Logique mathématique — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Propositions et connecteurs logiques

Définition

Une proposition est un énoncé qui est soit vrai (V), soit faux (F).

Connecteurs logiques

Négation : non P (notée ¬P ou P). Vraie quand P est fausse.
Conjonction : P et Q (notée P ∧ Q). Vraie quand P et Q sont toutes deux vraies.
Disjonction : P ou Q (notée P ∨ Q). Vraie quand au moins l'une est vraie.
Implication : P ⇒ Q. Fausse uniquement quand P est vraie et Q fausse.
Équivalence : P ⇔ Q. Vraie quand P et Q ont la même valeur de vérité.

II. Quantificateurs

∀ (pour tout) : ∀x ∈ E, P(x) signifie que P(x) est vraie pour tout x de E.
∃ (il existe) : ∃x ∈ E, P(x) signifie qu'il existe au moins un x dans E tel que P(x) est vraie.

Négation des quantificateurs

¬(∀x, P(x)) ⇔ ∃x, ¬P(x)
¬(∃x, P(x)) ⇔ ∀x, ¬P(x)

III. Raisonnements mathématiques

Raisonnement direct : On part de l'hypothèse pour arriver à la conclusion.
Contraposée : (P⇒Q) ⇔ (¬Q⇒¬P)
Par l'absurde : On suppose ¬P et on aboutit à une contradiction.
Par récurrence : Initialisation + Hérédité ⇒ ∀n, P(n)
Contre-exemple : Pour réfuter ∀x P(x), il suffit de trouver un x₀ tel que ¬P(x₀).
Disjonction de cas : On étudie tous les cas possibles séparément.

🔑 Formules clés à retenir

¬(P ∧ Q) ⇔ (¬P) ∨ (¬Q)
¬(P ∨ Q) ⇔ (¬P) ∧ (¬Q)
(P⇒Q) ⇔ (¬Q⇒¬P)
¬(∀x, P(x)) ⇔ ∃x, ¬P(x)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

L'implication P⇒Q est fausse uniquement quand P est vraie et Q fausse. Si P est fausse, l'implication est toujours vraie (ex vacuo). "0=1 ⇒ la lune est en fromage" est une implication vraie !

❌

Confondre réciproque et contraposée : réciproque de (P⇒Q) est (Q⇒P) — qui n'est pas toujours vraie. La contraposée (¬Q⇒¬P) est toujours équivalente à (P⇒Q).

❌

Erreur de récurrence : oublier l'initialisation invalide tout le raisonnement. Même si l'hérédité est parfaite, sans initialisation la preuve est incomplète.

🟢 Astuces de pros

✅

Nier un quantificateur : ¬(∀x, P(x)) = ∃x, ¬P(x). Pour réfuter "tout entier est pair", il suffit de trouver UN entier impair.

✅

Choisir son raisonnement : si la contraposée ou l'absurde semble plus simple, utilise-les ! La contraposée est souvent plus naturelle pour les implications avec "si non...".

💡

Raisonnement par l'absurde : suppose la négation de ce qu'on veut prouver, déroule les implications jusqu'à une contradiction évidente (0=1, √2 rationnel, etc.).

Logique mathématique — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

12 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 12 corrigés

🟢 Exercices Faciles

4 exercices

Négation de propositions

🟢 Facile

Énoncé

Écrire la négation de chacune des propositions suivantes :

∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0
∃x ∈ ℝ, x² + x + 1 = 0
∀x ∈ ℝ, x > 0 ⇒ ln(x) > 0
∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N, |u_n - ℓ| < ε

Ma réponse

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Correction détaillée

∃x ∈ ℝ, x² < 0
∀x ∈ ℝ, x² + x + 1 ≠ 0
∃x ∈ ℝ, x > 0 et ln(x) ≤ 0
∃ε > 0, ∀N ∈ ℕ, ∃n ≥ N, |u_n - ℓ| ≥ ε

Contraposée et réciproque

🟢 Facile

Énoncé

Pour chacune des implications suivantes, écrire la contraposée et la réciproque, puis indiquer si elles sont vraies ou fausses :

Si n est pair, alors n² est pair.
Si x > 2, alors x² > 4.
Si x² = 4, alors x = 2.

Ma réponse

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Correction détaillée

Rappel

Pour P ⇒ Q : contraposée = (¬Q ⇒ ¬P) ; réciproque = (Q ⇒ P)

1. n pair ⇒ n² pair

Contraposée : n² impair ⇒ n impair. Vraie (par factorisation).

Réciproque : n² pair ⇒ n pair. Vraie (démontrée par l'absurde).

2. x > 2 ⇒ x² > 4

Contraposée : x² ≤ 4 ⇒ x ≤ 2. Vraie.

Réciproque : x² > 4 ⇒ x > 2. Fausse (contre-exemple : x = −3, x² = 9 > 4 mais x < 2).

3. x² = 4 ⇒ x = 2

Contraposée : x ≠ 2 ⇒ x² ≠ 4. Fausse (contre-exemple : x = −2 ≠ 2 mais (−2)² = 4).

Réciproque : x = 2 ⇒ x² = 4. Vraie.

Tables de vérité : P∧Q, P∨Q, P⇒Q

🟢 Facile

Énoncé

Soit P : « n est pair » et Q : « n² est pair ».

Dresser la table de vérité de P∧Q, P∨Q et P⇒Q pour toutes les combinaisons de valeurs de vérité de P et Q.
Pour chaque cas, donner un exemple concret avec des entiers.
L'implication P⇒Q est-elle vraie en général ? Justifier.

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Correction détaillée

1. Tables de vérité

P	Q	P∧Q	P∨Q	P⇒Q
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	F	V	V
F	F	F	F	V

2. Exemples concrets

P vraie, Q vraie : n = 4 (pair), n² = 16 (pair). P∧Q = V, P∨Q = V, P⇒Q = V.

P fausse, Q fausse : n = 3 (impair), n² = 9 (impair). P∧Q = F, P∨Q = F, P⇒Q = V (implication vraie car P est fausse).

P fausse, Q vraie : impossible avec ces propositions liées (si n est impair, n² est impair). Cas théorique : P⇒Q = V.

3. P⇒Q en général

Oui, P⇒Q est toujours vraie ici : si n est pair, alors n = 2k, donc n² = 4k² = 2(2k²), qui est bien pair.

Le cas P=V et Q=F n'arrive jamais, donc l'implication est vraie pour tout entier n.

Nier des propositions quantifiées

🟢 Facile

Énoncé

Écrire la négation de chacune des propositions suivantes, puis déterminer si la proposition initiale est vraie ou fausse :

∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0
∃n ∈ ℕ, n² = 2
∀x ∈ ℝ, x > 1 ⇒ x² > 1
∃x ∈ ℝ, x + 1 = x

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Correction détaillée

Rappel

¬(∀x, P(x)) = ∃x, ¬P(x) | ¬(∃x, P(x)) = ∀x, ¬P(x) | ¬(P⇒Q) = P ∧ ¬Q

1. ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0

Négation : ∃x ∈ ℝ, x² < 0

Proposition initiale : VRAIE. Un carré est toujours positif ou nul.

2. ∃n ∈ ℕ, n² = 2

Négation : ∀n ∈ ℕ, n² ≠ 2

Proposition initiale : FAUSSE. √2 ∉ ℕ. La négation est vraie.

3. ∀x ∈ ℝ, x > 1 ⇒ x² > 1

Négation : ∃x ∈ ℝ, x > 1 ∧ x² ≤ 1

Proposition initiale : VRAIE. Si x > 1, alors x² > x·1 > 1.

4. ∃x ∈ ℝ, x + 1 = x

Négation : ∀x ∈ ℝ, x + 1 ≠ x

Proposition initiale : FAUSSE. x + 1 = x implique 1 = 0, contradiction. La négation est vraie.

🟡 Exercices Intermédiaires

5 exercices

Raisonnement par récurrence

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ* :

1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

Ma réponse

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Correction détaillée

Initialisation (n=1)

1² = 1 et 1×2×3/6 = 1. ✓

Hérédité

Supposons P(n) : Σk² = n(n+1)(2n+1)/6

Σ_k=1ⁿ⁺¹ k² = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)²

= (n+1)[n(2n+1)/6 + (n+1)] = (n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]/6

= (n+1)(2n² + n + 6n + 6)/6 = (n+1)(2n² + 7n + 6)/6

= (n+1)(n+2)(2n+3)/6 = (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6 ✓

Récurrence : divisibilité par 6

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Montrer par récurrence que pour tout entier n ∈ ℕ, le produit n(n+1)(n+2) est divisible par 6.

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Correction détaillée

Initialisation (n = 0)

0 × 1 × 2 = 0, qui est divisible par 6. ✓

Hérédité

Supposons que n(n+1)(n+2) est divisible par 6 (hypothèse de récurrence).

Montrons que (n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 6.

(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2)

• Le premier terme n(n+1)(n+2) est divisible par 6 par hypothèse.

• Pour le second terme 3(n+1)(n+2) : parmi deux entiers consécutifs (n+1) et (n+2), l'un est pair, donc (n+1)(n+2) est divisible par 2. Ainsi 3(n+1)(n+2) est divisible par 6.

La somme est donc divisible par 6. ✓

Conclusion

Par le principe de récurrence, n(n+1)(n+2) est divisible par 6 pour tout n ∈ ℕ.

Négation de propositions quantifiées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Écrire la négation de chacune des propositions suivantes, puis dire si la proposition initiale est vraie ou fausse :

∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0
∃x ∈ ℝ, x² + 1 = 0
∀x ∈ ℝ*, ∃n ∈ ℕ, n > x
∃x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, x + y = 0

Ma réponse

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Correction détaillée

Règles

¬(∀x, P(x)) ⇔ ∃x, ¬P(x) | ¬(∃x, P(x)) ⇔ ∀x, ¬P(x)

1. ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0

Négation : ∃x ∈ ℝ, x² < 0

La proposition initiale est vraie (un carré est toujours positif).

2. ∃x ∈ ℝ, x² + 1 = 0

Négation : ∀x ∈ ℝ, x² + 1 ≠ 0

La proposition initiale est fausse (x² + 1 ≥ 1 > 0 pour tout réel x).

3. ∀x ∈ ℝ*, ∃n ∈ ℕ, n > x

Négation : ∃x ∈ ℝ*, ∀n ∈ ℕ, n ≤ x

La proposition initiale est vraie (propriété d'Archimède).

4. ∃x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, x + y = 0

Négation : ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x + y ≠ 0

La proposition initiale est fausse : si x = 0, alors pour y = 1 on a x + y = 1 ≠ 0.

Preuve par contraposée : n² pair ⇒ n pair

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On veut montrer l'implication : « Si n² est pair, alors n est pair. »

Énoncer la contraposée de cette implication.
Démontrer la contraposée.
Conclure sur l'implication initiale.
Pourquoi est-il plus simple de prouver la contraposée ici plutôt que l'implication directe ?

Ma réponse

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Correction détaillée

1. Contraposée

L'implication : P ⇒ Q avec P = « n² est pair » et Q = « n est pair ».

Contraposée : ¬Q ⇒ ¬P, soit « Si n est impair, alors n² est impair. »

2. Démonstration de la contraposée

Supposons que n est impair. Il existe alors k ∈ ℤ tel que n = 2k + 1.

Calculons n² :

n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1

On a écrit n² sous la forme 2m + 1 avec m = 2k² + 2k ∈ ℤ.

Donc n² est impair. ✓

3. Conclusion

La contraposée « n impair ⇒ n² impair » est vraie.

Puisque (P ⇒ Q) ⟺ (¬Q ⇒ ¬P), l'implication initiale « n² pair ⇒ n pair » est donc vraie. ✓

4. Pourquoi la contraposée est plus simple

Partir de « n² est pair » et en déduire que n est pair est moins direct : il faudrait analyser la structure de n sans hypothèse explicite sur n. La contraposée nous donne une hypothèse sur n (n est impair), ce qui permet d'écrire n = 2k+1 et de calculer directement.

Irrationnalité de √2 par l'absurde

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Montrer par raisonnement par l'absurde que √2 est un nombre irrationnel (√2 ∉ ℚ).

Rappeler la définition d'un nombre rationnel.
Poser l'hypothèse de l'absurde et mener le raisonnement jusqu'à la contradiction.
Conclure.

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Correction détaillée

1. Nombre rationnel

Un nombre réel r est rationnel s'il peut s'écrire r = p/q avec p ∈ ℤ, q ∈ ℕ*, et pgcd(p, q) = 1 (fraction irréductible).

2. Raisonnement par l'absurde

Hypothèse de l'absurde : supposons que √2 ∈ ℚ.

Alors il existe p ∈ ℤ et q ∈ ℕ* tels que √2 = p/q avec pgcd(p, q) = 1.

En élevant au carré : 2 = p²/q², donc p² = 2q².

Ainsi p² est pair (multiple de 2).

Or, on a montré (par contraposée) que : n² pair ⇒ n pair.

Donc p est pair : il existe k ∈ ℤ tel que p = 2k.

En substituant : (2k)² = 2q² ⇒ 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k².

Donc q² est pair, ce qui implique (par le même résultat) que q est pair.

Contradiction : p et q sont tous deux pairs, donc pgcd(p, q) ≥ 2. Cela contredit pgcd(p, q) = 1.

3. Conclusion

L'hypothèse « √2 ∈ ℚ » mène à une contradiction. Donc √2 ∉ ℚ : √2 est irrationnel. ✓

🔴 Exercices Difficiles

3 exercices

Raisonnement par l'absurde

🔴 Difficile

Énoncé

1. Montrer par l'absurde que √2 est irrationnel.

2. Montrer que si n² est pair, alors n est pair.

3. En déduire que √2 ∉ ℚ par une autre méthode (contraposée).

Ma réponse

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Correction détaillée

1. √2 irrationnel

Supposons √2 = p/q avec p, q ∈ ℤ, q ≠ 0, pgcd(p,q) = 1.

2 = p²/q² ⇒ p² = 2q² ⇒ p² est pair ⇒ p est pair (par 2.)

p = 2k ⇒ 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k² ⇒ q est pair.

Contradiction : p et q sont tous deux pairs, donc pgcd(p,q) ≥ 2 ≠ 1.

Donc √2 ∉ ℚ. ✓

2. Contraposée : n impair ⇒ n² impair

n = 2k+1 ⇒ n² = 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1 impair. ✓

3.

Même démonstration, en utilisant la contraposée de 2. directement.

Récurrence : somme et inégalité factorielle

🔴 Difficile

Énoncé

Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ* : 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n(n+1)/2.
Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 4 : n! > 2ⁿ.

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Correction détaillée

1. Somme des entiers : Σk = n(n+1)/2

Initialisation (n = 1) :

Membre gauche : 1. Membre droit : 1×2/2 = 1. ✓

Hérédité : Supposons que P(n) est vraie, c'est-à-dire 1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)/2.

Montrons P(n+1) : 1 + 2 + ⋯ + n + (n+1) = ?

= n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)[n/2 + 1] = (n+1)(n+2)/2.

C'est bien la formule pour le rang n+1 : (n+1)((n+1)+1)/2. ✓

Conclusion : Par récurrence, Σ_k=1ⁿ k = n(n+1)/2 pour tout n ∈ ℕ*. ✓

2. Inégalité n! > 2ⁿ pour n ≥ 4

Initialisation (n = 4) :

4! = 24 et 2⁴ = 16. On a bien 24 > 16. ✓

Hérédité : Supposons que P(n) est vraie pour un certain n ≥ 4, c'est-à-dire n! > 2ⁿ.

Montrons P(n+1) : (n+1)! > 2ⁿ⁺¹.

(n+1)! = (n+1) × n!

Or n ≥ 4 ⇒ n+1 ≥ 5 > 2, et n! > 2ⁿ par hypothèse.

Donc (n+1)! = (n+1) × n! > 2 × 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹. ✓

Conclusion : Par récurrence, n! > 2ⁿ pour tout entier n ≥ 4. ✓

Tables de vérité et équivalences logiques

🔴 Difficile

Énoncé

Dresser la table de vérité de (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) et montrer qu'elle est équivalente à (P ⇔ Q).
Montrer à l'aide d'une table de vérité que ¬(P ∧ Q) ⇔ (¬P) ∨ (¬Q) (loi de De Morgan).
Déterminer les valeurs de vérité de : [(P ⇒ Q) ∧ ¬Q] ⇒ ¬P

Ma réponse

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Correction détaillée

1. Table de (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)

P	Q	P⇒Q	Q⇒P	(P⇒Q)∧(Q⇒P)	P⇔Q
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	V	F	F	F
F	F	V	V	V	V

Les deux colonnes finales sont identiques : (P⇒Q)∧(Q⇒P) ⇔ (P⇔Q) ✓

2. Loi de De Morgan : ¬(P∧Q) ⇔ (¬P)∨(¬Q)

P	Q	P∧Q	¬(P∧Q)	¬P	¬Q	(¬P)∨(¬Q)
V	V	V	F	F	F	F
V	F	F	V	F	V	V
F	V	F	V	V	F	V
F	F	F	V	V	V	V

Colonnes identiques ⇒ ¬(P∧Q) ⇔ (¬P)∨(¬Q) ✓

3. [(P⇒Q) ∧ ¬Q] ⇒ ¬P est une tautologie (toujours vraie)

C'est le modus tollens : si (P⇒Q) et ¬Q, alors ¬P. On peut le vérifier sur les 4 lignes : la prémisse (P⇒Q)∧¬Q n'est vraie que quand P=F, Q=F, et dans ce cas ¬P = V. Résultat : toujours V.

Logique mathématique

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I. Propositions et connecteurs logiques

Définition

Connecteurs logiques

II. Quantificateurs

Négation des quantificateurs

III. Raisonnements mathématiques

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

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✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Négation de propositions

Contraposée et réciproque

Rappel

1. n pair ⇒ n² pair

2. x > 2 ⇒ x² > 4

3. x² = 4 ⇒ x = 2

Tables de vérité : P∧Q, P∨Q, P⇒Q

1. Tables de vérité

2. Exemples concrets

3. P⇒Q en général

Nier des propositions quantifiées

Rappel

1. ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0

2. ∃n ∈ ℕ, n² = 2

3. ∀x ∈ ℝ, x > 1 ⇒ x² > 1

4. ∃x ∈ ℝ, x + 1 = x

🟡 Exercices Intermédiaires

Raisonnement par récurrence

Initialisation (n=1)

Hérédité

Récurrence : divisibilité par 6

Initialisation (n = 0)

Hérédité

Conclusion

Négation de propositions quantifiées

Règles

1. ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0

2. ∃x ∈ ℝ, x² + 1 = 0

3. ∀x ∈ ℝ*, ∃n ∈ ℕ, n > x

4. ∃x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, x + y = 0

Preuve par contraposée : n² pair ⇒ n pair

1. Contraposée

2. Démonstration de la contraposée

3. Conclusion

4. Pourquoi la contraposée est plus simple

Irrationnalité de √2 par l'absurde

1. Nombre rationnel

2. Raisonnement par l'absurde

3. Conclusion

🔴 Exercices Difficiles

Raisonnement par l'absurde

1. √2 irrationnel

2. Contraposée : n impair ⇒ n² impair

3.

Récurrence : somme et inégalité factorielle

1. Somme des entiers : Σk = n(n+1)/2

2. Inégalité n! > 2n pour n ≥ 4

Tables de vérité et équivalences logiques

1. Table de (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P)

2. Loi de De Morgan : ¬(P∧Q) ⇔ (¬P)∨(¬Q)

3. [(P⇒Q) ∧ ¬Q] ⇒ ¬P est une tautologie (toujours vraie)

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2. Inégalité n! > 2ⁿ pour n ≥ 4