Les suites numériques

المتتاليات العددية

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Les suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Généralités sur les suites

Définition

Une suite numérique (un) est une application de ℕ (ou d'une partie de ℕ) dans ℝ. On note un le terme de rang n, également appelé terme général.

Modes de définition

  • Explicite : un = f(n), par exemple un = 2n + 3.
  • Récurrente : u0 donné et un+1 = f(un), par exemple u0=1 et un+1 = √(un+2).

Sens de variation

  • Croissante : ∀n ∈ ℕ, un+1 ≥ un (strictement croissante si >)
  • Décroissante : ∀n ∈ ℕ, un+1 ≤ un (strictement décroissante si <)
  • Monotone : croissante ou décroissante
  • Constante : un+1 = un pour tout n

Méthodes pour étudier la monotonie

  1. Étudier le signe de un+1 − un (méthode la plus générale)
  2. Comparer un+1/un à 1 si tous les termes sont de même signe strict
  3. Étudier f si un = f(n) : la monotonie de (un) suit celle de f sur [0 ; +∞[

II. Suites arithmétiques

Définition

Une suite (un) est arithmétique de raison r si un+1 = un + r pour tout n ∈ ℕ.

Propriétés fondamentales

  • Terme général : un = u0 + nr ou un = up + (n−p)r
  • Sens de variation : croissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0
  • Somme des termes : S = u0 + u1 + ... + un = (n+1)(u0+un)/2

Formule générale : Somme = (nombre de termes) × (premier + dernier) / 2

III. Suites géométriques

Définition

Une suite (un) est géométrique de raison q (q ≠ 0) si un+1 = q · un pour tout n ∈ ℕ.

Propriétés fondamentales

  • Terme général : un = u0 · qn ou un = up · qn−p
  • Somme : S = u0(1 − qn+1)/(1 − q) si q ≠ 1, et S = (n+1)·u0 si q = 1

Sens de variation (cas u0 > 0)

  • q > 1 ⇒ strictement croissante
  • 0 < q < 1 ⇒ strictement décroissante
  • q < 0 ⇒ suite non monotone (alterne de signe)

IV. Raisonnement par récurrence appliqué aux suites

Principe

Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n0 :

  1. Initialisation : vérifier que P(n0) est vraie
  2. Hérédité : supposer P(n) vraie pour un n ≥ n0 (hypothèse de récurrence) et démontrer P(n+1)
  3. Conclusion : P(n) est vraie pour tout n ≥ n0

Exemple type

Montrer que si u0 = 2 et un+1 = √(un+2), alors 0 ≤ un ≤ 2 pour tout n.

Init : u0 = 2, donc 0 ≤ u0 ≤ 2. ✓

Hérédité : Si 0 ≤ un ≤ 2, alors 2 ≤ un+2 ≤ 4, donc √2 ≤ un+1 ≤ 2. Comme √2 ≥ 0, on a 0 ≤ un+1 ≤ 2. ✓

V. Suites majorées, minorées, bornées

  • Majorée : ∃ M ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ, un ≤ M
  • Minorée : ∃ m ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ, un ≥ m
  • Bornée : majorée ET minorée, c'est-à-dire ∃ M, ∀n, |un| ≤ M

Remarque : Toute suite croissante est minorée (par son premier terme u0). Toute suite décroissante est majorée.

VI. Convergence — limite d'une suite

Définition

On dit que (un) converge vers ℓ (noté lim un = ℓ) si :

∀ε > 0, ∃ N ∈ ℕ, ∀n ≥ N, |un − ℓ| < ε

Sinon, la suite est divergente (soit elle tend vers ±∞, soit elle n'a pas de limite).

Limites de référence

  • lim 1/n = 0 ; lim 1/nα = 0 (α > 0) ; lim 1/√n = 0
  • lim nα = +∞ (α > 0)
  • Suite géométrique qn :
    • si |q| < 1 : lim qn = 0
    • si q = 1 : suite constante égale à 1
    • si q > 1 : lim qn = +∞
    • si q ≤ −1 : pas de limite

VII. Théorèmes de convergence

Théorème de la limite monotone

  • Toute suite croissante et majorée converge vers un réel ℓ.
  • Toute suite décroissante et minorée converge vers un réel ℓ.
  • Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
  • Toute suite décroissante non minorée tend vers −∞.

Théorème de comparaison

Si à partir d'un certain rang un ≤ vn et lim un = +∞, alors lim vn = +∞.

Théorème des gendarmes (encadrement)

Si à partir d'un certain rang vn ≤ un ≤ wn et si lim vn = lim wn = ℓ, alors lim un = ℓ.

VIII. Suites auxiliaires et suites adjacentes

Suite auxiliaire vn = un − ℓ

Pour étudier une suite récurrente un+1 = a·un + b (a ≠ 1), on introduit ℓ = b/(1−a) (point fixe) et vn = un − ℓ. Alors (vn) est géométrique de raison a, ce qui permet de trouver un explicitement.

Suites adjacentes

Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si :

  1. (un) est croissante et (vn) est décroissante
  2. lim (vn − un) = 0

Théorème : deux suites adjacentes convergent vers la même limite ℓ, et pour tout n : un ≤ ℓ ≤ vn.

🔑 Formules clés à retenir

  • Arith : un = u0 + nr · Somme = (n+1)(u0+un)/2
  • Géom : un = u0·qn · Somme = u0(1−qn+1)/(1−q)
  • Limite géométrique : lim qn = 0 si |q|<1 ; +∞ si q>1
  • Théorème monotone : croissante + majorée ⇒ converge
  • Gendarmes : vn ≤ un ≤ wn et vn, wn → ℓ ⇒ un → ℓ
  • Point fixe : si un → ℓ et un+1=f(un) avec f continue, alors ℓ = f(ℓ)
  • Récurrence arith-géom : un+1=aun+b → vn=un−b/(1−a) est géométrique de raison a
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Confondre raison et premier terme : pour une suite arithmétique un = 3n + 5, u0 = 5 (premier terme) et r = 3 (raison), pas l'inverse !

❌

Mauvaise formule de somme géométrique : la somme de u0 à un contient n+1 termes. Somme = u0(1−qn+1)/(1−q) — attention au +1 dans l'exposant !

❌

Oublier |q|<1 pour la convergence géométrique : si q=−2, la suite diverge même si les termes alternent. Vérifier toujours la valeur absolue de q.

🟢 Astuces de pros

✅

Suite arith-géom → suite auxiliaire : pour un+1 = aun + b, pose le point fixe ℓ = b/(1−a), puis vn = un − ℓ est géométrique de raison a.

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Monotonie par comparaison : montrer un+1 − un > 0 (arith) ou un+1/un > 1 (géom avec termes positifs) pour prouver la croissance.

💡

Gendarmes pratique : si tu connais des suites simples qui encadrent un, utilise-les. Ex : sin(n)/n → 0 car −1/n ≤ sin(n)/n ≤ 1/n et les deux tendent vers 0.