La rotation — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Définition d'une rotation

Définition

Soient Ω un point du plan et $θ$ un réel (angle orienté). La rotation de centre Ω et d'angle $θ$ , notée $R (Ω, θ)$ , est la transformation du plan qui associe à tout point M :

$M^{'} = Ω$ si $M = Ω$
$M^{'}$ tel que : $Ω M^{'} = Ω M$ et $(Ω M, Ω M^{'}) \equiv θ (mod 2 π)$ sinon

Cas particuliers

$θ = 0$ : $R$ est l'identité.
$θ = π$ : $R$ est la symétrie centrale de centre Ω.
$θ = π /2$ : « quart de tour direct » autour de Ω.

II. Propriétés fondamentales

Conservation des distances

Une rotation est une isométrie : si $M^{'} = R (M)$ et $N^{'} = R (N)$ , alors :

$M^{'} N^{'} = M N$

Conservation des angles orientés

Pour toute rotation $R$ d'angle $θ$ , et tous points $A, B, C$ distincts de leurs images :

$(A^{'} B^{'}, A^{'} C^{'}) \equiv (A B, A C) (mod 2 π)$

De plus, pour tout vecteur $u$ et son image $u^{'}$ : $(u, u^{'}) \equiv θ (mod 2 π)$ .

Conservation du parallélisme et de l'orthogonalité

Une rotation conserve le parallélisme, l'orthogonalité, le milieu, les barycentres, les aires, les rapports de mesures algébriques.

Points fixes

Si $θ \neq \equiv 0 (mod 2 π)$ , le seul point fixe de $R (Ω, θ)$ est Ω.

III. Images des figures usuelles

Image d'une droite

L'image d'une droite $D$ par la rotation $R$ d'angle $θ$ est une droite $D^{'}$ telle que l'angle orienté $(D, D^{'}) \equiv θ (mod π)$ (angle de droites).

Image d'un cercle

L'image du cercle $C (I, r)$ par une rotation $R$ est le cercle $C (I^{'}, r)$ de même rayon, où $I^{'} = R (I)$ .

Image d'un segment / triangle

L'image du segment $[A B]$ est le segment $[A^{'} B^{'}]$ de même longueur. L'image d'un triangle est un triangle directement semblable (même sens, même forme, même taille — donc isométrique).

IV. Écriture complexe d'une rotation

Formule fondamentale

Dans le plan complexe, la rotation $R (Ω, θ)$ avec Ω d'affixe $ω$ s'écrit :

$z^{'} - ω = e^{i θ} \cdot (z - ω)$

soit $z^{'} = e^{i θ} \cdot z + (1 - e^{i θ}) \cdot ω$ .

Reconnaissance

Si $z^{'} = a \cdot z + b$ avec $∣ a ∣ = 1$ et $a \neq = 1$ , alors la transformation est une rotation :

Angle : $θ = ar g (a)$
Centre : Ω d'affixe $ω = \frac{b}{1 - a}$

Si $a = 1$ , c'est une translation de vecteur d'affixe $b$ .

V. Composition de rotations

Même centre

$R (Ω, θ_{1}) \circ R (Ω, θ_{2}) = R (Ω, θ_{1} + θ_{2})$ .

Centres différents

La composée $R (Ω_{1}, θ_{1}) \circ R (Ω_{2}, θ_{2})$ est :

Une rotation d'angle $θ_{1} + θ_{2}$ si $θ_{1} + θ_{2} \neq \equiv 0 (mod 2 π)$ .
Une translation si $θ_{1} + θ_{2} \equiv 0 (mod 2 π)$ .

On détermine le centre (ou le vecteur de translation) par le calcul complexe.

Réciproque

La bijection réciproque de $R (Ω, θ)$ est $R (Ω, - θ)$ .

VI. Rotation et triangles remarquables

Triangle équilatéral

$A B C$ est un triangle équilatéral direct ssi la rotation $R (A, π /3)$ transforme $B$ en $C$ :

$c - a = e^{iπ /3} \cdot (b - a)$ ⇔ $\frac{c - a}{b - a} = e^{iπ /3}$

Triangle rectangle isocèle

$A B C$ est rectangle isocèle direct en $A$ ssi $R (A, π /2) (B) = C$ , soit $\frac{c - a}{b - a} = i$ .

VII. Méthode générale pour résoudre un problème par rotation

Plan de résolution

Identifier une rotation $R$ naturelle (centre = point fixe évident, angle = angle remarquable du problème).
Appliquer $R$ à une figure clé : image d'un point, d'un segment, d'une droite.
Utiliser les propriétés (isométrie, conservation d'angle) pour conclure.

Exemple typique : dans un carré $A B C D$ , montrer qu'une certaine somme de distances est égale ⇔ trouver la rotation qui échange les points concernés.

📈 Figure clé

Rotation de centre

O

et d'angle

θ

🔑 Formules clés à retenir

Définition : R(Ω, θ) : M ↦ M' tq ΩM' = ΩM et $(Ω M, Ω M^{'}) = θ$
Écriture complexe : $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$
Reconnaissance : $z^{'} = a z + b$ avec $∣ a ∣ = 1$ , $a \neq = 1$ ⇒ rotation d'angle $ar g (a)$ , centre $ω = \frac{b}{1 - a}$
Isométrie : M'N' = MN · conservation des angles orientés
Composition centres identiques : $R (Ω, θ_{1}) \circ R (Ω, θ_{2}) = R (Ω, θ_{1} + θ_{2})$
Centres différents : rotation si $θ_{1} + θ_{2} \neq = 0 (mod 2 π)$ , sinon translation
Réciproque : $R (Ω, θ)^{- 1} = R (Ω, - θ)$
Triangle équilatéral direct : $\frac{c - a}{b - a} = e^{iπ /3}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Sens de rotation : angle positif = sens antihoraire, angle négatif = sens horaire. Respecter la convention des angles orientés !

❌

Trouver le centre d'une rotation : si $f (z) = e^{i θ} z + b$ , le centre n'est pas l'origine ! C'est $ω = \frac{b}{1 - e ^{i θ}}$ . Ne pas oublier de résoudre $f (ω) = ω$ .

❌

Composition de deux rotations de centres différents : si $θ_{1} + θ_{2} = 2 k π$ , la composition est une translation (pas une rotation). Vérifier toujours la somme des angles !

🟢 Astuces de pros

✅

Reconnaître une rotation : $f (z) = a z + b$ avec $∣ a ∣ = 1$ et $a \neq = 1$ → rotation d'angle $ar g (a)$ . Calculer $∣ a ∣$ en premier pour savoir si c'est une rotation ou une homothétie.

✅

Triangle équilatéral : ABC est équilatéral direct ssi $\frac{c - a}{b - a} = e^{iπ /3} = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}$ . Cette condition encode à la fois $∣ B C ∣ = ∣ A B ∣$ et l'angle de 60°.

💡

Rotation + isométrie : une rotation conserve les distances ( $∣ M^{'} N^{'} ∣ = ∣ M N ∣$ ) et les angles orientés. Ces deux propriétés sont les premières à utiliser pour prouver qu'un triangle est équilatéral/rectangle par rotation.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — La rotation

Type 1 : Reconnaître et caractériser une rotation

Quand ? On te donne un centre $Ω$ et un angle $θ$ , ou on demande d'identifier la rotation.

Repère le centre $Ω$ (point fixe) et l'angle orienté $θ$ .
Rappelle la définition : $R (M) = M^{'}$ tel que $Ω M^{'} = Ω M$ et $(Ω M, Ω M^{'}) \equiv θ [2 π]$ .
Note le cas particulier : si $θ = π$ , la rotation est la symétrie centrale de centre $Ω$ .
Conclus sur la nature de la transformation.

Exemple éclair : Une rotation de centre $Ω$ et d'angle $\frac{π}{2}$ envoie $M$ sur $M^{'}$ avec $Ω M = Ω M^{'}$ et un angle droit en $Ω$ .

Type 2 : Construire l'image d'un point

Quand ? On demande de construire géométriquement $M^{'} = R (M)$ .

Trace le segment $[Ω M]$ .
Reporte l'angle $θ$ à partir de $Ω M$ dans le sens orienté.
Place $M^{'}$ sur la demi-droite obtenue tel que $Ω M^{'} = Ω M$ .
Vérifie que le triangle $Ω M M^{'}$ est isocèle en $Ω$ .

Exemple éclair : Pour $θ = \frac{π}{3}$ , $Ω M M^{'}$ est isocèle avec un angle au sommet de $60°$ , donc équilatéral.

Type 3 : Déterminer l'écriture complexe d'une rotation

Quand ? On travaille dans le plan complexe avec une rotation de centre $Ω (ω)$ et d'angle $θ$ .

Rappelle la formule : $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$ .
Remplace $ω$ et $θ$ par leurs valeurs.
Développe pour obtenir $z^{'} = a z + b$ avec $a = e^{i θ}$ et $b = ω (1 - e^{i θ})$ .
Donne $z^{'}$ sous forme algébrique si demandé.

Exemple éclair : Rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{π}{2}$ : $z^{'} = e^{iπ /2} z = i z$ .

Type 4 : Identifier une rotation à partir de son écriture complexe

Quand ? On te donne $z^{'} = a z + b$ avec $∣ a ∣ = 1$ et $a \neq = 1$ , et on demande la nature.

Vérifie que $∣ a ∣ = 1$ : c'est bien une rotation (sinon, autre transformation).
L'angle est $θ = ar g (a)$ .
Cherche le centre $ω$ comme point fixe : résous $ω = aω + b$ , d'où $ω = \frac{b}{1 - a}$ .
Conclus : rotation de centre $Ω (ω)$ et d'angle $θ$ .

Exemple éclair : $z^{'} = i z + 1$ : $∣ i ∣ = 1$ , $θ = \frac{π}{2}$ , $ω = \frac{1}{1 - i} = \frac{1 + i}{2}$ .

Type 5 : Déterminer l'image d'une figure

Quand ? On demande l'image d'une droite, d'un segment ou d'un cercle par une rotation.

Rappelle que la rotation conserve les distances, les angles et les natures des figures.
Image d'une droite : une droite ; d'un cercle : un cercle de même rayon.
Détermine l'image de points clés (deux points pour une droite, le centre pour un cercle).
Construis ou caractérise la figure image à partir de ces images.

Exemple éclair : L'image d'un cercle de centre $I$ et rayon $r$ est le cercle de centre $R (I)$ et de même rayon $r$ .

Type 6 : Composer deux rotations

Quand ? On demande la nature de $R_{2} \circ R_{1}$ pour deux rotations d'angles $θ_{1}$ et $θ_{2}$ .

Écris chaque rotation sous forme complexe : $z_{1} = a_{1} z + b_{1}$ puis $z^{'} = a_{2} z_{1} + b_{2}$ .
Compose : $z^{'} = a_{2} a_{1} z + (a_{2} b_{1} + b_{2})$ , avec $a_{2} a_{1} = e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$ .
Si $θ_{1} + θ_{2} \neq \equiv 0 [2 π]$ : rotation d'angle $θ_{1} + θ_{2}$ , centre = point fixe.
Si $θ_{1} + θ_{2} \equiv 0 [2 π]$ : la composée est une translation.

Exemple éclair : Composer deux rotations d'angles $\frac{π}{3}$ et $\frac{π}{6}$ donne une rotation d'angle $\frac{π}{2}$ .

Type 7 : Utiliser la rotation pour démontrer une propriété géométrique

Quand ? On veut prouver une égalité de longueurs, qu'un triangle est équilatéral, ou un angle.

Identifie une rotation qui transforme une partie de la figure en une autre.
Vérifie le centre et l'angle en testant l'image d'un ou deux points.
Exploite la conservation des distances et des angles pour conclure.
Rédige : par cette rotation $A \mapsto A^{'}$ , donc $Ω A = Ω A^{'}$ , etc.

Exemple éclair : Si une rotation d'angle $\frac{π}{3}$ envoie $B$ sur $C$ autour de $A$ , alors $A B C$ est équilatéral.

La rotation — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

54 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

22 exercices

Image d'un point par une rotation

Facile

Énoncé

Dans le plan complexe, soit R la rotation de centre $Ω$ d'affixe 1 + i et d'angle $π$ /2.

Donner l'écriture complexe de R.
Déterminer l'affixe de l'image de A(3 ; 2).
Déterminer l'affixe de l'image de B(0 ; 0).

Ma réponse

La rotation

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I. Définition d'une rotation

Définition

Cas particuliers

II. Propriétés fondamentales

Conservation des distances

Conservation des angles orientés

Conservation du parallélisme et de l'orthogonalité

Points fixes

III. Images des figures usuelles

Image d'une droite

Image d'un cercle

Image d'un segment / triangle

IV. Écriture complexe d'une rotation

Formule fondamentale

Reconnaissance

V. Composition de rotations

Même centre

Centres différents

Réciproque

VI. Rotation et triangles remarquables

Triangle équilatéral

Triangle rectangle isocèle

VII. Méthode générale pour résoudre un problème par rotation

Plan de résolution

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — La rotation

Type 1 : Reconnaître et caractériser une rotation

Type 2 : Construire l'image d'un point

Type 3 : Déterminer l'écriture complexe d'une rotation

Type 4 : Identifier une rotation à partir de son écriture complexe

Type 5 : Déterminer l'image d'une figure

Type 6 : Composer deux rotations

Type 7 : Utiliser la rotation pour démontrer une propriété géométrique

La rotation — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Image d'un point par une rotation

Reconnaissance d'une rotation

Image d'une droite

Composition de rotations de même centre

Images par une rotation d'angle 90° de centre O

Rotation d'angle 180° de centre I(1,1)

Images des sommets d'un carré par une rotation

Images des sommets d'un carré et angle d'une rotation

Énoncé

Rotation d'un point autour d'un centre

Conservation des distances

Rotation et milieu

Rotation simple d'un point

Image d'un segment par rotation

Rotation d'un point

Détermination d'une image par rotation

Distance entre points

Rotation et symétrie

Rotation simple autour d'un point

Image d'un segment

Application de la rotation sur un triangle

Rotation simple autour d'un point

Détermination d'une image par rotation

Exercices Intermédiaires

Triangle équilatéral

Composition de rotations de centres distincts

Carré et rotation

Problème de construction

Déterminer le centre et l'angle d'une rotation

Propriétés conservées : triangle isocèle par rotation

Composition de deux rotations de même centre

Égalité et orthogonalité par rotation d'angle droit

Deux segments égaux et perpendiculaires dans un carré

Image d'un cercle par rotation et points alignés

Triangles rectangles isocèles construits sur les côtés