La rotation

الدوران

📖 Cours complet inclus ✏️ 18 exercices interactifs 📄 PDF téléchargeable Partager

La rotation — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Définition d'une rotation

Définition

Soient Ω un point du plan et θ un réel (angle orienté). La rotation de centre Ω et d'angle θ, notée R(Ω, θ), est la transformation du plan qui associe à tout point M :

  • M' = Ω si M = Ω
  • M' tel que : ΩM' = ΩM et (ΩM→, ΩM'→) ≡ θ [2π] sinon

Cas particuliers

  • θ = 0 : R est l'identité.
  • θ = π : R est la symétrie centrale de centre Ω.
  • θ = π/2 : « quart de tour direct » autour de Ω.

II. Propriétés fondamentales

Conservation des distances

Une rotation est une isométrie : si M' = R(M) et N' = R(N), alors :

M'N' = MN

Conservation des angles orientés

Pour toute rotation R d'angle θ, et tous points A, B, C distincts de leurs images :

(A'B'→, A'C'→) ≡ (AB→, AC→) [2π]

De plus, pour tout vecteur u→ et son image u'→ : (u→, u'→) ≡ θ [2π].

Conservation du parallélisme et de l'orthogonalité

Une rotation conserve le parallélisme, l'orthogonalité, le milieu, les barycentres, les aires, les rapports de mesures algébriques.

Points fixes

Si θ ≢ 0 [2π], le seul point fixe de R(Ω, θ) est Ω.

III. Images des figures usuelles

Image d'une droite

L'image d'une droite D par la rotation R d'angle θ est une droite D' telle que l'angle orienté (D, D') ≡ θ [π] (angle de droites).

Image d'un cercle

L'image du cercle C(I, r) par une rotation R est le cercle C(I', r) de même rayon, où I' = R(I).

Image d'un segment / triangle

L'image du segment [AB] est le segment [A'B'] de même longueur. L'image d'un triangle est un triangle directement semblable (même sens, même forme, même taille — donc isométrique).

IV. Écriture complexe d'une rotation

Formule fondamentale

Dans le plan complexe, la rotation R(Ω, θ) avec Ω d'affixe ω s'écrit :

z' − ω = eiθ·(z − ω)

soit z' = eiθ·z + (1 − eiθ)·ω.

Reconnaissance

Si z' = a·z + b avec |a| = 1 et a ≠ 1, alors la transformation est une rotation :

  • Angle : θ = arg(a)
  • Centre : Ω d'affixe ω = b/(1 − a)

Si a = 1, c'est une translation de vecteur d'affixe b.

V. Composition de rotations

Même centre

R(Ω, θ1) ∘ R(Ω, θ2) = R(Ω, θ1 + θ2).

Centres différents

La composée R(Ω1, θ1) ∘ R(Ω2, θ2) est :

  • Une rotation d'angle θ1 + θ2 si θ1 + θ2 ≢ 0 [2π].
  • Une translation si θ1 + θ2 ≡ 0 [2π].

On détermine le centre (ou le vecteur de translation) par le calcul complexe.

Réciproque

La bijection réciproque de R(Ω, θ) est R(Ω, −θ).

VI. Rotation et triangles remarquables

Triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral direct ssi la rotation R(A, π/3) transforme B en C :

C − A = eiπ/3·(B − A)   ⇔   (c − a)/(b − a) = eiπ/3

Triangle rectangle isocèle

ABC est rectangle isocèle direct en A ssi R(A, π/2)(B) = C, soit (c − a)/(b − a) = i.

VII. Méthode générale pour résoudre un problème par rotation

Plan de résolution

  1. Identifier une rotation R naturelle (centre = point fixe évident, angle = angle remarquable du problème).
  2. Appliquer R à une figure clé : image d'un point, d'un segment, d'une droite.
  3. Utiliser les propriétés (isométrie, conservation d'angle) pour conclure.

Exemple typique : dans un carré ABCD, montrer qu'une certaine somme de distances est égale ⇔ trouver la rotation qui échange les points concernés.

🔑 Formules clés à retenir

  • Définition : R(Ω, θ) : M ↦ M' tq ΩM' = ΩM et (ΩM→, ΩM'→) = θ
  • Écriture complexe : z' − ω = eiθ(z − ω)
  • Reconnaissance : z' = az + b avec |a|=1, a≠1 ⇒ rotation d'angle arg(a), centre ω = b/(1−a)
  • Isométrie : M'N' = MN · conservation des angles orientés
  • Composition centres identiques : R(Ω,θ1) ∘ R(Ω,θ2) = R(Ω, θ1+θ2)
  • Centres différents : rotation si θ1+θ2 ≠ 0 [2π], sinon translation
  • Réciproque : R(Ω, θ)−1 = R(Ω, −θ)
  • Triangle équilatéral direct : (c−a)/(b−a) = eiπ/3
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Sens de rotation : angle positif = sens antihoraire, angle négatif = sens horaire. Respecter la convention des angles orientés !

❌

Trouver le centre d'une rotation : si f(z) = e^(iθ)z + b, le centre n'est pas l'origine ! C'est ω = b/(1 − e^(iθ)). Ne pas oublier de résoudre f(ω) = ω.

❌

Composition de deux rotations de centres différents : si θ₁ + θ₂ = 2kπ, la composition est une translation (pas une rotation). Vérifier toujours la somme des angles !

🟢 Astuces de pros

✅

Reconnaître une rotation : f(z) = az + b avec |a| = 1 et a ≠ 1 → rotation d'angle arg(a). Calculer |a| en premier pour savoir si c'est une rotation ou une homothétie.

✅

Triangle équilatéral : ABC est équilatéral direct ssi (c−a)/(b−a) = e^(iπ/3) = 1/2 + i√3/2. Cette condition encode à la fois |BC|=|AB| et l'angle de 60°.

💡

Rotation + isométrie : une rotation conserve les distances (|M'N'| = |MN|) et les angles orientés. Ces deux propriétés sont les premières à utiliser pour prouver qu'un triangle est équilatéral/rectangle par rotation.