On considère les points $A(2;0)$, $B(0;2)$, $C(2;2)$ et $O(0;0)$. On note $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[OA]$.

1. Calculer $\cos (\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BJ})$ et $\sin (\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BJ})$, puis en déduire l'aire du triangle $IBJ$.
2. Soit $(D)$ la droite d'équation $(1-m)x+y-2=0$ avec $m\ne 1$.
   a) Déterminer, en fonction de $m$, les distances $d=d(A,(D))$ et $d^{\prime }=d(C,(D))$.
   b) Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $d^{\prime }=2d$.

Soit $(C)$ l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2+8x-4y+10=0$, et soit la droite $(D):x-2y+13=0$.

1. a) Montrer que $(C)$ est un cercle et déterminer son centre $K$ et son rayon $r$.
   b) Montrer que $(D)$ coupe le cercle $(C)$ en deux points $E$ et $F$.
   c) Déterminer les coordonnées de $E$ et $F$.
2. Soit la droite $(D^{\prime }):3x-y+4=0$.
   a) Montrer que $(D^{\prime })$ est tangente au cercle $(C)$ en un point $H$.
   b) Déterminer les coordonnées de $H$.

On considère les points $A\left(1;\frac{5}{2}\right)$, $B\left(1;-\frac{3}{2}\right)$ et $C\left(-1;\frac{1}{2}\right)$.

1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
2. a) Montrer que $x^2+y^2-2x-y-\frac{11}{4}=0$ est une équation du cercle $(C)$ circonscrit au triangle $ABC$.
   b) Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $r$ de $(C)$.
3. On considère la droite $(D):x+2y=0$.
   a) Calculer $d(\Omega ,(D))$ et en déduire la position relative de $(C)$ et $(D)$.

On considère le cercle $(C):x^2+y^2-6x-2y+6=0$ et le point $A(1;1)$.

1. Vérifier que $A$ appartient à $(C)$.
2. Déterminer une équation de la tangente à $(C)$ en $A$.
3. Déterminer une représentation paramétrique de $(C)$.
4. Déterminer les points d'intersection de $(C)$ avec les axes du repère, s'ils existent.

$A$ et $B$ sont deux points du plan et $I$ le milieu de $[AB]$. Soit $M$ un point quelconque du plan.

1. Montrer que $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{1}{2}A{B}^2$.
2. Montrer que $M{A}^2-M{B}^2=2\overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{AB}$.
3. Montrer que $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-\frac{1}{4}A{B}^2$.

$A$ et $B$ sont deux points tels que $AB=6$ cm, et $I$ est le milieu de $[AB]$. On pourra utiliser les identités : $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{1}{2}A{B}^2$, $M{A}^2-M{B}^2=2\overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-\frac{1}{4}A{B}^2$. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

1. $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ ;
2. $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=4$ ;
3. $M{A}^2+M{B}^2=68$ ;
4. $M{A}^2+M{B}^2=2$ ;
5. $M{A}^2-M{B}^2=0$.

On considère le cercle $(C):x^2+y^2-2x-4y=0$ et la droite $(D):x+y+m=0$, où $m$ est un paramètre réel. Discuter, suivant les valeurs de $m$, la position relative de $(D)$ par rapport à $(C)$.

Pour tout réel $m$, on considère l'ensemble $(C_m)$ des points $M(x;y)$ tels que : $x^2+y^2-2mx-2(m+1)y+2m^2+2m=0$.

1. Montrer que pour tout $m\in \mathbb{R}$, $(C_m)$ est un cercle dont on précisera le centre ${\Omega }_m$ et le rayon $R$.
2. Déterminer l'ensemble décrit par ${\Omega }_m$ lorsque $m$ parcourt $\mathbb{R}$.
3. Quels sont les cercles $(C_m)$ tangents à l'axe des abscisses ?
4. Déterminer toutes les droites parallèles à la droite d'équation $y=x$ et tangentes à tous les cercles $(C_m)$.

On considère les points $A(1;-1)$, $B(3;1)$ et $C(3;3)$.

1. Déterminer une équation de la droite $(\Delta )$, hauteur du triangle $ABC$ issue de $A$.

2. Déterminer les équations des médiatrices $(L)$ et $(L^{\prime })$ des segments $[AB]$ et $[AC]$.

3. En déduire les coordonnées de $K$, centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

On considère les points $A(2;0)$ et $C(2;2)$, et la droite $(D)$ d'équation $(1-m)x+y-2=0$ avec $m\ne 1$.

1. Déterminer, en fonction de $m$, les distances $d=d(A;(D))$ et $d^{\prime }=d(C;(D))$.

2. Déterminer la (ou les) valeur(s) de $m$ telles que $d^{\prime }=2d$.

On considère le cercle $(C):x^2+y^2+8x-4y+10=0$ et la droite $(D):x-2y+13=0$.

1. Montrer que $(C)$ est un cercle et déterminer son centre $K$ et son rayon $r$.

2. Montrer que $(D)$ coupe $(C)$ en deux points $E$ et $F$, puis déterminer leurs coordonnées.

3. Soit $(D^{\prime }):3x-y+4=0$. Montrer que $(D^{\prime })$ est tangente à $(C)$ et déterminer le point de tangence $H$.

Soient $A\left(1;\frac{5}{2}\right)$, $B\left(1;-\frac{3}{2}\right)$ et $C\left(-1;\frac{1}{2}\right)$ trois points.

1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

2. Montrer que $x^2+y^2-2x-y-\frac{11}{4}=0$ est une équation du cercle $(C)$ circonscrit au triangle $ABC$, puis déterminer son centre $\Omega$ et son rayon $r$.

3. Soit la droite $(D):x+2y=0$. Calculer $d(\Omega ;(D))$ et en déduire la position relative de $(C)$ et $(D)$.

Soient $A(2;6)$, $B(8;2)$, $C(-3;-9)$, $D(7;1)$ et $H(5;3)$, et le cercle $(C):x^2+y^2-2x+4y-60=0$.

1. Calculer $\cos (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$ et $\sin (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$.

2. Montrer que $(C)$ est le cercle circonscrit au triangle $ABC$, en précisant son centre et son rayon.

3. Déterminer une équation de la hauteur $(\Delta )$ issue de $A$, puis montrer que la hauteur issue de $B$ passe par $H$.

4. En déduire que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs, et les vecteurs $\vec{u}\left(\sqrt{a};\sqrt{b}\right)$ et $\vec{v}\left(\frac{1}{\sqrt{a}};\frac{1}{\sqrt{b}}\right)$.

1. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à $\vec{u}$ et $\vec{v}$, montrer que $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$.

2. En utilisant l'inégalité triangulaire, montrer que $\sqrt{(a+\sqrt{a}{)}^2+(b+\sqrt{b}{)}^2}\le \sqrt{a+b}+\sqrt{a^2+b^2}$.

Soit u $\to$ = (2, 3), v $\to$ = (1, 4) et w $\to$ = (0, 2). Montrez que u $\to$ $\cdot$ (v $\to$ + w $\to$) = u $\to$ $\cdot$ v $\to$ + u $\to$ $\cdot$ w $\to$.

Soit le point $P(3,2)$ et la droite définie par le vecteur directeur u = $(1,1)$. Trouvez la distance du point $P$ à cette droite.

Montrez que les vecteurs u = (a, b) et v = (-b, a) sont orthogonaux.

Soit le vecteur x = $(x_1,x_2)$ tel que x $\cdot$ u = $10$ et x $\cdot$ v = $20$, où u = $(1,2)$ et v = $(3,-1)$. Trouvez les valeurs de $x_1$ et $x_2$.

Montrez que si u et v sont deux vecteurs orthogonaux, alors u $\cdot$ v = 0.

Résoudre le système suivant : $u\cdot v=5$ et $\Vert u\Vert =3$, où $u$ = $(x,y)$ et $v$ = $(1,2)$.

Soit u = $(3,4)$ et v = $(5,1)$. Trouvez la projection orthogonale de v sur u et déterminez la distance entre v et cette projection.

Dans un espace vectoriel, soit u$\to$ = (2, 2, 1) et v$\to$ = (1, 0, 3). Calculez le produit scalaire et montrez que les vecteurs ne sont pas orthogonaux.