Probabilités — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

Chapitre 7 : Probabilités

I. Vocabulaire

Expérience aléatoire : résultat imprévisible. Univers Ω : ensemble des issues.
Événement A ⊂ Ω. P(A) : probabilité de A, avec 0 ≤ P(A) ≤ 1.
P(Ω)=1, P(∅)=0. P(Ā)=1−P(A).

II. Opérations sur les événements

Union : P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
Incompatibles (A∩B=∅) : P(A∪B) = P(A)+P(B)
Indépendants : P(A∩B) = P(A)×P(B)

III. Probabilité conditionnelle

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) (probabilité de A sachant B)
Formule des probabilités totales :
Si (B_i) est une partition de Ω : P(A) = Σ P(A|B_i)×P(B_i)

IV. Variables aléatoires et loi binomiale

Variable aléatoire X : Espérance E(X) = Σ x_iP(X=x_i)
Loi binomiale B(n,p) : P(X=k) = C(n,k)×p^k×(1−p)ⁿ⁻^k
E(X) = np, Var(X) = np(1−p)

V. Arbre de probabilité

Règle de la branche : on multiplie les probabilités le long d'une branche.
Règle des chemins : on additionne les probabilités des chemins menant à l'événement.
Exemple : Urne I (3R, 2B), urne II (1R, 4B). On choisit une urne au hasard, puis une boule.
P(Rouge) = P(Ω₁)·P(R|Ω₁) + P(Ω₂)·P(R|Ω₂) = (1/2)(3/5) + (1/2)(1/5) = 3/10+1/10 = 2/5

VI. Variance et écart-type

Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]²
Écart-type : σ(X) = √V(X)
Pour une loi binomiale B(n,p) : V(X) = np(1−p), σ(X) = √(np(1−p))
Propriétés : V(aX+b) = a²V(X) ; E(aX+b) = aE(X)+b

VII. Formule de Bayes

Si (B₁, B₂, …, B_n) est une partition de Ω :
P(B_k|A) = P(A|B_k)·P(B_k) / Σ_i P(A|B_i)·P(B_i)
Exemple : diagnostic médical — probabilité d'être malade sachant que le test est positif (voir exercice dépistage).

🔑 Formules clés à retenir

P(Ā)=1−P(A)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
Indépendants : P(A∩B)=P(A)×P(B)
Probabilités totales : P(A)=ΣP(A|B_i)P(B_i)
Bayes : P(B_k|A)=P(A|B_k)P(B_k)/P(A)
Binomiale : P(X=k)=C_n^k p^k(1−p)ⁿ⁻^k
E(X)=np, V(X)=np(1−p), σ=√(np(1−p))

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Indépendance ≠ incompatibilité : deux événements incompatibles (A∩B=∅) ne sont JAMAIS indépendants (sauf si l'un a probabilité 0). Confondre ces deux notions est une erreur fréquente !

❌

Probabilité conditionnelle : bien identifier qui conditionne qui : P(A|B) ≠ P(B|A). "Probabilité d'être malade sachant que le test est positif" ≠ "probabilité d'être positif sachant qu'on est malade".

❌

Binomiale : vérifier les conditions : X~B(n,p) seulement si les épreuves sont indépendantes et la probabilité p est constante. Si on tire sans remise, c'est une loi hypergéométrique !

🟢 Astuces de pros

✅

Formule des probabilités totales avec arbre : dessine l'arbre, puis P(A) = somme des produits le long de chaque branche menant à A. Visuel et infaillible !

✅

Bayes = retour sur l'arbre : après avoir calculé P(A) par les prob. totales, P(B_k|A) = branche spécifique / total. Pense "quelle proportion de A vient de B_k ?"

💡

Espérance et variance de la binomiale : E(X) = np (intuitif : n essais × proba de succès). V(X) = np(1−p) — maximale quand p = 1/2 (le plus "aléatoire").

Probabilités — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

✏️ Exercices interactifs

14 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 14 corrigés

🟢 Exercices Faciles

5 exercices

Probabilités simples — dé et pièce

🟢 Facile

Énoncé

On lance un dé équilibré à 6 faces. 1) P(obtenir un pair) ? 2) P(obtenir >4) ? 3) P(pair OU >4) ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

1) P(pair)=3/6=1/2

2) P(>4)=P({5,6})=2/6=1/3

3) A∩B={6} → P(A∪B)=1/2+1/3−1/6=3/6+2/6−1/6=4/6=2/3

Événement complémentaire

🟢 Facile

Énoncé

P(A)=0,35 et A, B indépendants avec P(B)=0,6. Calculer P(Ā), P(A∩B), P(A∪B).

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

P(Ā)=1−0,35=0,65

P(A∩B)=0,35×0,6=0,21 (indépendants)

P(A∪B)=0,35+0,6−0,21=0,74

Tableau de probabilités

🟢 Facile

Énoncé

Enquête auprès de 200 personnes : 120 hommes (dont 80 actifs), 80 femmes (dont 45 actives). On choisit une personne au hasard. P(active) ? P(homme actif) ?

Ma réponse

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Correction détaillée

Actifs total = 80+45=125

P(active)=125/200=5/8

P(homme actif)=80/200=2/5

Arbre de probabilité — deux urnes

🟢 Facile

Énoncé

Urne A contient 3 boules rouges et 2 vertes. Urne B contient 1 rouge et 4 vertes. On choisit une urne au hasard puis on tire une boule. 1) Construire l'arbre de probabilité. 2) Calculer P(rouge). 3) Calculer P(A|rouge).

Ma réponse

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Correction détaillée

1) Arbre : P(A)=P(B)=1/2 ; P(R|A)=3/5, P(R|B)=1/5.

2) P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)=(3/5)(1/2)+(1/5)(1/2)=3/10+1/10=4/10=2/5

3) P(A|R)=P(R|A)P(A)/P(R)=(3/10)/(2/5)=(3/10)×(5/2)=3/4

Loi binomiale B(5, 0,4) — calculs directs

🟢 Facile

Énoncé

X suit une loi binomiale B(5 ; 0,4). Calculer :

P(X=0)
P(X=2)
P(X=5)
E(X) et V(X)

Ma réponse

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Correction détaillée

1) P(X=0)=C(5,0)×(0,4)⁰×(0,6)⁵=(0,6)⁵=0,0778

2) P(X=2)=C(5,2)×(0,4)²×(0,6)³=10×0,16×0,216=0,3456

3) P(X=5)=(0,4)⁵=0,01024

4) E(X)=np=5×0,4=2 ; V(X)=np(1−p)=5×0,4×0,6=1,2

🟡 Exercices Intermédiaires

5 exercices

Probabilité conditionnelle

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une urne contient 4 boules rouges et 6 bleues. On tire deux boules sans remise. P(2 rouges) ? P(1 rouge | la 1ère est rouge) ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

P(R₁∩R₂)=P(R₁)×P(R₂|R₁)=(4/10)×(3/9)=12/90=2/15

P(R₂|R₁)=3/9=1/3

Formule des probabilités totales

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Machine A (60% de la production, 2% défectueuse), machine B (40%, 4% défectueuse). On choisit une pièce au hasard. P(défectueuse) ?

Ma réponse

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Correction détaillée

P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)

=0,02×0,6+0,04×0,4=0,012+0,016=0,028

Soit 2,8% de pièces défectueuses.

Variable aléatoire — espérance

🟡 Intermédiaire

Énoncé

X : nombre de faces "1" en lançant 2 dés. Donner la loi de X et calculer E(X).

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

P(X=0)=(5/6)²=25/36 | P(X=1)=2×(1/6)×(5/6)=10/36 | P(X=2)=1/36

E(X)=0×25/36+1×10/36+2×1/36=12/36=1/3

Variance et écart-type d'une loi binomiale

🟡 Intermédiaire

Énoncé

X suit une loi binomiale B(20 ; 0,3). 1) Calculer E(X), V(X) et σ(X). 2) P(X=6). 3) P(X≤1).

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) E(X)=20×0,3=6 ; V(X)=20×0,3×0,7=4,2 ; σ(X)=√4,2≈2,05

2) P(X=6)=C(20,6)×(0,3)⁶×(0,7)¹⁴=54264×(0,3)⁶×(0,7)¹⁴≈0,192

3) P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=(0,7)²⁰+20×(0,3)(0,7)¹⁹≈0,0008+0,0068≈0,0076

Probabilités conditionnelles et indépendance

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On dispose des probabilités : P(A)=0,5, P(B)=0,6, P(A∪B)=0,8.

Calculer P(A∩B).
Calculer P(A|B) et P(B|A).
A et B sont-ils indépendants ? Justifier.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0,5+0,6−0,8=0,3

2) P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,3/0,6=0,5

P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0,3/0,5=0,6

3) P(A)×P(B)=0,5×0,6=0,3=P(A∩B) → A et B sont indépendants. On vérifie : P(A|B)=0,5=P(A) ✓

🔴 Exercices Difficiles

4 exercices

Loi binomiale

🔴 Difficile

Énoncé

Un QCM a 10 questions, chacune avec 4 réponses dont une seule correcte. Un élève répond au hasard. X=nombre de bonnes réponses. 1) Loi de X. 2) P(X≥1). 3) E(X).

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) X∼B(10;1/4)

2) P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(3/4)¹⁰=1−0,0563≈0,944

3) E(X)=10×1/4=2,5

Indépendance et test

🔴 Difficile

Énoncé

P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,2. 1) A et B sont-ils indépendants ? 2) P(A|B) ? 3) P(B|A) ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) P(A)×P(B)=0,4×0,5=0,2=P(A∩B) → A et B sont indépendants

2) P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,2/0,5=0,4=P(A) (cohérent avec indépendance)

3) P(B|A)=0,2/0,4=0,5=P(B) ✓

Problème complet — dépistage

🔴 Difficile

Énoncé

Un test médical : sensibilité 95% (P(+|malade)), spécificité 90% (P(−|sain)). La maladie touche 1% de la population. P(malade|test+) ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

P(M)=0,01, P(M)=0,99

P(+)=P(+|M)P(M)+P(+|M)P(M)=0,95×0,01+0,10×0,99=0,0095+0,099=0,1085

P(M|+)=P(+|M)P(M)/P(+)=0,0095/0,1085≈8,76%

Dépistage médical — sensibilité, spécificité, VPP

🔴 Difficile

Énoncé

Un test de dépistage d'une maladie M présente : sensibilité Se=P(+|M)=0,98, spécificité Sp=P(−|M)=0,95. La prévalence est P(M)=0,02.

Construire un arbre de probabilité complet.
Calculer P(test positif).
Calculer la valeur prédictive positive VPP = P(M|+).
Interpréter : un patient testé positif est-il très probablement malade ?

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) Arbre : P(M)=0,02, P(M)=0,98 ; P(+|M)=0,98, P(−|M)=0,02 ; P(+|M)=0,05, P(−|M)=0,95.

2) P(+)=P(+|M)·P(M)+P(+|M)·P(M)=0,98×0,02+0,05×0,98=0,0196+0,049=0,0686

3) VPP = P(M|+) = P(+|M)·P(M)/P(+) = 0,0196/0,0686 ≈ 28,6%

4) Malgré un test positif, la probabilité d'être malade n'est que de 28,6%. En raison de la faible prévalence (2%), les faux positifs dominent : un résultat positif ne garantit pas la maladie.

Probabilités

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I. Vocabulaire

II. Opérations sur les événements

III. Probabilité conditionnelle

IV. Variables aléatoires et loi binomiale

V. Arbre de probabilité

VI. Variance et écart-type

VII. Formule de Bayes

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

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✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Probabilités simples — dé et pièce

Événement complémentaire

Tableau de probabilités

Arbre de probabilité — deux urnes

Loi binomiale B(5, 0,4) — calculs directs

🟡 Exercices Intermédiaires

Probabilité conditionnelle

Formule des probabilités totales

Variable aléatoire — espérance

Variance et écart-type d'une loi binomiale

Probabilités conditionnelles et indépendance

🔴 Exercices Difficiles

Loi binomiale

Indépendance et test

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Dépistage médical — sensibilité, spécificité, VPP

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