Calcul intégral — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Primitives

Définition

F est une primitive de f sur I si F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I.

Si F est une primitive de f, alors toute primitive est de la forme F + C (C ∈ ℝ).

Primitives usuelles

f(x)	F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	xⁿ⁺¹/(n+1)
1/x	ln\|x\|
e^x	e^x
cos(x)	sin(x)
sin(x)	-cos(x)
1/cos²(x)	tan(x)
u'/u	ln\|u\|
u'·e^u	e^u
u'·uⁿ	uⁿ⁺¹/(n+1)
u'/√u	2√u

II. Intégrale définie

Théorème fondamental

Si f est continue sur [a,b] et F est une primitive de f, alors :

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b

Propriétés

Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g
Relation de Chasles : ∫_a^b f + ∫_b^c f = ∫_a^c f
Positivité : Si f ≥ 0 sur [a,b], alors ∫_a^b f ≥ 0
Inégalité : Si f ≤ g sur [a,b], alors ∫_a^b f ≤ ∫_a^b g
Valeur absolue : |∫_a^b f| ≤ ∫_a^b |f|

III. Intégration par parties

∫_a^b u·v' dx = [u·v]_a^b - ∫_a^b u'·v dx

IV. Calcul d'aires

Aire entre C_f et l'axe des x sur [a,b] : A = ∫_a^b |f(x)| dx

Aire entre deux courbes C_f et C_g : A = ∫_a^b |f(x) - g(x)| dx

V. Valeur moyenne

μ = (1/(b-a)) · ∫_a^b f(x) dx

🔑 Formules clés à retenir

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)
IPP : ∫uv' = [uv] - ∫u'v
Aire = ∫|f(x)| dx
Valeur moyenne = (1/(b-a))·∫f(x) dx

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Aire entre deux courbes sans valeur absolue : A = ∫|f(x)−g(x)| dx. Si les courbes se croisent sur [a,b], il faut découper l'intervalle là où f(x)=g(x) et sommer les aires partielles !

❌

IPP : choisir u et v' correctement : pour ∫x·e^x dx, prendre u=x (u'=1) et v'=e^x (v=e^x). Si on prend u=e^x et v'=x, l'intégrale devient plus complexe !

❌

∫_a^b f(x) dx peut être négatif : l'intégrale est la somme algébrique des aires (positives au-dessus de l'axe, négatives en dessous). Pour l'aire géométrique, prendre la valeur absolue de chaque partie.

🟢 Astuces de pros

✅

Méthode IPP — règle LIATE : choisir u dans l'ordre : Logarithme, Inverse, Algébrique (polynôme), Trigonométrique, Exponentielle. Le premier de la liste = u. Ex : ∫x·ln(x) dx → u=ln(x), v'=x.

✅

Changement de variable : poser t = g(x) → dt = g'(x)dx. Changer les bornes (x=a→t=g(a), x=b→t=g(b)) puis intégrer en t. Ne pas oublier de changer les bornes !

💡

Vérifier une primitive : dériver F pour vérifier F' = f. Toujours faire cette vérification rapide après calcul d'une primitive complexe — cela évite les erreurs de signe ou de coefficient.

Calcul intégral — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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🟢 Exercices Faciles

7 exercices

Calcul de primitives et intégrales

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les intégrales suivantes :

∫₀¹ (3x² - 2x + 1) dx
∫₁^e (1/x) dx
∫₀¹ e^2x dx
∫₀^π/2 cos(x) dx
∫₁⁴ 1/√x dx

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Correction détaillée

1.

[x³ - x² + x]₀¹ = (1 - 1 + 1) - 0 = 1

2.

[ln(x)]₁^e = ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1

3.

[(1/2)e^2x]₀¹ = (1/2)e² - 1/2 = (e² - 1)/2

4.

[sin(x)]₀^π/2 = sin(π/2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

5.

∫x^-1/2 dx = [2√x]₁⁴ = 2√4 - 2√1 = 4 - 2 = 2

Primitives usuelles et changement de variable

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les primitives suivantes :

∫ (3x² + 2x - 5) dx
∫ sin(2x) dx
∫ e^3x+1 dx
∫ 1/(3x-2) dx
∫ cos²(x) dx (utiliser la formule cos²x = (1+cos2x)/2)
∫ x·√(x²+1) dx

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Correction détaillée

1.

∫ (3x²+2x-5) dx = x³ + x² - 5x + C

2.

∫ sin(2x) dx = -(1/2)cos(2x) + C

(Vérification : [(−1/2)cos(2x)]' = (−1/2)·(−2)sin(2x) = sin(2x) ✓)

3.

∫ e^3x+1 dx = (1/3)e^3x+1 + C

4.

∫ 1/(3x-2) dx = (1/3)·ln|3x-2| + C

5.

cos²(x) = (1+cos(2x))/2

∫ cos²(x) dx = ∫ (1+cos(2x))/2 dx = x/2 + sin(2x)/4 + C

6. Changement de variable u = x²+1

du = 2x dx, donc x dx = du/2

∫ x·√(x²+1) dx = (1/2)∫ √u du = (1/2)·(2/3)u^3/2 = (1/3)(x²+1)^3/2 + C

Valeur moyenne et calcul d'aire

🟢 Facile

Énoncé

1. Calculer la valeur moyenne de f(x) = x² sur [0, 3].

2. Calculer l'aire du domaine délimité par :

La courbe y = x², l'axe des x, et les droites x = 1 et x = 3
Les courbes y = x² et y = x (entre leurs intersections)
La courbe y = sin(x) et l'axe des x sur [0, 2π]

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1. Valeur moyenne

μ = (1/(3-0))·∫₀³ x² dx = (1/3)·[x³/3]₀³ = (1/3)·9 = 3

2a. Aire sous y = x²

A = ∫₁³ x² dx = [x³/3]₁³ = 27/3 - 1/3 = 26/3 u.a.

2b. Aire entre y = x² et y = x

Intersections : x² = x ⇔ x(x-1) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 1

Sur [0,1] : x ≥ x² (car x·(1-x) ≥ 0)

A = ∫₀¹ (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6 u.a.

2c. Aire entre sin(x) et l'axe sur [0, 2π]

sin(x) ≥ 0 sur [0, π] et sin(x) ≤ 0 sur [π, 2π]

A = ∫₀^π sin(x) dx + ∫_π^2π |sin(x)| dx

= [-cos(x)]₀^π + [-cos(x)]_2π^π ... = (1+1) + (1+1) = 4 u.a.

Changement de variable simple

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les intégrales suivantes par changement de variable ou reconnaissance de forme :

I = ∫₀¹ x·e^x² dx
J = ∫₀^π/2 sin(2x) dx
K = ∫₁⁴ (2x+1)/(x²+x) dx

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1. Calcul de I = ∫₀¹ x·e^x² dx

On reconnaît une forme u'·e^u avec u = x², u' = 2x.

On écrit : x·e^x² = (1/2)·2x·e^x² = (1/2)·(u'·e^u)

Donc I = (1/2)[e^x²]₀¹ = (1/2)(e¹ - e⁰) = (e - 1)/2

Vérification par changement de variable :

Posons t = x², dt = 2x dx, donc x dx = dt/2.

Bornes : x = 0 → t = 0 ; x = 1 → t = 1

I = ∫₀¹ e^t · (dt/2) = (1/2)[e^t]₀¹ = (e-1)/2 ✓

2. Calcul de J = ∫₀^π/2 sin(2x) dx

On reconnaît u'·sin(u) avec u = 2x, u' = 2.

sin(2x) = (1/2)·2·sin(2x), et la primitive de sin(u) est -cos(u).

J = [-cos(2x)/2]₀^π/2 = (-cos(π)/2) - (-cos(0)/2)

= (-(-1)/2) - (-1/2) = 1/2 + 1/2 = 1

3. Calcul de K = ∫₁⁴ (2x+1)/(x²+x) dx

On reconnaît une forme u'/u avec u = x²+x, u' = 2x+1.

K = [ln|x²+x|]₁⁴ = ln(16+4) - ln(1+1) = ln(20) - ln(2)

= ln(20/2) = ln(10)

Volume de révolution

🟢 Facile

Énoncé

On considère la courbe C d'équation y = √x sur [0, 4].

Tracer schématiquement la courbe C sur [0, 4].
Calculer l'aire A du domaine délimité par C, l'axe des abscisses et la droite x = 4.
On fait tourner ce domaine d'un tour complet autour de l'axe des abscisses. Calculer le volume V du solide de révolution obtenu (en unités de volume).
Application numérique : donner la valeur exacte de V, puis une valeur approchée au centième (utiliser π ≈ 3.14).

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1. Schéma de la courbe

f(x) = √x est définie et croissante sur [0, 4]. Points clés :

f(0) = 0, f(1) = 1, f(4) = 2. Courbe concave (f''(x) = -1/(4x^(3/2)) < 0).

2. Calcul de l'aire A

A = ∫₀⁴ √x dx = ∫₀⁴ x^1/2 dx

= [x^3/2/(3/2)]₀⁴ = [(2/3)x^3/2]₀⁴

= (2/3)·4^3/2 - 0 = (2/3)·8 = 16/3 u.a.

3. Calcul du volume V

La formule du volume de révolution autour de l'axe Ox est :

V = π · ∫_a^b [f(x)]² dx

Ici f(x) = √x, donc [f(x)]² = x :

V = π · ∫₀⁴ x dx = π · [x²/2]₀⁴

= π · (16/2 - 0) = 8π u.v.

4. Valeur numérique

V = 8π ≈ 8 × 3.14 = 25.12 u.v.

Calcul direct d'intégrales — primitives et formules de base

🟢 Facile

Énoncé

Calculer chacune des intégrales suivantes :

I = ∫₁³ (2x + 3) dx
J = ∫₀^π/2 cos(x) dx
K = ∫₀¹ (3x² − 2x + 1) dx
L = ∫₁⁴ (1/√x) dx

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1. Calcul de I = ∫₁³ (2x + 3) dx

Une primitive de 2x + 3 est F(x) = x² + 3x.

I = [x² + 3x]₁³ = (9 + 9) − (1 + 3) = 18 − 4 = 14

2. Calcul de J = ∫₀^π/2 cos(x) dx

Une primitive de cos(x) est sin(x).

J = [sin(x)]₀^π/2 = sin(π/2) − sin(0) = 1 − 0 = 1

3. Calcul de K = ∫₀¹ (3x² − 2x + 1) dx

Une primitive est F(x) = x³ − x² + x.

K = [x³ − x² + x]₀¹ = (1 − 1 + 1) − 0 = 1

4. Calcul de L = ∫₁⁴ (1/√x) dx

On écrit 1/√x = x^−1/2. Une primitive est F(x) = 2x^1/2 = 2√x.

L = [2√x]₁⁴ = 2√4 − 2√1 = 4 − 2 = 2

Aire entre une courbe et l'axe des abscisses — f(x) = x² − 4

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = x² − 4 définie sur ℝ.

Trouver les racines de f (les bornes naturelles de l'intégrale).
Étudier le signe de f sur l'intervalle trouvé.
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe C_f et l'axe des abscisses.

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1. Racines de f

f(x) = 0 ⟺ x² = 4 ⟺ x = −2 ou x = 2.

Les bornes naturelles sont −2 et 2.

2. Signe de f sur [−2, 2]

f(x) = (x − 2)(x + 2). Sur ]−2, 2[ : (x − 2) < 0 et (x + 2) > 0.

Donc f(x) ≤ 0 sur [−2, 2] (la courbe est en dessous de l'axe des x).

3. Calcul de l'aire

Comme f ≤ 0 sur [−2, 2] :

A = −∫₋₂² (x² − 4) dx = ∫₋₂² (4 − x²) dx

Une primitive de 4 − x² est F(x) = 4x − x³/3.

A = [4x − x³/3]₋₂²

F(2) = 8 − 8/3 = 24/3 − 8/3 = 16/3

F(−2) = −8 + 8/3 = −24/3 + 8/3 = −16/3

A = 16/3 − (−16/3) = 32/3 unités d'aire

🟡 Exercices Intermédiaires

6 exercices

Intégration par parties

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer par intégration par parties :

I = ∫₀¹ x·e^x dx
J = ∫₁^e x·ln(x) dx
K = ∫₀¹ x²·e^x dx

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1. I = ∫x·e^x dx

u = x, v' = e^x ⇒ u' = 1, v = e^x

I = [x·e^x]₀¹ - ∫₀¹ e^x dx = e - [e^x]₀¹ = e - (e - 1) = 1

2. J = ∫x·ln(x) dx

u = ln(x), v' = x ⇒ u' = 1/x, v = x²/2

J = [x²ln(x)/2]₁^e - ∫₁^e x/2 dx = e²/2 - [x²/4]₁^e

= e²/2 - (e²/4 - 1/4) = e²/2 - e²/4 + 1/4 = (e² + 1)/4

3. K = ∫x²·e^x dx (double IPP)

1ère IPP : u = x², v' = e^x

K = [x²e^x]₀¹ - 2∫₀¹ xe^x dx = e - 2I = e - 2(1) = e - 2

Inégalités intégrales et valeur moyenne

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1. Montrer que : 1 ≤ ∫₀¹ e^x² dx ≤ e

2. Soit f(x) = x·cos(x). Calculer ∫₀^π/2 f(x) dx par intégration par parties.

3. Calculer la valeur moyenne de g(x) = x·e^x sur [0, 1].

4. Montrer que ∫₀¹ x/(x²+1) dx = (1/2)·ln2.

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1. Inégalité

Sur [0,1] : 0 ≤ x ≤ 1, donc 0 ≤ x² ≤ 1, donc e⁰ ≤ e^x² ≤ e¹

Donc 1 ≤ e^x² ≤ e sur [0,1].

En intégrant : ∫₀¹ 1 dx ≤ ∫₀¹ e^x² dx ≤ ∫₀¹ e dx

1 ≤ ∫₀¹ e^x² dx ≤ e. ✓

2. IPP : ∫ x·cos(x) dx

u = x, v' = cos(x) ⇒ u' = 1, v = sin(x)

∫₀^π/2 x·cos(x) dx = [x·sin(x)]₀^π/2 - ∫₀^π/2 sin(x) dx

= (π/2·sin(π/2) - 0) - [-cos(x)]₀^π/2

= π/2 - (-cos(π/2) + cos(0)) = π/2 - (0 + 1) = π/2 - 1

3. Valeur moyenne de x·e^x

μ = (1/1)·∫₀¹ x·e^x dx = I₁ (calculé dans int-i1 = 1)

La valeur moyenne est 1.

4.

∫₀¹ x/(x²+1) dx = (1/2)·∫₀¹ 2x/(x²+1) dx = (1/2)·[ln(x²+1)]₀¹

= (1/2)·(ln2 - ln1) = (1/2)·ln2 = (ln2)/2. ✓

Intégration par parties — deux exercices types

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer les intégrales suivantes par intégration par parties :

I = ∫₁^e x²·ln(x) dx
J = ∫₀¹ arctan(x) dx

Rappel — formule IPP : ∫_a^b u·v' dx = [u·v]_a^b − ∫_a^b u'·v dx

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1. Calcul de I = ∫₁^e x²·ln(x) dx

On applique IPP. Selon la règle LIATE, on prend ln(x) comme u (Logarithme passe avant Algébrique).

Choix : u = ln(x) ⟹ u' = 1/x ; v' = x² ⟹ v = x³/3

I = [ln(x)·x³/3]₁^e − ∫₁^e (1/x)·(x³/3) dx

= [x³·ln(x)/3]₁^e − (1/3)∫₁^e x² dx

= (e³·1/3 − 1·0/3) − (1/3)·[x³/3]₁^e

= e³/3 − (1/9)[x³]₁^e

= e³/3 − (1/9)(e³ − 1)

= e³/3 − e³/9 + 1/9

= e³(3/9 − 1/9) + 1/9 = (2e³ + 1)/9

2. Calcul de J = ∫₀¹ arctan(x) dx

On pose : u = arctan(x) ⟹ u' = 1/(1+x²) ; v' = 1 ⟹ v = x

J = [x·arctan(x)]₀¹ − ∫₀¹ x/(1+x²) dx

= (1·π/4 − 0) − ∫₀¹ x/(1+x²) dx

Pour ∫₀¹ x/(1+x²) dx : on reconnaît u'/(2u) avec u = 1+x², u' = 2x.

= (1/2)[ln(1+x²)]₀¹ = (1/2)(ln 2 − ln 1) = ln(2)/2

Donc J = π/4 − ln(2)/2 = π/4 − (ln 2)/2

Suite d'intégrales — relation de récurrence

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Pour tout entier n ≥ 0, on pose I_n = ∫₀¹ xⁿ·e^x dx.

Calculer I₀.
En utilisant une intégration par parties, établir la relation : I_n = e − n·I_n-1 pour tout n ≥ 1.
Calculer I₁ et I₂.
Montrer que I_n > 0 pour tout n ≥ 0.
Montrer que la suite (I_n) est décroissante.

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1. Calcul de I₀

I₀ = ∫₀¹ e^x dx = [e^x]₀¹ = e − 1

Donc I₀ = e − 1.

2. Relation de récurrence

Pour n ≥ 1, on applique IPP à I_n = ∫₀¹ xⁿ·e^x dx.

Choix : u = xⁿ ⟹ u' = n·x^n-1 ; v' = e^x ⟹ v = e^x

I_n = [xⁿ·e^x]₀¹ − ∫₀¹ n·x^n-1·e^x dx

= (1ⁿ·e¹ − 0) − n·∫₀¹ x^n-1·e^x dx

= e − n·I_n-1

Donc : I_n = e − n·I_n-1 ✓

3. Calcul de I₁ et I₂

I₁ = e − 1·I₀ = e − (e−1) = 1

I₂ = e − 2·I₁ = e − 2·1 = e − 2

4. Positivité de I_n

Sur ]0, 1[ : xⁿ > 0 et e^x > 0, donc l'intégrande xⁿ·e^x > 0.

Par positivité de l'intégrale sur un intervalle non dégénéré : I_n > 0 pour tout n ≥ 0. ✓

5. Monotonie de la suite (I_n)

I_n+1 − I_n = ∫₀¹ xⁿ⁺¹·e^x dx − ∫₀¹ xⁿ·e^x dx

= ∫₀¹ xⁿ(x−1)·e^x dx

Sur [0, 1] : xⁿ ≥ 0 et e^x > 0, mais (x−1) ≤ 0.

Donc xⁿ(x−1)·e^x ≤ 0 sur [0, 1].

Par positivité : I_n+1 − I_n ≤ 0, donc (I_n) est décroissante. ✓

Intégration par parties — ∫x·sin(x)dx

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Calculer les intégrales suivantes par intégration par parties (IPP) :

I = ∫₀^π x·sin(x) dx
J = ∫₀¹ x·e^x dx
K = ∫₁^e ln(x) dx

Rappel : la formule d'IPP est ∫u·v' = [u·v] − ∫u'·v.

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Correction détaillée

1. I = ∫₀^π x·sin(x) dx

Choix : u = x ⟹ u' = 1 ; v' = sin(x) ⟹ v = −cos(x).

I = [x·(−cos x)]₀^π − ∫₀^π 1·(−cos x) dx

= [−x·cos x]₀^π + ∫₀^π cos x dx

= (−π·cos π + 0) + [sin x]₀^π

= (−π·(−1)) + (sin π − sin 0)

= π + 0 = π

2. J = ∫₀¹ x·e^x dx

Choix : u = x ⟹ u' = 1 ; v' = e^x ⟹ v = e^x.

J = [x·e^x]₀¹ − ∫₀¹ e^x dx

= (e − 0) − [e^x]₀¹

= e − (e − 1) = 1

3. K = ∫₁^e ln(x) dx

Choix : u = ln(x) ⟹ u' = 1/x ; v' = 1 ⟹ v = x.

K = [x·ln(x)]₁^e − ∫₁^e x·(1/x) dx

= (e·ln e − 1·ln 1) − ∫₁^e 1 dx

= (e·1 − 0) − [x]₁^e

= e − (e − 1) = 1

Intégrale d'une fonction rationnelle — ∫(2x+1)/(x²+x+1)dx

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On souhaite calculer l'intégrale :

I = ∫₀¹ (2x + 1)/(x² + x + 1) dx

Montrer que le dénominateur x² + x + 1 ne s'annule pas sur ℝ.
Reconnaître la forme de l'intégrande et calculer I.
En déduire la valeur exacte de I.

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1. Signe du dénominateur

Δ = 1² − 4·1·1 = 1 − 4 = −3 < 0 et coefficient de x² positif.

Donc x² + x + 1 > 0 pour tout x ∈ ℝ. L'intégrande est bien définie sur [0, 1].

2. Reconnaissance de la forme

On remarque que (x² + x + 1)' = 2x + 1.

L'intégrande est donc de la forme f'(x)/f(x) où f(x) = x² + x + 1.

Or ∫ f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C.

3. Calcul de I

I = ∫₀¹ (2x + 1)/(x² + x + 1) dx = [ln(x² + x + 1)]₀¹

(le dénominateur est > 0 donc la valeur absolue est inutile)

I = ln(1² + 1 + 1) − ln(0² + 0 + 1)

= ln(3) − ln(1) = ln(3) − 0

I = ln(3)

🔴 Exercices Difficiles

5 exercices

Calcul d'intégrales par parties itérées (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

On considère J_n = ∫₀^π xⁿ·sin(x) dx pour n ∈ ℕ.

Calculer J₀ et J₁.
Montrer la relation de récurrence : J_n = πⁿ - n(n-1)·J_n-2 pour n ≥ 2.
Calculer J₂ et J₃.
Montrer que J_n > 0 pour tout n ≥ 0.
Montrer que J_n ≤ πⁿ⁺¹/(n+1) et en déduire un encadrement.

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Correction détaillée

1.

J₀ = ∫₀^π sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π = -(-1) + 1 = 2

J₁ : IPP avec u = x, v' = sin(x) ⇒ u' = 1, v = -cos(x)

J₁ = [-x·cos(x)]₀^π + ∫₀^π cos(x) dx = π + [sin(x)]₀^π = π + 0 = π

2. Récurrence

IPP deux fois : u = xⁿ, v' = sin(x) ⇒ u' = nx^n-1, v = -cos(x)

J_n = [-xⁿcos(x)]₀^π + n∫₀^π x^n-1cos(x) dx = πⁿ + n∫₀^π x^n-1cos(x) dx

2ème IPP sur ∫ x^n-1cos(x) : u = x^n-1, v' = cos(x)

= [x^n-1sin(x)]₀^π - (n-1)∫₀^π x^n-2sin(x) dx = 0 - (n-1)J_n-2

Donc J_n = πⁿ + n·(-(n-1)J_n-2) = πⁿ - n(n-1)J_n-2. ✓

3.

J₂ = π² - 2·1·J₀ = π² - 2·2 = π² - 4

J₃ = π³ - 3·2·J₁ = π³ - 6π = π³ - 6π = π(π² - 6)

4. Positivité

Sur ]0, π[ : xⁿ > 0 et sin(x) > 0, donc xⁿ·sin(x) > 0.

Donc J_n = ∫₀^π xⁿsin(x) dx > 0. ✓

5. Majoration

Sur [0,π] : |sin(x)| ≤ 1 et 0 ≤ x ≤ π

xⁿsin(x) ≤ xⁿ·1 = xⁿ

J_n ≤ ∫₀^π xⁿ dx = [xⁿ⁺¹/(n+1)]₀^π = πⁿ⁺¹/(n+1)

Encadrement : 0 < J_n ≤ πⁿ⁺¹/(n+1). ✓

Calcul d'aire et intégrale avec paramètre (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = (x-1)e^-x+1 et g(x) = -(x-1)e^x-1.

Montrer que f(x) + g(x) = 0 si et seulement si x = 1.
Étudier la position relative de C_f et C_g.
Calculer l'aire du domaine délimité par C_f et C_g entre x = 0 et x = 1.
On pose I_n = ∫₀¹ xⁿ·e^-x dx. Montrer que I_n+1 = -e^-1 + (n+1)I_n.
Calculer I₀, I₁, I₂.

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Correction détaillée

1.

f(x) + g(x) = (x-1)e^-x+1 - (x-1)e^x-1 = (x-1)(e^1-x - e^x-1)

= 0 ⇔ x = 1 ou e^1-x = e^x-1 ⇔ 1-x = x-1 ⇔ x = 1

Donc f(x) + g(x) = 0 ⇔ x = 1 ✓

2.

f(x) - g(x) = (x-1)(e^1-x + e^x-1)

e^1-x + e^x-1 > 0 toujours. Signe dépend de (x-1) :

f > g si x > 1, f < g si x < 1

3.

Sur [0,1] : g > f, donc A = ∫₀¹ (g(x)-f(x)) dx

= ∫₀¹ (1-x)(e^1-x + e^x-1) dx

Par IPP et calculs : A = 2 - 2/e u.a.

4. Relation de récurrence

I_n+1 = ∫₀¹ xⁿ⁺¹·e^-x dx. IPP : u = xⁿ⁺¹, v' = e^-x

= [-xⁿ⁺¹e^-x]₀¹ + (n+1)∫₀¹ xⁿ·e^-x dx

= -e^-1 + (n+1)I_n ✓

5.

I₀ = ∫₀¹ e^-x dx = [-e^-x]₀¹ = 1 - e^-1 = 1 - 1/e

I₁ = -e^-1 + I₀ = -1/e + 1 - 1/e = 1 - 2/e

I₂ = -e^-1 + 2I₁ = -1/e + 2(1-2/e) = 2 - 5/e = 2 - 5/e

Fonction définie par une intégrale — étude complète (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

On définit la fonction f sur ℝ par : f(x) = ∫₀^x t·e^-t dt.

Calculer f(x) en calculant explicitement l'intégrale par IPP.
Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞.
Étudier la dérivabilité de f, calculer f'(x) et dresser le tableau de variations de f.
Montrer que la droite y = −1 est asymptote à la courbe en −∞. Préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe C_f, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = 0 et x = 1.

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Correction détaillée

1. Calcul explicite de f(x)

f(x) = ∫₀^x t·e^-t dt. On applique IPP :

u = t ⟹ u' = 1 ; v' = e^-t ⟹ v = −e^-t

f(x) = [−t·e^-t]₀^x − ∫₀^x (−e^-t) dt

= −x·e^-x + ∫₀^x e^-t dt

= −x·e^-x + [−e^-t]₀^x

= −x·e^-x − e^-x + 1

f(x) = 1 − (x+1)e^-x

Vérification : f(0) = 1 − 1 = 0 ✓ (intégrale nulle sur intervalle dégénéré).

2. Limites

lim_x→+∞ f(x) = lim_x→+∞ [1 − (x+1)e^-x] = 1 − 0 = 1

(car lim_x→+∞ x·e^-x = 0 par croissances comparées)

lim_x→-∞ f(x) = lim_x→-∞ [1 − (x+1)e^-x]

Quand x → −∞ : e^-x → +∞ et x+1 → −∞, donc (x+1)e^-x → −∞.

Donc f(x) = 1 − (x+1)e^-x → +∞ en −∞. Pas d'asymptote horizontale en −∞.

3. Dérivée et tableau de variations

Par le théorème fondamental du calcul intégral :

f'(x) = x·e^-x

Signe de f'(x) : e^-x > 0 toujours, donc signe de f' = signe de x.

f'(x) < 0 si x < 0 (f décroissante)
f'(0) = 0 (minimum en x = 0)
f'(x) > 0 si x > 0 (f croissante)

Tableau de variations :

f admet un minimum global en x = 0 : f(0) = 0.

lim_x→-∞ f(x) = +∞, lim_x→+∞ f(x) = 1.

4. Asymptote oblique en −∞

On étudie f(x) + (x+1)e^-x = 1, mais cherchons une asymptote de la forme y = ax + b.

f(x) = 1 − (x+1)e^-x = 1 − x·e^-x − e^-x

Quand x → −∞, e^-x = e^|x| → +∞ très vite. Il n'y a pas d'asymptote oblique finie.

En revanche, étudions la droite y = −1 :

f(x) − (−1) = f(x) + 1 = 2 − (x+1)e^-x

Pour x très négatif, (x+1) < 0 et e^-x → +∞, donc (x+1)e^-x → −∞, et f(x)+1 → +∞.

La courbe n'admet pas y = −1 comme asymptote. La droite y = 1 est asymptote horizontale en +∞.

f(x) − 1 = −(x+1)e^-x. Pour x > 0 grand : −(x+1) < 0 et e^-x > 0, donc f(x) < 1 : la courbe est en dessous de l'asymptote y = 1 pour x > 0.

5. Aire entre C_f et l'axe des x sur [0, 1]

Sur [0, 1] : f(0) = 0, f(1) = 1 − 2e^-1 = 1 − 2/e ≈ 0.26 > 0. Donc f ≥ 0 sur [0, 1].

A = ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ [1 − (x+1)e^-x] dx

= [x]₀¹ − ∫₀¹ (x+1)e^-x dx

= 1 − ∫₀¹ x·e^-x dx − ∫₀¹ e^-x dx

Or ∫₀¹ x·e^-x dx = f(1) = 1 − 2/e (par définition de f).

Et ∫₀¹ e^-x dx = [−e^-x]₀¹ = 1 − 1/e.

A = 1 − (1 − 2/e) − (1 − 1/e) = 1 − 1 + 2/e − 1 + 1/e = 3/e − 1 u.a.

Volume de révolution — f(x) = √x sur [0, 4]

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = √x définie sur [0, 4]. On fait tourner la surface délimitée par la courbe C_f, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 4 autour de l'axe des abscisses (axe Ox).

Rappeler la formule du volume de révolution autour de Ox.
Calculer le volume V engendré.
En déduire une expression exacte, puis une valeur approchée au centième (prendre π ≈ 3.14).

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Correction détaillée

1. Formule du volume de révolution

Le volume engendré par la rotation de la courbe y = f(x) autour de Ox sur [a, b] est :

V = π · ∫_a^b [f(x)]² dx

2. Calcul de V

Ici f(x) = √x, donc [f(x)]² = x.

V = π · ∫₀⁴ x dx

= π · [x²/2]₀⁴

= π · (16/2 − 0)

= π · 8

V = 8π unités de volume.

3. Valeur approchée

V = 8π ≈ 8 × 3.14159 ≈ 25.13 unités de volume

Interprétation : si les unités sont en cm, alors V ≈ 25.13 cm³.

Aire entre deux courbes — problème BAC complet

🔴 Difficile

Énoncé

Soient f(x) = x² − 2x et g(x) = x définies sur ℝ.

Trouver les points d'intersection des courbes C_f et C_g.
Étudier le signe de g(x) − f(x) sur l'intervalle trouvé.
Calculer l'aire A du domaine délimité par C_f et C_g.
Interpréter géométriquement le résultat.

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Correction détaillée

1. Points d'intersection

f(x) = g(x) ⟺ x² − 2x = x ⟺ x² − 3x = 0 ⟺ x(x − 3) = 0

Solutions : x = 0 et x = 3.

Points d'intersection : A(0, 0) et B(3, 3).

2. Signe de g(x) − f(x) sur [0, 3]

g(x) − f(x) = x − (x² − 2x) = x − x² + 2x = 3x − x² = x(3 − x)

Sur ]0, 3[ : x > 0 et 3 − x > 0, donc g(x) − f(x) > 0.

La courbe C_g est au-dessus de C_f sur ]0, 3[.

3. Calcul de l'aire A

A = ∫₀³ [g(x) − f(x)] dx = ∫₀³ (3x − x²) dx

Une primitive de 3x − x² est F(x) = (3/2)x² − x³/3.

A = [(3/2)x² − x³/3]₀³

F(3) = (3/2)·9 − 27/3 = 27/2 − 9 = 27/2 − 18/2 = 9/2

F(0) = 0

A = 9/2 = 4.5 unités d'aire

4. Interprétation géométrique

La parabole f et la droite g se croisent en O(0,0) et B(3,3). Entre ces deux points, la droite y = x est au-dessus de la parabole y = x² − 2x.

L'aire du "croissant" compris entre les deux courbes est 9/2 u.a.

Calcul intégral

Calcul intégral — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Primitives

Définition

Primitives usuelles

II. Intégrale définie

Théorème fondamental

Propriétés

III. Intégration par parties

IV. Calcul d'aires

V. Valeur moyenne

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Calcul intégral — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calcul de primitives et intégrales

1.

2.

3.

4.

5.

Primitives usuelles et changement de variable

1.

2.

3.

4.

5.

6. Changement de variable u = x²+1

Valeur moyenne et calcul d'aire

1. Valeur moyenne

2a. Aire sous y = x²

2b. Aire entre y = x² et y = x

2c. Aire entre sin(x) et l'axe sur [0, 2π]

Changement de variable simple

1. Calcul de I = ∫01 x·ex² dx

Vérification par changement de variable :

2. Calcul de J = ∫0π/2 sin(2x) dx

3. Calcul de K = ∫14 (2x+1)/(x²+x) dx

Volume de révolution

1. Schéma de la courbe

2. Calcul de l'aire A

3. Calcul du volume V

4. Valeur numérique

Calcul direct d'intégrales — primitives et formules de base

1. Calcul de I = ∫13 (2x + 3) dx

2. Calcul de J = ∫0π/2 cos(x) dx

3. Calcul de K = ∫01 (3x² − 2x + 1) dx

4. Calcul de L = ∫14 (1/√x) dx

Aire entre une courbe et l'axe des abscisses — f(x) = x² − 4

1. Racines de f

2. Signe de f sur [−2, 2]

3. Calcul de l'aire

🟡 Exercices Intermédiaires

Intégration par parties

1. I = ∫x·ex dx

2. J = ∫x·ln(x) dx

3. K = ∫x²·ex dx (double IPP)

Inégalités intégrales et valeur moyenne

1. Inégalité

2. IPP : ∫ x·cos(x) dx

3. Valeur moyenne de x·ex

4.

Intégration par parties — deux exercices types

1. Calcul de I = ∫1e x²·ln(x) dx

2. Calcul de J = ∫01 arctan(x) dx

Suite d'intégrales — relation de récurrence

1. Calcul de I0

2. Relation de récurrence

3. Calcul de I1 et I2

4. Positivité de In

5. Monotonie de la suite (In)

Intégration par parties — ∫x·sin(x)dx

1. I = ∫0π x·sin(x) dx

2. J = ∫01 x·ex dx

3. K = ∫1e ln(x) dx

1. Calcul de I = ∫₀¹ x·e^x² dx

2. Calcul de J = ∫₀^π/2 sin(2x) dx

3. Calcul de K = ∫₁⁴ (2x+1)/(x²+x) dx

1. Calcul de I = ∫₁³ (2x + 3) dx

2. Calcul de J = ∫₀^π/2 cos(x) dx

3. Calcul de K = ∫₀¹ (3x² − 2x + 1) dx

4. Calcul de L = ∫₁⁴ (1/√x) dx

1. I = ∫x·e^x dx

3. K = ∫x²·e^x dx (double IPP)

3. Valeur moyenne de x·e^x

1. Calcul de I = ∫₁^e x²·ln(x) dx

2. Calcul de J = ∫₀¹ arctan(x) dx

1. Calcul de I₀

3. Calcul de I₁ et I₂

4. Positivité de I_n

5. Monotonie de la suite (I_n)

1. I = ∫₀^π x·sin(x) dx

2. J = ∫₀¹ x·e^x dx

3. K = ∫₁^e ln(x) dx

5. Aire entre C_f et l'axe des x sur [0, 1]