Calculer les intégrales suivantes

En reconnaissant une primitive usuelle, calculer :

1. $A=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx$

2. $E=\underset{e^2}{\overset{e^4}{\int }}\frac{\ln x}{x}dx$

3. $F=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos (2x)dx$

Utiliser une intégration par parties

À l'aide d'une intégration par parties, calculer :

1. $C=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\ln xdx$

2. $D=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}x\cos xdx$

Calculer les intégrales suivantes

En reconnaissant une primitive usuelle, calculer :

$A=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx;F=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos (2x)dx;G=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{3}{x^2}dx$

$H=\underset{2}{\overset{5}{\int }}\left(3x^2+4x-5\right)dx$

Calculer les intégrales suivantes

$D=\underset{-3}{\overset{2}{\int }}|x|dx;E=\underset{e^2}{\overset{e^4}{\int }}\frac{\ln x}{x}dx;O=\underset{e}{\overset{e^2}{\int }}\frac{1}{x\ln x}dx$

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé. Calculer en cm³ le volume du solide de révolution engendré par la rotation complète de la courbe $(C_f)$ autour de l'axe $(Ox)$ dans chacun des cas suivants :

1. $f(x)=e^x$ sur $I=[0;1]$ ;
2. $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ sur $I=[-1;1]$.

Calcul d'intégrales élémentaires

Calculer les intégrales suivantes en reconnaissant une primitive usuelle :

1. $A=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx$

2. $B=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{x+1}dx$

3. $F=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\cos (2x)dx$

4. $G=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{3}{x^2}dx$

5. $H=\underset{2}{\overset{5}{\int }}(3x^2+4x-5)dx$

Énoncé

Calculer la limite suivante en la reconnaissant comme une somme de Riemann :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}$

Trouvez une primitive de la fonction $f(x)=\cos (x)$.

Calculez l'aire sous la courbe de $f(x)=x$ entre $0$ et $2$.

Calculez $\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^2+1)dx$.

Soit la fonction $f(x)=3x^2$. Trouvez une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $I=[1,3]$.

Calculez l'intégrale $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sin (x)dx$.

Calculez l'aire entre la courbe $f(x)=x$ et l'axe des x sur l'intervalle $[0,2]$.

Calculez l'intégrale $\underset{1}{\overset{4}{\int }}(2x+1)dx$.

Calculez l'intégrale $\int (2x+1)dx$.

Soit la fonction $f(x)=3x^2$. Trouvez une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $I=[1,4]$.

Calculez l'intégrale $\underset{1}{\overset{2}{\int }}$ $(1/x)$ dx.

Déterminez l'aire entre la courbe $f(x)=x^2$ et l'axe des x sur l'intervalle $[0,3]$.

Soit la fonction $f(x)=\cos (x)$. Trouvez une primitive $F$ de $f$.

Soit la fonction $f(x)=3x^2+2$. Trouvez une primitive $F$ de $f$.

Exercice 2

Dans un repère orthonormé (O, i, j), on considère les fonctions f et g définies sur [0 ; 2] par :

$f(x)=x^2$ et $g(x)=2x$.

1. Montrer que les courbes représentatives $C_f$ et $C_g$ se coupent en deux points A et B dont on déterminera les coordonnées.
2. Étudier le signe de $g(x)-f(x)$ sur [0 ; 2].
3. Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine plan délimité par $C_f$ et $C_g$.

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x^2-4x+2e^x$.

1. Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0)=5$.
2. Calculer l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.
3. En déduire la valeur exacte de $I$, puis donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près (on admettra que $e\approx 2,718$).

Exercice 2 — Primitives de fonctions composées

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur l'intervalle indiqué, en identifiant la forme $u^{\prime }\cdot \phi (u)$ appropriée.

1. $f_1(x)=(2x+1)\times e^{x^2+x-3}$ sur $\mathbb{R}$.
2. $f_2(x)=\frac{3x^2-2}{x^3-2x+7}$ sur un intervalle $I$ à préciser, où $x^3-2x+7>0$.
3. $f_3(x)=\frac{4x-1}{\sqrt{2x^2-x+3}}$ sur $\mathbb{R}$ (on admettra que $2x^2-x+3>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$).
4. Calculer l'intégrale $K=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot e^{x^2}dx$.

Exercice 1 — Primitives et intégrale définie

On considère les fonctions suivantes définies sur les intervalles précisés :

1. Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-4x+5$, vérifiant $F(0)=2$.
2. Déterminer une primitive G de la fonction g définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=\frac{2x^3-3x+1}{x}$, en précisant l'ensemble sur lequel G est définie.
3. Calculer les intégrales suivantes :
   a) $I=\underset{1}{\overset{3}{\int }}(2x-1{)}^{2}dx$
   b) $J=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(2\cos (x)+\sin (x))dx$

Exercice 1 — Primitives et intégrale définie

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x^2-4x+2e^x$.

1. Déterminer la primitive F de f sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0)=1$.

2. Calculer l'intégrale : $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

3. On pose $g(x)=f(x)-2$. Déterminer le signe de g sur $[0;1]$, puis en déduire une inégalité vérifiée par $I$.

Exercice 2

Soit g la fonction définie sur $[0;1]$ par : $g(x)=(2x+1)\times e^{x^2+x}$.

1. Montrer que g admet une primitive G sur $[0;1]$ que l'on déterminera.
2. Calculer l'intégrale $J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)dx$.
3. Calculer la valeur moyenne $\mu$ de g sur $[0;1]$, puis donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

On rappelle que $e\approx 2,718$.

Exercice 1 — Primitives et intégrale définie

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x^2-4x+2e^x$.

1. Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0)=1$. Justifier chaque étape.

2. Calculer l'intégrale : $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $g(x)=\frac{2x+1}{x}$.
   a) Écrire $g(x)$ sous une forme permettant de déterminer facilement une primitive de $g$.
   b) En déduire une primitive $G$ de $g$ sur $]0;+\infty [$.
   c) Calculer $J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}g(x)dx$, où $e$ désigne la base du logarithme naturel.

Exercice 2

On considère les fonctions g et h définies sur [0 ; 3] par $g(x)=x^2$ et $h(x)=3x$.

1. Montrer que $h(x)\ge g(x)$ pour tout $x\in [0;3]$.
2. Calculer l'aire A de la région délimitée par les courbes représentatives de g et h sur [0 ; 3].
3. Calculer la valeur moyenne $\mu$ de g sur [0 ; 3], puis interpréter ce résultat.

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x^2-4x+2$.

1. Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1)=0$.
2. Calculer l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$.
3. Interpréter géométriquement le résultat obtenu en 2.

Exercice 1

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-4x+2$.

1. Déterminer toutes les primitives de f sur $\mathbb{R}$.
2. Déterminer la primitive F de f sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1)=5$.
3. Calculer l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ et interpréter géométriquement le résultat (f est positive sur [0 ; 2]).

Exercice 2 — Aire délimitée par deux courbes

Soit f et g deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x$.

1. Déterminer les points d'intersection des courbes représentatives $C_f$ et $C_g$.
2. Étudier le signe de $g(x)-f(x)$ sur l'intervalle $[0;2]$.
3. Calculer, en unités d'aire, l'aire A du domaine délimité par $C_f$ et $C_g$.

Exercice 1 — Calcul de primitives et d'intégrales

On considère les fonctions définies sur les intervalles précisés.

1. Déterminer une primitive F de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :

   1. $f(x)=3x^2-2x+5$ sur $\mathbb{R}$
   2. $g(x)=(2x+1{)}^4$ sur $\mathbb{R}$
   3. $h(x)=(3x^2+2x)\times e^{x^3+x^2}$ sur $\mathbb{R}$
   4. $k(x)=\frac{4x-1}{2x^2-x+3}$ sur $\mathbb{R}$ (on admettra que $2x^2-x+3>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$)

2. Calculer les intégrales suivantes :

   1. $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(x^3-3x+2)dx$
   2. $J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot e^{x^2}dx$
   3. $K=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{2x+1}{x}dx$

Exercice 1 — Primitives et intégrale définie

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x^2-4x+2$.

1. Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1)=0$.
2. Calculer l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ à l'aide du théorème fondamental de l'analyse.
3. Vérifier que $I=F(2)-F(0)$.

Exercice 2 — Intégration par parties et aire d'un domaine plan

On considère la fonction f définie sur $[0;1]$ par $f(x)=(x+1)\times e^x$.

1. Montrer que $F(x)=x\times e^x$ est une primitive de f sur $[0;1]$.

2. En déduire la valeur de l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1)\times e^{x}dx$.

3. La courbe représentative de f dans un repère orthogonal $(O;i;j)$ délimite avec l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ un domaine D.

   1. Justifier que f est positive sur $[0;1]$.
   2. Calculer l'aire A du domaine D en unités d'aire (u.a.).

Calculer les intégrales suivantes :

1. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(3x^2-2x+1)dx$
2. $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx$
3. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{2x}dx$
4. $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos (x)dx$
5. $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Calculer les primitives suivantes :

1. $\int (3x^2+2x-5)dx$
2. $\int \sin (2x)dx$
3. $\int e^{3x+1}dx$
4. $\int \frac{1}{3x-2}dx$
5. $\int {\cos }^2(x)dx$ (utiliser la formule ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$)
6. $\int x\cdot \sqrt{x^2+1}dx$

1. Calculer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0,3]$.

2. Calculer l'aire du domaine délimité par :

1. La courbe $y=x^2$, l'axe des x, et les droites $x=1$ et $x=3$
2. Les courbes $y=x^2$ et $y=x$ (entre leurs intersections)
3. La courbe $y=\sin (x)$ et l'axe des x sur $[0,2\pi ]$

Calculer les intégrales suivantes par changement de variable ou reconnaissance de forme :

1. I = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\cdot e^{x^2}dx$
2. J = $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sin (2x)dx$
3. K = $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{2x+1}{x^2+x}dx$

On considère la courbe C d'équation $y=\sqrt{x}$ sur $[0,4]$.

1. Tracer schématiquement la courbe C sur $[0,4]$.
2. Calculer l'aire A du domaine délimité par C, l'axe des abscisses et la droite $x=4$.
3. On fait tourner ce domaine d'un tour complet autour de l'axe des abscisses. Calculer le volume V du solide de révolution obtenu (en unités de volume).
4. Application numérique : donner la valeur exacte de V, puis une valeur approchée au centième (utiliser $\pi \approx 3.14$).

Calculer chacune des intégrales suivantes :

1. I = $\underset{1}{\overset{3}{\int }}(2x+3)dx$
2. J = $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos (x)dx$
3. K = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(3x^2-2x+1)dx$
4. L = $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Soit $f(x)=x^2-4$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Trouver les racines de f (les bornes naturelles de l'intégrale).
2. Étudier le signe de f sur l'intervalle trouvé.
3. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$ et l'axe des abscisses.