Soit $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$ définie sur $]0,+\infty [$.

1. Calculer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier les variations de $f$.
3. En déduire que pour tout $x>0$ : $\ln (x)\le \frac{x}{e}$.
4. Montrer que l'équation $\ln (x)=\frac{x}{100}$ admet exactement deux solutions.

Soit $f(x)=x-\ln (x)$ définie sur $]0,+\infty [$.

1. Calculer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier ses variations et déterminer le minimum de $f$.
3. En déduire que pour tout $x>0$ : $\ln (x)\le x-1$.
4. Résoudre l'inéquation $\ln (x+1)>2x-3$ sur $]-1,+\infty [$. (On admettra qu'il y a un unique point d'intersection $\alpha \approx 1.79$.)

Soit f la fonction définie sur ]0, +$\infty$[ par $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$.

1. Calculer les limites de f en $0^{+}$ et en $+\infty$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de f.
3. Montrer que f admet un maximum. Donner sa valeur.
4. Étudier la concavité de f (calculer $f^{\prime \prime }(x)$).
5. Résoudre l'inéquation $f(x)\ge 0$. En déduire les solutions de $\ln (x)\ge x\cdot \ln (x)$ sur ]0, +$\infty$[.

Soit $h(x)=x-1-\ln (x)$ définie sur $]0,+\infty [$.

1. Montrer que $h(x)\ge 0$ pour tout $x>0$, avec égalité ssi $x=1$. En déduire l'inégalité : $\ln (x)\le x-1$ pour tout $x>0$.
2. En posant $x=1/t$ ($t>0$), montrer que : $1-\frac{1}{t}\le \ln (t)\le t-1$
3. En déduire que : $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}=1$
4. Application : montrer que pour tout $n\ge 1$ : $\frac{1}{n+1}\le \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n}$
5. En déduire l'encadrement : $\ln (2)\le \sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n)\le \ln (2)+1$ pour $n\ge 1$.

Soit f définie par $f(x)=\ln (x^2+1)$.

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$.
2. Montrer que f est une fonction paire.
3. Calculer les limites de f en $+\infty$ et étudier les variations.
4. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $[0,+\infty [$.
5. Dresser le tableau de variations sur $\mathbb{R}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x+2$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$.

2. Donner la négation de la proposition $P:(\forall (a,b)\in {\mathbb{R}}^2);[f(a)=f(b)\Rightarrow a=b]$.

3. En déduire que $P$ est fausse.

4. Calculer $f(1)$ et $f(-1)$, puis montrer que $f$ n'est ni paire ni impaire.

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

1. $f(x)=x^4-5x-2$

2. $f(x)=\frac{x+4}{x^2-4}$

3. $f(x)=\sqrt{6-2x}$

4. $f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}$

5. $f(x)=\sqrt{x^2-5x}$

1. Soient $x,y\in \mathbb{R}$. Montrer que : $x^2+y^2=2xy\Rightarrow x=y$.

2. Soient $x,y\in \mathbb{R}$. Montrer que : $1+xy-x-y=0\Rightarrow (x=1\text{ou}y=1)$.

3. Montrer que si $m$ et $n$ sont deux entiers naturels impairs, alors $m+n$ est pair.

1. Soit $n\in \mathbb{N}$. Montrer que $n^2+n+1$ est impair (utiliser les cas $n=2k$ et $n=2k+1$).

2. Soit $n\in \mathbb{N}$. Montrer que $n(n+1)(n+2)$ est un multiple de $3$ (utiliser $n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k+2$).

3. Montrer que $(\forall x\in \mathbb{R});\sqrt{x^2+1}-x>0$ (utiliser les cas $x<0$ et $x\ge 0$).

1. Soient $y\in \mathbb{R}$ et $x\in {\mathbb{R}}^{+}$. Montrer :
   a) $(y\ne 2\text{et}y\ne -2)\Rightarrow 2y^2-8\ne 0$ ;
   b) $x\ne 0\Rightarrow \sqrt{x+1}\ne 1+\frac{x}{2}$.

2. Soit $n\in \mathbb{N}$. Montrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

1. Montrer que $\left(\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{2}{3}\right\}\right);\frac{4x+1}{3x-2}\ne \frac{4}{3}$.

2. Montrer que $(\forall n\in \mathbb{N});\frac{6n+5}{4n+2}\notin \mathbb{N}$.

3. Montrer que $(\forall x\in \mathbb{R});x-\sqrt{x^2+1}<0$.

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $S_n=1+2+\cdots +n$.

1. Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.

2. Montrer par récurrence que $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast });S_n=\frac{n(n+1)}{2}$.

3. En déduire que $n(n+1)$ est pair.

4. Calculer $S_{100}$.

1. Développer le produit $(n+2)(2n+3)$.

2. Montrer par récurrence que $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast });1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

1. Montrer que les propositions suivantes sont fausses :

   $P_1:(\forall x\in \mathbb{R}):\sqrt{x^2}=x$

   $P_2:(\forall x\in \mathbb{R}):x^2\ge x$

2. Donner la négation de la proposition $(R):(\forall x\in \mathbb{R}):\left[x^2=2x\Rightarrow x=0\right]$

3. En déduire que la proposition $(R)$ est fausse.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x+2$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$.

2. Donner la négation de la proposition $(P):\left(\forall (a,b)\in {\mathbb{R}}^2\right):\left[f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\right]$

3. En déduire que $(P)$ est fausse.

4. Calculer $f(1)$ et $f(-1)$, puis en déduire que $f$ n'est ni paire ni impaire.

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes.

1. $f(x)=x^4-5x-2$

2. $f(x)=\frac{x+4}{x^2-4}$

3. $f(x)=\sqrt{6-2x}$

4. $f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}$

5. $f(x)=\sqrt{x^2-5x}$

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $S_n=1+2+\dots +n$.

1. Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.

2. Montrer par récurrence que $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }):1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.

3. En déduire que $n(n+1)$ est pair.

4. Calculer $S_{100}$.

1. Développer le produit $(n+2)(2n+3)$.

2. Montrer par récurrence que $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }):1^2+2^2+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Propositions quantifiées fausses

Montrer que les propositions suivantes sont fausses.

1. $P_1:(\forall y\in \mathbb{R})(\exists x\in \mathbb{R}):x^2+xy+y^2=0$

2. $P_2:(\forall x\in \mathbb{R})(\exists y\in \mathbb{R}):x^2+y-2xy=0$

Propositions quantifiees vraies

Montrer que les propositions suivantes sont vraies.

1. $Q_1:(\forall x\in \mathbb{R})(\exists y\in \mathbb{R}):x+2y-3=0$

2. $Q_2:\left(\forall x\in [1;2]\right)\left(\exists y\in \left[\frac{1}{2};1\right]\right):x+2y-3=0$

Contre-exemple trigonometrique

Montrer que la proposition suivante est fausse.

$P_3:(\forall x\in \mathbb{R}):3\cos (x)\ne 2{\sin }^2(x)$

Divisibilite par 3

Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : si $3$ divise $n^2$ alors $3$ divise $n$.

Caracterisation de zero

Soit $a\in \mathbb{R}$. Montrer que :

$\left(\forall \epsilon >0:|a|\le \epsilon \right)\Rightarrow a=0$

Irrationalite de racines

Montrer par l'absurde que :

1. $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$

2. $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$

Egalite de fractions

Montrer que pour tous $a,b\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ :

$\frac{a}{b+1}=\frac{b}{a+1}\Rightarrow a=b$

Encadrement et produit

1. Montrer que pour tout $a\in [0;1]$ : $0\le a-a^2\le \frac{1}{4}$.

2. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $x_1,x_2,\dots ,x_n$ des réels de $[0;1]$. On pose $A_n=x_1{x}_2\cdots x_n$ et $B_n=(1-x_1)(1-x_2)\cdots (1-x_n)$. Montrer que $0\le A_n{B}_n\le \frac{1}{4^n}$, puis que $B_n\le \frac{1}{2^n}$ ou $A_n\le \frac{1}{2^n}$.

Inegalites classiques

Soient $a,b,c$ des nombres réels.

1. Montrer que $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$.

2. Montrer que $a^2+b^2+ab\ge 0$.

3. En déduire que $a^3+a=b^3+b\iff a=b$.

Divisibilite par 4

Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : ($4$ divise $n^2$) ou ($4$ divise $n^2-1$).

Equations avec racines

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations :

$(E_1):\sqrt{x-1}=x-2(E_2):\sqrt{25-x^2}=x+1$

Recurrence et divisibilite

Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $9$ divise $4^n+6n-1$.

Inegalite de Bernoulli

Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout $x\in {\mathbb{R}}^{+}$ :

$(1+x{)}^n\ge 1+nx$

Factorielles et telescopage

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose $n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$ avec $0!=1!=1$.

1. Calculer $2!$, $4!$ et $5!$.

2. On pose $U_k=k!$ pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Montrer que $U_{k+1}-U_k=k\cdot (k!)$.

3. En déduire $S_n=1(1!)+2(2!)+\cdots +n(n!)$ en fonction de $n$.

Sommes telescopiques

Calculer en fonction de $n$ :

1. $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$

2. $\sum _{k=1}^n\frac{k}{(k+1)!}$

3. $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}$

Produits telescopiques

Calculer en fonction de $n$ :

1. $\prod _{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right)$

2. $\prod _{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)$

Soit P : "Le magasin est ouvert" et Q : "Je peux y acheter des fruits". Quelle est la valeur de vérité de P ⇒ Q si P est vrai et Q est faux ?

Soit P : "Les élèves réussissent" et Q : "Ils ont étudié". Établissez si P $\iff$ Q est vrai ou faux si P est vrai mais Q est faux.

Pour tout x $\in$ {1, 2, 3}, P(x) : "x est impair". Trouvez la négation de la proposition : "Pour tout x, P(x) est vrai".

Considérez l'implication P ⇒ Q : "Si je vais au souk, alors je fais des achats". Écrivez la contraposée et expliquez son sens.

Soit P : "Je vais au marché" et Q : "J'achète des légumes". Vérifiez la vérité de l'implication P ⇒ Q si je vais au marché mais je n'achète pas de légumes.

Montrez que ¬($\forall$x $\in$ {1, 2, 3}, P(x)) est équivalent à $\exists$x $\in$ {1, 2, 3}, ¬P(x) pour une propriété P(x).

Montrez que si P ⇒ Q est vrai, alors ¬Q ⇒ ¬P est également vrai.

Soit P : "Je vais au marché" et Q : "J'achète des légumes." Déterminez la valeur de vérité de l'implication P ⇒ Q si P est vrai et Q est faux.

Soit P : "Le train part de Rabat" et Q : "Le train arrive à Fès." Déterminez si P $\iff$ Q est vrai si P est vrai et Q est faux.

Montrez que ¬($\forall$x $\in$ {1, 2, 3}, P(x)) est équivalent à $\exists$x $\in$ {1, 2, 3}, ¬P(x).

Montrez que l'implication P ⇒ Q est fausse dans le cas où P est vraie et Q est fausse. Prenez P : "Les souks sont ouverts" et Q : "Les clients achètent des produits".

Soit P : "Les taxis à Marrakech sont disponibles" et Q : "Il y a des taxis à Marrakech". Déterminez si P $\iff$ Q est vrai ou faux si les deux propositions sont vraies.

Pour l'ensemble des étudiants de 1ère Bac, affirmez si la proposition suivante est vraie : "Tous les étudiants de cette classe aiment les mathématiques". Utilisez le quantificateur $\forall$.

Pour le même ensemble des étudiants, exprimez la négation de la proposition "Tous les étudiants aiment les mathématiques".

Pour tout x $\in$ {1, 2, 3}, si P(x) : "x est un nombre pair", déterminez si $\forall$x $\in$ {1, 2, 3}, P(x) est vrai ou faux.

Dans l'ensemble E = {1, 3, 5, 7}, déterminez si $\exists$x $\in$ E, P(x) : "x est un nombre pair" est vrai ou faux.

Montrez que ¬($\forall$x $\in$ {1, 2, 3}, P(x)) est équivalent à $\exists$x $\in$ {1, 2, 3}, ¬P(x) où P(x) : "x est impair".