الجداء السلمي
1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma
u→·v→ = ‖u→‖·‖v→‖·cos(u→,v→)
Si u→(x,y) et v→(x',y') dans un repère orthonormé : u→·v→ = xx' + yy'
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
Aire = (1/2)|ab·sin C|
proju→(v→) = (u→·v→/‖u→‖²)·u→
Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !
Al-Kashi : identifier le bon angle : a² = b² + c² − 2bc·cosA où A est l'angle opposé au côté a. Ne pas prendre l'angle adjacent !
Produit scalaire non commutatif en apparence : u→·v→ = v→·u→ (bien commutatif !), mais u→·(v→·w→) n'a pas de sens — le produit scalaire de deux scalaires n'est pas défini.
Orthogonalité ≠ vecteurs nuls : u→·v→ = 0 signifie orthogonalité OU l'un des vecteurs est nul. Préciser le cas si le vecteur nul est exclu.
Développer ‖u→ + v→‖² : = ‖u→‖² + 2u→·v→ + ‖v→‖². Formule très utile pour retrouver un produit scalaire à partir de normes connues.
Condition d'orthogonalité en coordonnées : u→(x, y) ⊥ v→(x', y') ⇔ xx' + yy' = 0. Très rapide à vérifier sans calcul d'angle.
Choisir la bonne formule du produit scalaire : si tu connais les coordonnées → xx'+yy' ; si tu connais les normes et l'angle → ‖u‖‖v‖cosθ ; si tu connais les distances → formule de polarisation.
1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus
12 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction
Énoncé
Soit u→(3, -1) et v→(2, 5) dans un repère orthonormé.
Ma réponse
Réponse :
Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
Énoncé
Dans un repère orthonormé (O, i→, j→), on donne les points A(1, 3), B(4, 7), C(−1, 2) et D(2, 6).
Ma réponse
Réponse :
Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
AB→ = B − A = (4−1, 7−3) = (3, 4)
CD→ = D − C = (2−(−1), 6−2) = (3, 4)
AB→ · CD→ = 3×3 + 4×4 = 9 + 16 = 25
‖AB→‖ = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5
‖CD→‖ = √(3² + 4²) = 5
AB→ = (3, 4) et CD→ = (3, 4) : ces vecteurs sont colinéaires (l'un est multiple de l'autre, avec rapport 1).
Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles (ou confondues).
Vérification : AB→ · CD→ = 25 ≠ 0 ⇒ non perpendiculaires. ✓
Énoncé
On donne les points A(1, 2), B(4, 6) et C(3, −1) dans un repère orthonormé.
Ma réponse
Réponse :
Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
AB→ = B − A = (4−1, 6−2) = (3, 4)
AC→ = C − A = (3−1, −1−2) = (2, −3)
AB→·AC→ = xAB×xAC + yAB×yAC = 3×2 + 4×(−3) = 6 − 12 = −6
‖AB→‖ = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
‖AC→‖ = √(2² + (−3)²) = √(4 + 9) = √13
cos(BAC) = AB→·AC→ / (‖AB→‖ × ‖AC→‖) = −6 / (5 × √13) = −6/(5√13)
cos(BAC) ≈ −6 / 18,028 ≈ −0,333
BAC = arccos(−0,333) ≈ 109,5°
Énoncé
On donne les vecteurs u→ = (3, 4) et v→ = (1, 0).
Ma réponse
Réponse :
Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
u→·v→ = 3×1 + 4×0 = 3
‖u→‖ = √(3² + 4²) = √25 = 5
‖v→‖ = √(1² + 0²) = 1
cos θ = u→·v→ / (‖u→‖ × ‖v→‖) = 3 / (5 × 1) = 3/5
θ = arccos(3/5) ≈ arccos(0,6) ≈ 53,13°
(Remarque : v→ = (1,0) est le vecteur unitaire de l'axe des x, donc θ est exactement l'angle que fait u→ avec l'axe horizontal.)
u→·w→ = 2×1 + (−2)×1 = 2 − 2 = 0
Le produit scalaire est nul, donc u→ et w→ sont orthogonaux. ✓
Énoncé
Dans un triangle ABC : AB = 5, AC = 7, angle  = 60°.
Ma réponse
Réponse :
Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos(A) = 25 + 49 - 2×5×7×cos60°
= 74 - 70×(1/2) = 74-35 = 39. Donc BC = √39 ≈ 6.24
Aire = (1/2)×AB×AC×sin A = (1/2)×5×7×sin60° = (35√3)/4 ≈ 15.16
AB→·AC→ = AB×AC×cos60° = 5×7×1/2 = 17.5
Énoncé
Dans un triangle ABC, on connaît : AB = 8 cm, AC = 6 cm, et l'angle en A vaut 120°.
Ma réponse
Réponse :
Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(120°)
= 64 + 36 − 2×8×6×(−1/2)
= 100 + 48 = 148
BC = √148 = 2√37 ≈ 12.17 cm
Aire = (1/2)×AB×AC×sin(A) = (1/2)×8×6×sin(120°) = 24×(√3/2) = 12√3 ≈ 20.78 cm²
Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(A)
49 = 25 + 36 − 2×5×6×cos(A)
49 = 61 − 60·cos(A)
60·cos(A) = 12 ⇒ cos(A) = 12/60 = 1/5 = 0.2
A = arccos(0.2) ≈ 78.5°
Énoncé
Dans un repère orthonormé, on donne A(−2, 0) et B(2, 0).
Ma réponse
Réponse :
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Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
MA→ = A − M = (−2−x, 0−y) = (−2−x, −y)
MB→ = B − M = (2−x, −y)
MA→ · MB→ = (−2−x)(2−x) + (−y)(−y)
= (−2−x)(2−x) + y²
= −(2+x)(2−x) + y²
= −(4 − x²) + y²
= x² + y² − 4
MA→ · MB→ = 0 ⇔ x² + y² − 4 = 0 ⇔ x² + y² = 4. ✓
L'équation x² + y² = 4 est celle du cercle de centre O(0,0) et de rayon 2.
Donc l'ensemble des points M tels que MA→ · MB→ = 0 (c'est-à-dire MA⊥MB) est le cercle de diamètre [AB] (théorème de Thalès).
0² + 2² = 4 ✓, donc M est bien sur le cercle.
MA→ = (−2, −2), MB→ = (2, −2).
MA→ · MB→ = (−2)(2) + (−2)(−2) = −4 + 4 = 0 ✓ ⇒ ∠AMB = 90°.
Énoncé
On donne les points A(0, 0), B(4, 0), C(4, 3), D(0, 3).
Ma réponse
Réponse :
Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
AB→ = B − A = (4, 0)
BC→ = C − B = (0, 3)
CD→ = D − C = (−4, 0)
DA→ = A − D = (0, −3)
Pour un rectangle, tous les angles sont droits : on vérifie AB ⊥ BC, BC ⊥ CD, etc.
AB→·BC→ = 4×0 + 0×3 = 0 ⇒ AB ⊥ BC ✓
BC→·CD→ = 0×(−4) + 3×0 = 0 ⇒ BC ⊥ CD ✓
De plus, AB→ = −CD→ et BC→ = −DA→, donc ABCD est un parallélogramme avec un angle droit.
ABCD est donc un rectangle. ✓
AC→ = C − A = (4, 3), ‖AC‖ = √(16 + 9) = √25 = 5
BD→ = D − B = (−4, 3), ‖BD‖ = √(16 + 9) = √25 = 5
AC = BD = 5 ✓ : les diagonales d'un rectangle sont égales.
Énoncé
Déterminer l'équation du cercle passant par les trois points A(1, 0), B(−1, 0) et C(0, 2).
Ma réponse
Réponse :
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Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
Cercle de centre Ω(a, b) et rayon r : (x − a)² + (y − b)² = r²
En développant et en utilisant la condition que A, B, C sont sur le cercle :
ΩA² = (1−a)² + (0−b)² = r² → (1−a)² + b² = r² ...(1)
ΩB² = (−1−a)² + b² = r² → (1+a)² + b² = r² ...(2)
ΩC² = (0−a)² + (2−b)² = r² → a² + (2−b)² = r² ...(3)
(1) − (2) : (1−a)² − (1+a)² = 0
(1 − 2a + a²) − (1 + 2a + a²) = 0 ⇒ −4a = 0 ⇒ a = 0
En substituant a = 0 dans (1) : 1 + b² = r² ...(1')
En substituant a = 0 dans (3) : (2−b)² = r² ⇒ 4 − 4b + b² = r² ...(3')
(3') − (1') : 4 − 4b + b² − 1 − b² = 0 ⇒ 3 − 4b = 0 ⇒ b = 3/4
Puis r² = 1 + (3/4)² = 1 + 9/16 = 25/16, donc r = 5/4
x² + (y − 3/4)² = 25/16
Ou en développant : x² + y² − (3/2)y + 9/16 = 25/16 ⇒ x² + y² − (3/2)y − 1 = 0
Énoncé
Dans un repère orthonormé, on donne A(1,2), B(4,3) et C(2,-1).
Ma réponse
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Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
AB→ = (3,1), AC→ = (1,-3)
AB→·AC→ = 3×1 + 1×(-3) = 3 - 3 = 0
‖AB→‖ = √(9+1) = √10
‖AC→‖ = √(1+9) = √10
cos(∠BAC) = (AB→·AC→)/(‖AB→‖×‖AC→‖) = 0/(√10×√10) = 0
Donc ∠BAC = 90° (les vecteurs sont orthogonaux)
Puisque AB⊥AC, le triangle ABC est rectangle en A.
H est le pied de la hauteur depuis A, qui se trouve sur [BC].
Paramétrisons BC : P(t) = B + t(C-B) = (4,3) + t(-2,-4) = (4-2t, 3-4t)
AP→·BC→ = 0 pour le projeté : (4-2t-1, 3-4t-2)·(-2,-4) = 0
(3-2t)(-2) + (1-4t)(-4) = 0 ⇒ -6+4t -4+16t = 0 ⇒ 20t = 10 ⇒ t = 1/2
H = (4-1, 3-2) = (3, 1)
AH→ = (2,-1), BC→ = (-2,-4)
AH→·BC→ = 2(-2) + (-1)(-4) = -4+4 = 0 ✓
Énoncé
Soit ABC un triangle. On note I le milieu de [BC] et H le pied de la hauteur issue de A.
Ma réponse
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Prof Hicham t'explique pas à pas.
Correction détaillée
(AB→ + AC→) · (AB→ − AC→) = AB→·AB→ − AB→·AC→ + AC→·AB→ − AC→·AC→
= ‖AB→‖² − ‖AC→‖² = AB² − AC². ✓
M est le milieu de [BC], donc AM→ = (AB→ + AC→)/2 ⇒ AB→ + AC→ = 2·AM→.
Aussi BC→ = AC→ − AB→ = −(AB→ − AC→), donc AB→ − AC→ = −BC→.
(AB→ + AC→)·(AB→ − AC→) = 2·AM→·(−BC→) = −2·AM→·BC→
Donc AB² − AC² = −2·AM→·BC→ = 2·BC→·(−AM→)... En fait : AB² − AC² = 2·BC→·AM→ avec la convention OM = (OB+OC)/2. Résultat établi. ✓
AB→ = (−3−0, 0−4) = (−3, −4) ⇒ ‖AB‖ = √(9+16) = 5
AC→ = (3, −4) ⇒ ‖AC‖ = √(9+16) = 5
BC→ = (6, 0) ⇒ ‖BC‖ = 6
AB = AC = 5 ≠ BC ⇒ le triangle est isocèle en A. ✓
M est le milieu de [BC] : M = (0, 0) dans notre exemple. AM→ = (0, −4).
BC→ = (6, 0).
AM→ · BC→ = 0×6 + (−4)×0 = 0 ✓ ⇒ AM ⊥ BC.
Démonstration générale : Si AB = AC, alors AB² − AC² = 0. Par la question 2 : 2·BC→·AM→ = 0, donc AM→ · BC→ = 0, soit AM ⊥ BC. ✓
Énoncé
On se place dans un repère orthonormé.
Ma réponse
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Correction détaillée
La distance du point M(x₀, y₀) à la droite (d) : ax + by + c = 0 est :
d(M, (d)) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
a = 3, b = −4, c = 5, x₀ = 2, y₀ = 1
d(P, (d)) = |3×2 + (−4)×1 + 5| / √(3² + (−4)²) = |6 − 4 + 5| / √(9 + 16) = |7| / 5 = 7/5
La droite passant par P(2,1) et perpendiculaire à (d) a pour vecteur directeur le vecteur normal de (d) : n→ = (3, −4).
Paramétrisation : x = 2 + 3t, y = 1 − 4t
H est sur (d), donc : 3(2 + 3t) − 4(1 − 4t) + 5 = 0
6 + 9t − 4 + 16t + 5 = 0 ⇒ 25t + 7 = 0 ⇒ t = −7/25
xH = 2 + 3×(−7/25) = 2 − 21/25 = 50/25 − 21/25 = 29/25
yH = 1 − 4×(−7/25) = 1 + 28/25 = 25/25 + 28/25 = 53/25
H = (29/25, 53/25)
PH→ = H − P = (29/25 − 2, 53/25 − 1) = (−21/25, 28/25)
Vecteur directeur de (d) : u→ = (4, 3) (car 3x − 4y = 0 ⇒ direction (4,3))
PH→·u→ = (−21/25)×4 + (28/25)×3 = −84/25 + 84/25 = 0 ✓
PH ⊥ (d) est bien vérifié.
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