 perpendiculaires : Soit H le pied de la perpendiculaire à P depuis un point S, et $Δ$ une droite de P. Si la projection $Δ^{'}$ de $Δ$ sur P vérifie $Δ^{'} ⊥$ SH dans P, alors $Δ ⊥$ (plan SH).

III. Plans et angles dièdres

L'angle dièdre formé par deux plans sécants est l'angle formé par deux demi-droites issues de la droite d'intersection, contenues dans chaque plan et perpendiculaires à cette droite.

Deux plans sont perpendiculaires ssi leur angle dièdre est $90°$ .

Un plan (P) est perpendiculaire à un autre (P') ssi (P) contient une droite perpendiculaire à (P').

IV. Repère orthonormé de l'espace

Dans un repère $(O; i, j, k)$ , tout point M a des coordonnées $(x; y; z)$ .

Distance : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$
Milieu : I de [AB] : $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$

Vecteur : $A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ . Norme : $∥ A B ∥ = A B$ .

Produit scalaire : $u (x, y, z) \cdot v (x^{'}, y^{'}, z^{'}) = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ .

$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$ .

V. Équation cartésienne d'un plan

Un plan (P) de vecteur normal $n (a, b, c)$ passant par $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ a pour équation :

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ soit $a x + b y + cz + d = 0$

Distance d'un point $M_{0}$ à un plan : $d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

VI. Volumes et surfaces des solides usuels

Solide	Volume	Aire latérale / totale
Cube (arête a)	$a^{3}$	$6 a^{2}$
Pyramide	$\frac{1}{3} \cdot B \cdot h$	$B + Σ$ (faces lat.)
Cylindre (R, h)	$π R^{2} h$	$2 π R^{2} + 2 π R h$
Cône (R, h)	$\frac{1}{3} π R^{2} h$	$π R^{2} + π R ℓ$
Sphère (R)	$\frac{4}{3} π R^{3}$	$4 π R^{2}$

VII. Sphère — équation et intersection

La sphère de centre $Ω (a, b, c)$ et rayon R : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .

Intersection sphère-plan : $d = d (Ω, P)$ . Si $d < R$ : cercle de rayon $r = R^{2} - d^{2}$ . Si $d = R$ : point de tangence. Si $d > R$ : vide.

📈 Figure clé

Repère de l'espace

🔑 Formules clés à retenir

dist(A,B)= $(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} + (Δ z)^{2}$
$u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ ; $⊥$ $\Leftrightarrow$ $u \cdot v = 0$
Plan : $a x + b y + cz + d = 0$ ; normal $n (a, b, c)$
$d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$
$V (pyramide) = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$ ; $V (sph \overset{e}{ˋ} re) = \frac{4}{3} π R^{3}$
Sphère : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$
Théorème des 3 $⊥$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Plan perpendiculaire ≠ droite perpendiculaire : le vecteur normal d'un plan $n (a, b, c)$ est perpendiculaire au plan entier, pas juste à une droite. Toute droite de direction $n$ est perpendiculaire au plan.

❌

Théorème des 3 perpendiculaires (mal énoncé) : si une droite (d) est perpendiculaire à une droite (d') du plan, ce n'est PAS forcément qu'elle est ⊥ au plan. Il faut que (d') passe par le pied de la perpendiculaire de (d) au plan.

❌

Volume de la pyramide : $V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$ , PAS $\frac{1}{4}$ ni $\frac{1}{2}$ . Le facteur $\frac{1}{3}$ est propre aux pyramides et cônes (une dimension de moins que le prisme).

🟢 Astuces de pros

✅

Trouver l'équation d'un plan : tu as le vecteur normal $n (a, b, c)$ et un point $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ → équation : $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ , puis développe.

✅

Intersection droite-plan : paramètre la droite, substitue dans l'équation du plan, résous pour le paramètre $t$ , puis retrouve le point d'intersection.

💡

Distance point-plan : $d (M_{0}, P) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ . La valeur absolue au numérateur est indispensable — la distance est toujours positive !

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Géométrie dans l'espace

Type 1 : Montrer que des points sont coplanaires (ou un point dans un plan)

Quand ? On demande si quatre points sont coplanaires, ou si trois vecteurs sont coplanaires.

Forme trois vecteurs à partir d'un point commun, par exemple $A B$ , $A C$ , $A D$ .
Cherche des réels $α$ et $β$ tels que $A D = α A B + β A C$ : écris l'égalité coordonnée par coordonnée.
Résous le système ; s'il admet une solution, les vecteurs sont coplanaires.
Conclus : si la combinaison existe, les quatre points sont coplanaires.

Exemple éclair : Si $A D = 2 A B - A C$ , alors $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires.

Type 2 : Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Quand ? On veut paramétrer une droite passant par un point et dirigée par un vecteur, ou passant par deux points.

Choisis un point $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ de la droite et un vecteur directeur $u (a; b; c)$ (par exemple $A B$ si deux points sont donnés).
Pour tout point $M (x; y; z)$ de la droite, écris $A M = t u$ avec $t \in R$ .
Traduis en système : $x = x_{A} + t a$ , $y = y_{A} + t b$ , $z = z_{A} + t c$ .
Présente le résultat avec le paramètre $t$ bien identifié.

Exemple éclair : Par $A (1; 0; 2)$ et $u (1; - 1; 3)$ : $x = 1 + t$ , $y = - t$ , $z = 2 + 3 t$ .

Type 3 : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan

Quand ? On donne un point et un vecteur normal, ou trois points non alignés, et on veut $a x + b y + cz + d = 0$ .

Si tu as un vecteur normal $n (a; b; c)$ : le plan a une équation de la forme $a x + b y + cz + d = 0$ .
Si tu as trois points : forme deux vecteurs du plan puis trouve un vecteur normal en cherchant $n$ orthogonal aux deux (système de produits scalaires nuls).
Détermine $d$ en remplaçant un point connu du plan dans l'équation.
Vérifie avec un autre point du plan.

Exemple éclair : Normal $n (1; 2; - 1)$ par $A (0; 0; 3)$ : $x + 2 y - z + d = 0$ avec $- 3 + d = 0$ , donc $x + 2 y - z + 3 = 0$ .

Type 4 : Étudier la position relative de deux plans

Quand ? On demande si deux plans sont parallèles, confondus ou sécants.

Lis les vecteurs normaux $n_{1}$ et $n_{2}$ depuis les équations.
Teste la colinéarité : si $n_{1}$ et $n_{2}$ sont colinéaires, les plans sont parallèles.
Dans ce cas, vérifie si les équations sont proportionnelles : si oui les plans sont confondus, sinon strictement parallèles.
Si les normaux ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants selon une droite (résous le système pour la paramétrer).

Exemple éclair : $x + y + z = 1$ et $2 x + 2 y + 2 z = 5$ : normaux colinéaires, équations non proportionnelles, donc plans strictement parallèles.

Type 5 : Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

Quand ? On veut savoir si une droite est incluse dans un plan, parallèle, ou sécante (et trouver le point d'intersection).

Récupère le vecteur directeur $u$ de la droite et le vecteur normal $n$ du plan.
Calcule $u \cdot n$ : s'il est non nul, la droite coupe le plan en un point.
Si $u \cdot n = 0$ , teste si un point de la droite appartient au plan : si oui la droite est incluse, sinon elle est strictement parallèle.
Pour le point d'intersection, injecte la représentation paramétrique dans l'équation du plan et résous en $t$ .

Exemple éclair : $u (1; 0; 1)$ , plan de normal $n (1; 1; - 1)$ : $u \cdot n = 0$ , donc droite parallèle ou incluse.

Type 6 : Déterminer l'équation d'une sphère

Quand ? On donne un centre et un rayon, ou un diamètre, et on veut l'équation cartésienne de la sphère.

Si centre $Ω (a; b; c)$ et rayon $R$ : écris $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Si on donne un diamètre $[A B]$ : le centre est le milieu de $[A B]$ et le rayon vaut $\frac{A B}{2}$ .
Si l'équation est donnée sous forme développée, regroupe et complète les carrés pour retrouver centre et rayon.
Si la somme obtenue est négative, conclus qu'il n'y a pas de sphère.

Exemple éclair : Centre $(1; - 2; 0)$ , rayon $3$ : $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 9$ .

Type 7 : Position relative d'une sphère et d'un plan

Quand ? On étudie l'intersection d'une sphère et d'un plan, ou on cherche le rayon du cercle d'intersection.

Identifie le centre $Ω$ et le rayon $R$ de la sphère.
Calcule la distance du centre au plan : $d = d (Ω, (P)) = \frac{∣ a x _{Ω} + b y _{Ω} + c z _{Ω} + d ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
Compare $d$ et $R$ : si $d > R$ pas d'intersection, si $d = R$ le plan est tangent, si $d < R$ l'intersection est un cercle.
Pour le rayon du cercle, applique $r = R^{2} - d^{2}$ .

Exemple éclair : $R = 5$ et $d = 3$ : $d < R$ , intersection un cercle de rayon $r = 25 - 9 = 4$ .

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

43 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 43 corrigés

Exercices Faciles

14 exercices

Distance entre deux points de l'espace

Facile

Énoncé

A(1,2,3) et B(4,6,3). Calculer AB et le milieu M de [AB].

Ma réponse

Géométrie dans l'espace

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II. Droite perpendiculaire à un plan

III. Plans et angles dièdres

IV. Repère orthonormé de l'espace

V. Équation cartésienne d'un plan

VI. Volumes et surfaces des solides usuels

VII. Sphère — équation et intersection

📈 Figure clé

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Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

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Méthodes types — Géométrie dans l'espace

Type 1 : Montrer que des points sont coplanaires (ou un point dans un plan)

Type 2 : Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Type 3 : Déterminer l'équation cartésienne d'un plan

Type 4 : Étudier la position relative de deux plans

Type 5 : Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

Type 6 : Déterminer l'équation d'une sphère

Type 7 : Position relative d'une sphère et d'un plan

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Distance entre deux points de l'espace

Positions relatives de droites et plans

Vecteurs coplanaires et non coplanaires dans un parallélépipède

Vecteurs coplanaires et non coplanaires d'un parallélépipède

Intersection d'une droite et d'un plan

Distance entre un point et un plan

Angle dièdre entre deux plans

Propriété des perpendiculaires

Distance entre deux points dans l'espace

Position relative de deux droites

Distance entre un point et un plan

Milieu d'un segment dans l'espace

Plans parallèles

Distance entre un point et un plan

Exercices Intermédiaires

Positions relatives — cube

Perspective cavalière d'un cube — lecture de figure

Quatre points coplanaires à partir d'une relation vectorielle

Trois vecteurs coplanaires dans un cube (milieux d'arêtes)

Coplanarité et non-coplanarité dans un cube de centre O

Parallélisme de deux droites dans un tétraèdre

Parallélogramme et parallélisme droite-plan dans un tétraèdre

Coplanarité de quatre points par une relation vectorielle

Vecteurs coplanaires dans un cube (milieux d'arêtes)

Parallélisme de droites dans un tétraèdre

Vecteurs coplanaires dans un cube avec points partageant des arêtes

Position relative d'une droite et d'un plan

Intersections de plans

Calcul de l'angle dièdre

Calcul de distance entre deux points

Exercices Difficiles

Section d'un cube par un plan

Équation de plan et distance

Points alignés dans un cube (décomposition vectorielle)

Quatre points coplanaires dans un tétraèdre

Vecteurs coplanaires dans un cube (deux paramètres)

Vecteurs coplanaires et non coplanaires dans un cube de centre O

Alignement de points dans un cube

Coplanarité de quatre points dans un tétraèdre

Calcul de la distance entre deux points

Problème de projection sur un plan

Démonstration de l'orthogonalité

Intersection de deux plans

Position relative de trois plans

Démonstration des conditions de perpendicularité

Exercices supplémentaires

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Quiz — Géométrie dans l'espace

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