Nombres complexes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 8 : Nombres complexes

I. Définition et forme algébrique

On pose i² = −1. Un nombre complexe s'écrit z = a + bi avec a,b ∈ ℝ.
Re(z) = a (partie réelle), Im(z) = b (partie imaginaire).
Conjugué : z = a − bi. Module : |z| = √(a²+b²).

II. Opérations

Addition : (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
Multiplication : (a+bi)(c+di) = (ac−bd)+(ad+bc)i
Division : z/w = z·w/|w|²
Propriétés : |z·w|=|z||w|, |z/w|=|z|/|w|, z·z=|z|²

III. Forme trigonométrique (polaire)

z = r(cos θ + i sin θ) avec r=|z| et θ=arg(z) (argument).
Formule de Moivre : [r(cosθ+i sinθ)]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
Multiplication : |z₁z₂|=|z₁||z₂|, arg(z₁z₂)=arg(z₁)+arg(z₂)

IV. Représentation géométrique (plan de Gauss)

Le plan complexe : tout point M(a,b) a pour affixe z=a+bi.
|z|= distance à l'origine, |z₁−z₂|= distance entre les points d'affixes z₁ et z₂.
Milieu de [AB] : affixe = (z_A+z_B)/2

V. Forme exponentielle — notation d'Euler

Notation : e^(iθ) = cos θ + i sin θ (formule d'Euler)
Forme exponentielle : z = r·e^(iθ) où r=|z|, θ=arg(z)
Propriétés : e^(iα)·e^(iβ)=e^(i(α+β)) ; (e^(iθ))ⁿ=e^(inθ)
Cas particuliers : e^(iπ)=−1, e^(i·2π)=1, e^(iπ/2)=i

VI. Racines n-ièmes de l'unité

Les solutions de zⁿ=1 sont les n racines : z_k = e^(2ikπ/n), k=0,1,…,n−1
Elles forment un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité.
Racines carrées de −1 : z=±i ; racines cubiques de 1 : 1, j=e^(2iπ/3), j=e^(−2iπ/3) avec 1+j+j=0

VII. Transformations géométriques par les complexes

Translation de vecteur affixe t : f(z) = z + t
Rotation de centre Ω (affixe a) et angle θ : f(z) = e^(iθ)(z−a)+a
Homothétie de centre a et rapport k (réel) : f(z) = k(z−a)+a
Méthode : Pour trouver le centre d'une rotation f(z)=e^(iθ)·z+b, résoudre f(Ω)=Ω.

🔑 Formules clés à retenir

i²=−1, z=a+bi, |z|=√(a²+b²)
z=a−bi, z·z=|z|²
Forme trig : z=r(cosθ+i sinθ)
Forme exp : z=r·e^(iθ), e^(iθ)=cosθ+i sinθ
Moivre : zⁿ=rⁿ·e^(inθ)
Racines de zⁿ=1 : z_k=e^(2ikπ/n)
Rotation centre a, angle θ : f(z)=e^(iθ)(z−a)+a

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Division en forme algébrique : pour calculer z₁/z₂, multiplier numérateur ET dénominateur par z₂. Ne jamais "simplifier" directement partie réelle par partie réelle !

❌

Argument de z : arg(z) = −arg(z) (symétrie par rapport à l'axe réel). Ne pas confondre avec arg(−z) = arg(z) + π.

❌

Moivre : (cosθ + i sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) : s'applique à e^(iθ) mis à la puissance n. Attention si z n'est pas sur le cercle unité : il faut diviser par |z|ⁿ d'abord.

🟢 Astuces de pros

✅

Passer en forme exponentielle pour les puissances : z = r·e^(iθ) → zⁿ = rⁿ·e^(inθ). Beaucoup plus simple que de développer en forme algébrique !

✅

Trouver le centre d'une rotation : f(z) = e^(iθ)·z + b → centre ω tel que f(ω) = ω → ω·(1 − e^(iθ)) = b → ω = b/(1 − e^(iθ)).

💡

Formules d'Euler pour la trigonométrie : cos nθ = Re(e^(inθ)) et sin nθ = Im(e^(inθ)). Développer par Moivre permet de retrouver cos(2θ), cos(3θ), etc.

Nombres complexes — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

🟢 Exercices Faciles

5 exercices

Opérations en forme algébrique

🟢 Facile

Énoncé

z₁=3+2i, z₂=1−4i. Calculer : 1) z₁+z₂ 2) z₁×z₂ 3) |z₁| et |z₂|

Ma réponse

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Correction détaillée

1) z₁+z₂=(3+1)+(2−4)i=4−2i

2) z₁z₂=(3×1−2×(−4))+(3×(−4)+2×1)i=(3+8)+(−12+2)i=11−10i

3) |z₁|=√(9+4)=√13 | |z₂|=√(1+16)=√17

Conjugué et division

🟢 Facile

Énoncé

z₁=2+3i, z₂=1−i. Calculer z₁/z₂ sous forme algébrique.

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Correction détaillée

z₁/z₂ = z₁×z₂/|z₂|² = (2+3i)(1+i)/2

= (2+2i+3i+3i²)/2 = (2+5i−3)/2 = (−1+5i)/2 = −1/2 + 5i/2

Équation dans ℂ

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℂ : 1) z²+4=0 2) z²−2z+5=0

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Correction détaillée

1) z²=−4 → z=±2i

2) Δ=4−20=−16 → z=(2±4i)/2=1±2i

Forme exponentielle — Euler

🟢 Facile

Énoncé

Écrire sous forme exponentielle : 1) z₁=2(cos π/6 + i sin π/6) 2) z₂=√2(cos(−π/4)+i sin(−π/4)) 3) Calculer z₁·z₂ sous forme exponentielle puis algébrique.

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Correction détaillée

1) z₁=2·e^(iπ/6)

2) z₂=√2·e^(−iπ/4)

3) z₁z₂=2√2·e^(i(π/6−π/4))=2√2·e^(i·(2π/12−3π/12))=2√2·e^(−iπ/12)

Algébrique : 2√2(cos(−π/12)+i sin(−π/12))≈2√2(0,966−0,259i)≈2,73−0,73i

Module et argument — forme trigonométrique

🟢 Facile

Énoncé

Pour chaque complexe, calculer le module et l'argument, puis écrire la forme trigonométrique :

z₁ = −1 + i
z₂ = −√3 − i
z₃ = 3i

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Correction détaillée

1) |z₁|=√(1+1)=√2 ; cos θ=−1/√2, sin θ=1/√2 → arg(z₁)=3π/4. Forme : √2(cos(3π/4)+i sin(3π/4)).

2) |z₂|=√(3+1)=2 ; cos θ=−√3/2, sin θ=−1/2 → arg(z₂)=−5π/6 (ou 7π/6). Forme : 2(cos(−5π/6)+i sin(−5π/6)).

3) |z₃|=3 ; cos θ=0, sin θ=1 → arg(z₃)=π/2. Forme : 3(cos(π/2)+i sin(π/2)).

🟡 Exercices Intermédiaires

5 exercices

Module et argument

🟡 Intermédiaire

Énoncé

z=1+i√3. 1) Calculer |z|. 2) Trouver arg(z). 3) Écrire z sous forme trigonométrique.

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Correction détaillée

1) |z|=√(1+3)=2

2) cos θ=1/2, sin θ=√3/2 → θ=π/3

3) z=2(cos π/3 + i sin π/3)

Formule de Moivre

🟡 Intermédiaire

Énoncé

z=1+i (forme trig : z=√2·e^(iπ/4)). Calculer z⁸.

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Correction détaillée

|z|=√2, arg(z)=π/4

z⁸=(√2)⁸(cos 8π/4+i sin 8π/4)=16(cos 2π+i sin 2π)=16×1=16

Interprétation géométrique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans le plan complexe, A d'affixe 1+2i et B d'affixe 4−i. 1) Calculer |zA−zB|. 2) Milieu M de [AB]. 3) Vérifier que A est sur le cercle centré en O de rayon √5.

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Correction détaillée

1) zA−zB=(1−4)+(2−(−1))i=−3+3i → |zA−zB|=√(9+9)=3√2

2) zM=(zA+zB)/2=(5+i)/2=5/2+i/2

3) |zA|=√(1+4)=√5 ✓

Racines cubiques de l'unité

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Résoudre z³=1 dans ℂ et donner les trois racines sous forme algébrique et exponentielle. 2) Montrer que 1+j+j²=0. 3) Calculer (1+j)⁶.

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Correction détaillée

1) z³=1 → z_k=e^(2ikπ/3), k=0,1,2

z₀=1 ; z₁=e^(2iπ/3)=cos(2π/3)+i sin(2π/3)=−1/2+i√3/2 (noté j)

z₂=e^(4iπ/3)=−1/2−i√3/2 (noté j² ou j)

2) Somme géométrique : 1+j+j²=(1−j³)/(1−j)=0 car j³=1. ✓

3) j=e^(2iπ/3) → 1+j=−j² (car 1+j=−j²) → (1+j)⁶=(−j²)⁶=j¹²=(j³)⁴=1

Interprétation géométrique — alignement et milieu

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Dans le plan complexe, soient A d'affixe z_A=3+i, B d'affixe z_B=−1+3i, C d'affixe z_C=1+2i.

Calculer AB et BC.
Montrer que C est le milieu de [AB].
Calculer l'argument de z_B−z_A et interpréter géométriquement.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) z_B−z_A=−4+2i → AB=|z_B−z_A|=√(16+4)=√20=2√5

z_C−z_B=2−i → BC=√(4+1)=√5

2) Milieu de [AB] : z_M=(z_A+z_B)/2=(2+4i)/2=1+2i=z_C → C est bien le milieu de [AB] ✓

3) arg(z_B−z_A)=arg(−4+2i). tan θ=2/(−4)=−1/2 avec cos θ<0 → θ=π−arctan(1/2)≈153,4°. C'est l'angle que fait la droite (AB) avec l'axe des réels.

🔴 Exercices Difficiles

4 exercices

Racines carrées d'un complexe

🔴 Difficile

Énoncé

Trouver les racines carrées de z=−3+4i (chercher z=a+bi tel que z²=−3+4i).

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Correction détaillée

(a+bi)²=a²−b²+2abi=−3+4i

Système : a²−b²=−3 et 2ab=4 → ab=2 → b=2/a

a²−4/a²=−3 → a⁴+3a²−4=0 → (a²−1)(a²+4)=0 → a=±1

a=1→b=2 : 1+2i | a=−1→b=−2 : −1−2i

Équation du 3ème degré — racine complexe

🔴 Difficile

Énoncé

P(z)=z³−3z²+7z−5. Vérifier que z₁=1 est racine. Factoriser P. Résoudre P(z)=0 dans ℂ.

Ma réponse

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Correction détaillée

P(1)=1−3+7−5=0 ✓ → (z−1) est facteur.

Division : z³−3z²+7z−5=(z−1)(z²−2z+5)

Δ=4−20=−16 → z=(2±4i)/2=1±2i

Solutions : z=1, z=1+2i, z=1−2i

Transformation géométrique complexe

🔴 Difficile

Énoncé

f(z)=iz+1−i. 1) Montrer que f est une rotation (trouver son centre et son angle). 2) Image de A(affixe 2) par f.

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Correction détaillée

f(z)=iz+(1−i). Forme f(z)=e^(iπ/2)·z+(1−i) → rotation de centre Ω et angle π/2.

Centre : f(Ω)=Ω → iΩ+(1−i)=Ω → Ω(i−1)=−(1−i)=i−1 → Ω=1.

Centre : 1 (affixe 1), angle : π/2.

f(2)=i×2+(1−i)=2i+1−i=1+i

Racines n-ièmes de l'unité — racines cubiques

🔴 Difficile

Énoncé

On note j=e^(2iπ/3).

Résoudre z³=1 et donner les trois racines z₀, z₁=j, z₂=j² sous formes algébrique et exponentielle.
Placer ces racines dans le plan complexe et décrire la figure obtenue.
Montrer que 1+j+j²=0 et en déduire j²=−1−j.
Calculer (1+j)³ en utilisant j²=−1−j.

Ma réponse

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Correction détaillée

1) z³=1 ↔ z_k=e^(2ikπ/3), k=0,1,2.

z₀=1 (forme algébrique : 1+0i)

z₁=j=e^(2iπ/3)=−1/2+i√3/2

z₂=j²=e^(4iπ/3)=−1/2−i√3/2

2) Les trois racines sont les sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité, séparés par des angles de 2π/3.

3) z³−1=(z−1)(1+z+z²)=0. Pour z=j≠1 : 1+j+j²=0 → j²=−1−j ✓

4) (1+j)³ : d'abord 1+j=−j² (car 1+j+j²=0 → 1+j=−j²).

Donc (1+j)³=(−j²)³=−j⁶=−(j³)²=−1²=−1

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II. Opérations

III. Forme trigonométrique (polaire)

IV. Représentation géométrique (plan de Gauss)

V. Forme exponentielle — notation d'Euler

VI. Racines n-ièmes de l'unité

VII. Transformations géométriques par les complexes

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

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Opérations en forme algébrique

Conjugué et division

Équation dans ℂ

Forme exponentielle — Euler

Module et argument — forme trigonométrique

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Interprétation géométrique

Racines cubiques de l'unité

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