Exercice 3 — Suite récurrente, monotonie et encadrement

On considère la suite ($w_n$) définie par : $w_0=1$ et, pour tout entier naturel n, $w_{n+1}=\frac{w_n+3}{2}$.

1. Calculer $w_1$, $w_2$ et $w_3$.
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, $w_n<3$.
3. Étudier la monotonie de la suite ($w_n$) en examinant le signe de $w_{n+1}-w_n$.
4. La suite ($w_n$) est-elle convergente ? Justifier intuitivement en précisant vers quelle valeur elle semble tendre.

Exercice 4 — Épargne bancaire à Casablanca

Un particulier dépose 5 000 dirhams dans un compte d'épargne auprès d'une banque à Casablanca. Ce compte est rémunéré à un taux annuel de 4 %. À la fin de chaque année, les intérêts sont automatiquement ajoutés au capital.

On note $C_n$ le capital (en dirhams) disponible sur le compte à la fin de la n-ième année, avec $C_0=5000$.

1. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire la nature de la suite $(C_n)$.
2. Exprimer $C_n$ en fonction de n.
3. Calculer le capital disponible à la fin de la 10ème année. On donnera la valeur arrondie au dirham près. (On rappelle que $1,04^{10}\approx 1,4802$.)
4. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il au moins doublé ? (On rappelle que $\log (1,04)\approx 0,0170$ et $\log (2)\approx 0,3010$.)

Exercice 4 — Situation-problème

Un habitant de Casablanca place une somme d'argent dans un compte bancaire. Au début de chaque année, il verse 500 dirhams sur ce compte. Le compte génère un intérêt annuel de 10% sur le capital présent en fin d'année (après versement).

On note $C_n$ le capital (en dirhams) disponible sur le compte à la fin de l'année n (après calcul des intérêts), avec $C_0=500\times 1,1=550$ dirhams (premier versement en début d'année 1, intérêts calculés en fin d'année 1 ; on pose n = 0 pour la fin de la première année).

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $C_{n+1}=1,1\times C_n+550$.
2. On pose $D_n=C_n+a$, où a est un réel à déterminer, de sorte que $(D_n)$ soit une suite géométrique. Trouver la valeur de a, puis exprimer $D_n$ en fonction de n.
3. En déduire l'expression de $C_n$ en fonction de n.
4. Calculer $C_9$ (arrondi au dirham). Interpréter le résultat.

Exercice 3

On considère la suite $(w_n)$ définie par : $w_0=1$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $w_{n+1}=(w_n{)}^2+w_n-1$.

On définit également la suite $(a_n)$ par : $a_n=w_n-1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $w_1$, $w_2$ et $w_3$.
2. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $w_{n+1}-w_n=(w_n{)}^2-1$. En déduire le sens de variation de $(w_n)$ à partir du rang 1.
3. Montrer que $a_{n+1}=a_n\times (a_n+2)$. En déduire que si $a_0\ge 0$, alors $a_n\ge 0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
4. Montrer par récurrence que $w_n\ge 1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $S=1+3+5+\dots +99$ (somme des 50 premiers nombres impairs).

2. Calculer $T=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\dots +\frac{1}{3^n}$.

3. Un capital de 10 000 DH est placé à 5% d'intérêts composés par an. Calculer le capital après 10 ans.

Une banque propose un placement à intérêts composés au taux annuel de 4%. On place un capital initial $C_0=20000$ DH.

1. Exprimer le capital $C_n$ après n années en fonction de n.
2. Montrer que la suite $(C_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
3. Après combien d'années le capital aura-t-il doublé ? (On utilisera $\ln 2\approx 0.693$ et $\ln 1.04\approx 0.0392$)
4. Calculer le capital au bout de 5 ans (arrondir à 1 DH).

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=\frac{u_n+4}{2}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
2. Conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_n)$.
3. Montrer par récurrence que $u_n\le 4$ pour tout $n\ge 0$.
4. Montrer que $(u_n)$ est croissante, puis conclure sur la convergence.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+4$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Déterminer le réel $\ell$ tel que $\ell =\frac{1}{3}\ell +4$.
3. On pose $v_n=u_n-\ell$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison et $v_0$.
4. En déduire $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
5. Déterminer la limite de $(u_n)$.

Soit $(u_n)$ définie pour $n\ge 1$ par $u_n=\frac{\sin n}{n}+\frac{\cos n}{n^2}$.

1. Montrer que pour tout $n\ge 1$ : $-\frac{2}{n}\le u_n\le \frac{2}{n}$.
2. En déduire la limite de $(u_n)$ par le théorème des gendarmes.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n-3$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
2. On pose $v_n=u_n-3$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
3. En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer la limite de $(u_n)$ quand $n\to +\infty$.

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $u_n=\frac{n}{n+1}$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$.
2. Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
3. Montrer que $(u_n)$ est majorée par $1$.
4. En déduire la limite de $(u_n)$ quand $n\to +\infty$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par :

$u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}\text{et}{u}_0=1$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $1\le u_n\le 3$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

Soit $(u_n)$ la suite définie par :

$u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+2\text{et}{u}_0=2$

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $3$.
2. Étudier la monotonie de $(u_n)$, puis en déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n\ge 2$.
3. On pose $v_n=u_n-3$.
   1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   3. En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
4. Calculer $S_n=v_0+v_1+\cdots +v_n$ en fonction de $n$.
5. Calculer $T_n=u_0+u_1+\cdots +u_n$ en fonction de $n$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par :

$u_{n+1}=1-\frac{9}{u_n+5}\text{et}{u}_0=1$

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>-2$.
2. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
3. On pose $v_n=\frac{1}{u_n+2}$.
   1. Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
   2. Calculer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par :

$u_{n+1}=\frac{3u_n}{21+u_n}\text{et}{u}_0=1$

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>0$.
2. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}\le \frac{1}{7}{u}_n$.
3. En déduire la monotonie de la suite $(u_n)$.
4. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $0<u_n\le {\left(\frac{1}{7}\right)}^n$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $1\le u_n\le 3$.

2. Montrer que $(u_n)$ est croissante.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n+2$.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $3$.

2. Étudier la monotonie de $(u_n)$ et en déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\ge 2$.

3. On pose $v_n=u_n-3$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique, exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

4. Calculer $S_n=v_0+v_1+\cdots +v_n$ puis $T_n=u_0+u_1+\cdots +u_n$ en fonction de $n$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{3u_n}{21+u_n}$.

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>0$.

2. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}\le \frac{1}{7}{u}_n$.

3. En déduire la monotonie de $(u_n)$.

4. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $0<u_n\le {\left(\frac{1}{7}\right)}^n$.

1. Soit $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ une suite telle que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $u_1+u_2+\cdots +u_n=2n^2+n$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

2. Soit $(v_n)$ une suite arithmétique décroissante de premier terme $v_0=2$ et de raison $r$ telle que $4(v_1{)}^2+(v_2{)}^2=164$. Déterminer la raison $r$.

Soient $a,b,c,d,e$ cinq entiers qui, dans cet ordre, sont cinq termes consécutifs d'une suite arithmétique. On sait que $a$ est le plus petit des cinq entiers, que leur somme vaut $40$ et que leur produit vaut $12320$. Déterminer les cinq nombres $a,b,c,d,e$.

Soit la suite ($z_n$) définie par $z_0$ = 3 et z_{n+1} = $z_n$ + 5. Calculez la somme des 10 premiers termes.

Soit la suite $(a_n)$ définie par $a_n=2^n$ et la suite $(b_n)$ définie par $b_n=n^2$. Pour $n\ge 0$, montrez que $(a_n)$ croît plus vite que $(b_n)$.