Dénombrement — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Factorielle d'un entier

Définition

Pour tout entier naturel n ≥ 1, on appelle factorielle de n, noté n!, le produit de tous les entiers de 1 à n :

n! = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × 2 × 1

Par convention : 0! = 1

Exemples

1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040

Propriété fondamentale : Pour tout n ≥ 1, on a : (n+1)! = (n+1) × n!

Cela permet de simplifier des fractions : n!/(n−k)! = n × (n−1) × ⋯ × (n−k+1)

II. Arrangements

Définition

On appelle arrangement de p éléments parmi n (avec 0 ≤ p ≤ n) toute sélection ordonnée de p éléments distincts tirés d'un ensemble de n éléments. L'ordre compte.

Formule

A_n^p = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × (n−p+1) = n! / (n−p)!

Cas particulier (permutations) : A_nⁿ = n! (on appelle cela une permutation de n éléments)

Exemples

A₅² = 5 × 4 = 20 (choisir et ordonner 2 lettres parmi 5)
A₁₀³ = 10 × 9 × 8 = 720
A₆⁶ = 6! = 720 (permutations de 6 éléments)

III. Combinaisons

Définition

On appelle combinaison de p éléments parmi n toute sélection non ordonnée de p éléments distincts tirés d'un ensemble de n éléments. L'ordre ne compte pas.

Formule

C_n^p = n! / (p! × (n−p)!) = A_n^p / p!

On lit « p parmi n » ou « combinaisons de n prises p à p ».

Propriétés fondamentales des combinaisons

C_n⁰ = C_nⁿ = 1
C_n¹ = C_nⁿ⁻¹ = n
Symétrie : C_n^p = C_n^n−p
Relation de Pascal : C_n+1^p+1 = C_n^p + C_n^p+1

Exemples

C₅² = 5!/(2! × 3!) = 120/12 = 10
C₁₀³ = 10!/(3! × 7!) = (10 × 9 × 8)/(3 × 2 × 1) = 720/6 = 120
C₅₂⁵ = 2 598 960 (nombre de mains au poker)

IV. Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal permet de retrouver rapidement les coefficients C_n^p :

        1
      1 1
    1 2 1
  1 3 3 1
1 4 6 4 1

Règle de construction : chaque coefficient est la somme des deux coefficients au-dessus de lui (relation de Pascal).

Ligne n=0 : 1 | n=1 : 1 1 | n=2 : 1 2 1 | n=3 : 1 3 3 1 | n=4 : 1 4 6 4 1

V. Binôme de Newton

Formule du binôme de Newton

Pour tous réels a et b, et pour tout entier naturel n :

(a + b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ C_n^k · a^n−k · b^k

= C_n⁰aⁿ + C_n¹aⁿ⁻¹b + C_n²aⁿ⁻²b² + ⋯ + C_nⁿbⁿ

Cas particuliers importants

(1 + x)ⁿ = C_n⁰ + C_n¹x + C_n²x² + ⋯ + C_nⁿxⁿ
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Identités remarquables déduites (x = 1 et x = −1)

C_n⁰ + C_n¹ + C_n² + ⋯ + C_nⁿ = 2ⁿ
C_n⁰ − C_n¹ + C_n² − ⋯ + (−1)ⁿC_nⁿ = 0

VI. Principes fondamentaux du dénombrement

Principe multiplicatif

Si une action peut s'effectuer en k étapes successives indépendantes, avec n₁ choix pour l'étape 1, n₂ choix pour l'étape 2, …, n_k choix pour l'étape k, alors le nombre total de façons d'effectuer l'action est :

N = n₁ × n₂ × ⋯ × n_k

Principe additif

Si une action peut s'effectuer de manière A ou de manière B (cas exclusifs), avec n_A et n_B façons respectivement, alors le nombre total est :

N = n_A + n_B

🔑 Formules clés à retenir

Factorielle : n! = n × (n−1) × ⋯ × 1 ; 0! = 1
Arrangements : A_n^p = n! / (n−p)!
Permutations : P(n) = A_nⁿ = n!
Combinaisons : C_n^p = n! / (p!(n−p)!)
Symétrie : C_n^p = C_n^n−p
Pascal : C_n+1^p+1 = C_n^p + C_n^p+1
Newton : (a+b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ C_n^k a^n−k b^k
Somme des coefficients : Σ C_n^k = 2ⁿ

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Arrangements vs Combinaisons : si l'ordre compte (podium, code PIN, rang), c'est un arrangement. Si l'ordre ne compte pas (comité, équipe, main de cartes), c'est une combinaison. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente !

❌

Oublier 0! = 1 : C_nⁿ = n!/(n! × 0!) = 1 grâce à la convention 0! = 1. Sans cette convention, la formule ne fonctionnerait pas.

❌

Binôme de Newton — signe moins : dans (a − b)ⁿ, les signes alternent. Le terme général est C_n^k · a^n−k · (−b)^k = (−1)^k · C_n^k · a^n−k · b^k.

🟢 Astuces de pros

✅

Utiliser la symétrie pour simplifier : C₁₀₀⁹⁷ = C₁₀₀³ = (100 × 99 × 98)/(3 × 2 × 1) = 161 700. Toujours choisir le plus petit exposant !

✅

Pour trouver un coefficient spécifique dans (a+b)ⁿ : identifier k depuis la puissance de b dans le terme cherché, puis appliquer C_n^k · a^n−k · b^k. Pas besoin de tout développer.

💡

Relation de Pascal pour vérification rapide : C₅² = C₄¹ + C₄² = 4 + 6 = 10. Utile pour vérifier ses calculs sans refaire la division.

Dénombrement — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

15 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 15 corrigés

🟢 Exercices Faciles

5 exercices

Calcul de factorielles et simplification

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les expressions suivantes en donnant le résultat sous forme d'un entier :

A = 6! − 2 × 5!
B = 8! / (6! × 2!)
C = 15! / 13!
D = (n+2)! / n! (exprimer en fonction de n)

Ma réponse

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Correction détaillée

1. Calcul de A = 6! − 2 × 5!

6! = 720 et 5! = 120

A = 720 − 2 × 120 = 720 − 240 = 480

Méthode rapide : 6! = 6 × 5!, donc A = 6 × 5! − 2 × 5! = 4 × 5! = 4 × 120 = 480. ✓

2. Calcul de B = 8! / (6! × 2!)

B = (8 × 7 × 6!) / (6! × 2!) = (8 × 7) / 2! = 56 / 2 = 28

Remarque : B = C₈² = 28. ✓

3. Calcul de C = 15! / 13!

C = (15 × 14 × 13!) / 13! = 15 × 14 = 210

Remarque : C = A₁₅² = 210. ✓

4. Calcul de D = (n+2)! / n!

D = [(n+2)(n+1) × n!] / n! = (n+2)(n+1)

D = (n+1)(n+2) = n² + 3n + 2

Arrangements — sélections ordonnées

🟢 Facile

Énoncé

On dispose d'un ensemble de 8 lettres distinctes.

Combien de mots (ordonnés) de 3 lettres distinctes peut-on former ?
Combien de mots de 2 lettres distinctes peut-on former ?
Une course cycliste a 12 participants. De combien de façons peut-on attribuer les médailles d'or, d'argent et de bronze (3 médailles différentes) ?
Calculer A₁₀⁴.

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Correction détaillée

1. Mots de 3 lettres distinctes parmi 8

L'ordre compte (un mot est ordonné) → c'est un arrangement.

A₈³ = 8 × 7 × 6 = 336 mots

2. Mots de 2 lettres distinctes parmi 8

A₈² = 8 × 7 = 56 mots

3. Attribution des médailles à 12 cyclistes

Les médailles sont différentes → l'ordre des sélections compte.

A₁₂³ = 12 × 11 × 10 = 1 320 façons

4. Calcul de A₁₀⁴

A₁₀⁴ = 10!/(10−4)! = 10!/6! = 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040

Combinaisons — sélections non ordonnées

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les combinaisons suivantes, puis résoudre les problèmes :

Calculer C₆², C₉³ et C₁₀⁷.
Une classe de 20 élèves doit élire un bureau de 3 délégués. Combien de bureaux différents peut-on former ?
Dans une boîte contenant 9 boules distinctes (5 rouges et 4 bleues), combien de façons peut-on tirer 2 boules en même temps (sans distinguer l'ordre) ?
Vérifier la relation de symétrie : C₇⁵ = C₇².

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Correction détaillée

1. Calcul des combinaisons

C₆² = (6 × 5)/(2 × 1) = 30/2 = 15

C₉³ = (9 × 8 × 7)/(3 × 2 × 1) = 504/6 = 84

C₁₀⁷ = C₁₀³ (symétrie : 10−7=3) = (10 × 9 × 8)/(3 × 2 × 1) = 720/6 = 120

2. Élection du bureau (20 élèves, 3 délégués)

Un bureau ne tient pas compte de l'ordre des membres → combinaison.

C₂₀³ = (20 × 19 × 18)/(3 × 2 × 1) = 6840/6 = 1 140 bureaux

3. Tirage de 2 boules parmi 9

C₉² = (9 × 8)/2 = 72/2 = 36 façons

4. Vérification de la symétrie

C₇⁵ = 7!/(5! × 2!) = (7 × 6)/(2 × 1) = 42/2 = 21

C₇² = (7 × 6)/2 = 21 ✓

La symétrie C_n^p = C_n^n−p est bien vérifiée.

Relation de Pascal et triangle de Pascal

🟢 Facile

Énoncé

Vérifier la relation de Pascal : C₅² = C₄¹ + C₄².
En utilisant la relation de Pascal, calculer C₆³ à partir de C₅² et C₅³.
Écrire la ligne n = 5 du triangle de Pascal (les valeurs de C₅⁰, C₅¹, …, C₅⁵).
En déduire la somme C₅⁰ + C₅¹ + C₅² + C₅³ + C₅⁴ + C₅⁵.

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Correction détaillée

1. Vérification de Pascal

C₄¹ = 4, C₄² = (4 × 3)/2 = 6

C₄¹ + C₄² = 4 + 6 = 10

C₅² = (5 × 4)/2 = 10 ✓ La relation est vérifiée.

2. Calcul de C₆³ par Pascal

C₅² = 10 et C₅³ = (5 × 4 × 3)/(3 × 2 × 1) = 60/6 = 10

Par Pascal : C₆³ = C₅² + C₅³ = 10 + 10 = 20

Vérification directe : C₆³ = (6 × 5 × 4)/(3 × 2 × 1) = 120/6 = 20 ✓

3. Ligne n = 5 du triangle de Pascal

C₅⁰ = 1
C₅¹ = 5
C₅² = 10
C₅³ = 10
C₅⁴ = 5
C₅⁵ = 1

Ligne : 1 5 10 10 5 1

4. Somme des coefficients

1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2⁵

Formule générale : Σ_k=0ⁿ C_n^k = 2ⁿ. Ici n = 5, donc 2⁵ = 32. ✓

Binôme de Newton — développements simples

🟢 Facile

Énoncé

Développer (x + 1)⁴ en utilisant la formule du binôme de Newton.
Développer (a − b)³.
Dans le développement de (2 + x)⁶, déterminer le terme indépendant de x et le coefficient de x⁴.
Vérifier que la somme des coefficients de (1 + x)⁴ vaut 2⁴ = 16.

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Correction détaillée

1. Développement de (x + 1)⁴

Les coefficients (ligne 4 de Pascal) : C₄⁰=1, C₄¹=4, C₄²=6, C₄³=4, C₄⁴=1

(x + 1)⁴ = C₄⁰x⁴ + C₄¹x³ + C₄²x² + C₄³x + C₄⁴

(x + 1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1

2. Développement de (a − b)³

(a − b)³ = C₃⁰a³ + C₃¹a²(−b) + C₃²a(−b)² + C₃³(−b)³

= 1·a³ − 3a²b + 3ab² − b³

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

3. Développement de (2 + x)⁶

Terme général : T_k = C₆^k × 2^6−k × x^k

Terme indépendant de x (k = 0) : C₆⁰ × 2⁶ = 1 × 64 = 64

Coefficient de x⁴ (k = 4) : C₆⁴ × 2² = 15 × 4 = 60

4. Somme des coefficients de (1 + x)⁴

On pose x = 1 : (1 + 1)⁴ = 2⁴ = 16

Vérification : 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 ✓

🟡 Exercices Intermédiaires

5 exercices

Problème de codes et mots de passe

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On constitue des codes secrets selon différentes règles.

Un code PIN bancaire est composé de 4 chiffres (de 0 à 9), la répétition étant autorisée. Combien de codes PIN différents existe-t-il ?
Un code de vélo est composé de 3 lettres majuscules (A à Z) distinctes suivies de 2 chiffres (0 à 9) distincts. Combien de codes différents peut-on former ?
Un mot de passe informatique doit contenir exactement 5 caractères distincts choisis parmi les 26 lettres minuscules. Combien de mots de passe différents sont possibles si :
1. l'ordre des caractères compte (mot de passe ordonné) ?
2. l'ordre ne compte pas (simple ensemble de caractères) ?

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Correction détaillée

1. Codes PIN (4 chiffres, répétition autorisée)

Chaque position peut prendre 10 valeurs (0 à 9), indépendamment.

Nombre de codes = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 codes

2. Code de vélo (3 lettres distinctes + 2 chiffres distincts)

Lettres : on choisit et ordonne 3 lettres parmi 26 → A₂₆³ = 26 × 25 × 24 = 15 600

Chiffres : on choisit et ordonne 2 chiffres parmi 10 → A₁₀² = 10 × 9 = 90

Par le principe multiplicatif :

Nombre total = 15 600 × 90 = 1 404 000 codes

3. Mots de passe de 5 lettres minuscules distinctes parmi 26

a) Ordre compte (arrangements) :

A₂₆⁵ = 26 × 25 × 24 × 23 × 22

= 650 × 24 × 23 × 22 = 15 600 × 23 × 22 = 358 800 × 22 = 7 893 600 mots de passe

b) Ordre ne compte pas (combinaisons) :

C₂₆⁵ = A₂₆⁵ / 5! = 7 893 600 / 120 = 65 780 ensembles

Anagrammes et arrangements de mots

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On s'intéresse aux arrangements des lettres de certains mots.

Combien d'anagrammes (réarrangements de toutes les lettres) peut-on former avec le mot MAROC (5 lettres toutes distinctes) ?
Combien de mots de 3 lettres distinctes peut-on former en utilisant uniquement les lettres du mot MAROC ?
Parmi tous les anagrammes du mot MAROC, combien commencent par la lettre M ?
Combien d'anagrammes du mot MAROC commencent par M et se terminent par C ?

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1. Anagrammes de MAROC (5 lettres distinctes)

Il s'agit de permuter les 5 lettres M, A, R, O, C (toutes distinctes).

Nombre d'anagrammes = 5! = 120

2. Mots de 3 lettres parmi les 5 lettres de MAROC

On choisit et ordonne 3 lettres parmi 5 → arrangement :

A₅³ = 5 × 4 × 3 = 60 mots

3. Anagrammes de MAROC commençant par M

La première lettre est fixée (M). Il reste à permuter les 4 lettres A, R, O, C dans les 4 positions restantes.

Nombre = 4! = 24 anagrammes

4. Anagrammes commençant par M et finissant par C

La première lettre est M (fixée) et la dernière est C (fixée). Il reste à permuter les 3 lettres A, R, O dans les 3 positions centrales.

Nombre = 3! = 6 anagrammes

Ce sont : MAROC, MAORC, MRAOC, MROAC, MOARC, MORAC.

Comités et équipes — combinaisons appliquées

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un club sportif compte 15 membres : 8 hommes et 7 femmes.

Combien de façons peut-on choisir un comité de 5 membres parmi les 15 ?
Combien de comités de 5 membres contenant exactement 3 hommes et 2 femmes peut-on former ?
Combien de comités de 5 membres contiennent au moins une femme ?
On doit former une équipe de 3 membres avec un capitaine, un vice-capitaine et un secrétaire (rôles distincts). Combien de configurations sont possibles si l'équipe est choisie parmi tous les 15 membres ?

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1. Comité de 5 membres parmi 15

C₁₅⁵ = (15 × 14 × 13 × 12 × 11)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 360 360/120 = 3 003

2. Exactement 3 hommes et 2 femmes

On choisit 3 hommes parmi 8 ET 2 femmes parmi 7 (événements indépendants) :

C₈³ × C₇² = [(8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1)] × [(7 × 6)/2]

= 56 × 21 = 1 176 comités

3. Au moins une femme

Méthode du complémentaire :

Comités sans femme (5 hommes parmi 8) : C₈⁵ = C₈³ = 56

Comités avec au moins une femme = C₁₅⁵ − C₈⁵ = 3 003 − 56 = 2 947 comités

4. Équipe de 3 avec rôles distincts

Les rôles sont différents → l'ordre des sélections compte → arrangement :

A₁₅³ = 15 × 14 × 13 = 2 730 configurations

Binôme de Newton — terme général et coefficient

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Développer (2x − 3)⁴ en utilisant la formule du binôme de Newton.
Dans le développement de (x + 1/x)⁸, trouver le terme indépendant de x.
Trouver le coefficient de x⁵ dans le développement de (3 + x)⁷.
En posant x = 1 dans le développement de (1 + 2x)⁶, calculer la valeur de la somme Σ_k=0⁶ C₆^k · 2^k.

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Correction détaillée

1. Développement de (2x − 3)⁴

Terme général : T_k = C₄^k × (2x)^4−k × (−3)^k = C₄^k × 2^4−k × (−3)^k × x^4−k

k=0 : C₄⁰ × 16 × 1 = 16x⁴
k=1 : C₄¹ × 8 × (−3) = 4 × 8 × (−3) = −96x³
k=2 : C₄² × 4 × 9 = 6 × 4 × 9 = +216x²
k=3 : C₄³ × 2 × (−27) = 4 × 2 × (−27) = −216x
k=4 : C₄⁴ × 1 × 81 = +81

(2x − 3)⁴ = 16x⁴ − 96x³ + 216x² − 216x + 81

2. Terme indépendant de x dans (x + 1/x)⁸

Terme général : T_k = C₈^k × x^8−k × x^−k = C₈^k × x^8−2k

Terme indépendant : 8 − 2k = 0 ⟹ k = 4

T₄ = C₈⁴ = (8 × 7 × 6 × 5)/(4 × 3 × 2 × 1) = 1 680/24 = 70

3. Coefficient de x⁵ dans (3 + x)⁷

Terme général : T_k = C₇^k × 3^7−k × x^k

Pour x⁵ : k = 5 → T₅ = C₇⁵ × 3² = C₇² × 9 = 21 × 9 = 189

4. Calcul de Σ C₆^k · 2^k

On sait que (1 + 2x)⁶ = Σ_k=0⁶ C₆^k × (2x)^k = Σ_k=0⁶ C₆^k × 2^k × x^k

En posant x = 1 : Σ_k=0⁶ C₆^k × 2^k = (1 + 2)⁶ = 3⁶ = 729

Jeux de cartes et loto

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Un jeu de 52 cartes contient 4 couleurs (pique, cœur, carreau, trèfle) et 13 valeurs par couleur (As, 2, 3, …, 10, Valet, Dame, Roi).

Combien de mains de 5 cartes (sans tenir compte de l'ordre) peut-on tirer d'un jeu de 52 cartes ?
Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 2 As (sachant qu'il y a 4 As dans le jeu) ?
Combien de mains de 5 cartes sont entièrement de la même couleur (une "main monocolore") ?
Au Loto marocain, on tire 6 numéros parmi 45. Combien de combinaisons possibles y a-t-il ?

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Correction détaillée

1. Mains de 5 cartes parmi 52

C₅₂⁵ = (52 × 51 × 50 × 49 × 48)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1)

Numérateur : 52 × 51 = 2 652 ; × 50 = 132 600 ; × 49 = 6 497 400 ; × 48 = 311 875 200

Dénominateur : 120

C₅₂⁵ = 311 875 200 / 120 = 2 598 960 mains

2. Mains avec exactement 2 As

Étape 1 : choisir 2 As parmi les 4 As → C₄² = 6

Étape 2 : choisir les 3 autres cartes parmi les 48 non-As → C₄₈³

C₄₈³ = (48 × 47 × 46)/(3 × 2 × 1) = 103 776/6 = 17 296

Total = 6 × 17 296 = 103 776 mains

3. Mains monocolores (5 cartes de la même couleur)

Il y a 4 couleurs. Pour chaque couleur, on choisit 5 cartes parmi 13 :

C₁₃⁵ = (13 × 12 × 11 × 10 × 9)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 154 440/120 = 1 287

Pour les 4 couleurs : 4 × 1 287 = 5 148 mains monocolores

4. Loto : 6 numéros parmi 45

C₄₅⁶ = (45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40)/(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)

Numérateur : 45 × 44 = 1 980 ; × 43 = 85 140 ; × 42 = 3 575 880 ; × 41 = 146 611 080 ; × 40 = 5 864 443 200

Dénominateur : 720

C₄₅⁶ = 5 864 443 200 / 720 = 8 145 060 combinaisons

🔴 Exercices Difficiles

5 exercices

Équations combinatoires et identités

🔴 Difficile

Énoncé

Résoudre l'équation : C_n² = 21 (trouver l'entier naturel n).
Résoudre : A_n² = 110 (trouver n ∈ ℕ, n ≥ 2).
Montrer l'identité suivante pour tous entiers n ≥ 1 et 0 ≤ p ≤ n :
(p+1) × C_n+1^p+1 = (n+1) × C_n^p
En utilisant la relation de Pascal deux fois, montrer que :
C_n^p + 2C_n^p+1 + C_n^p+2 = C_n+2^p+2

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Correction détaillée

1. Résolution de C_n² = 21

C_n² = n(n−1)/2 = 21

n(n−1) = 42 ⟹ n² − n − 42 = 0

Discriminant : Δ = 1 + 4 × 42 = 169 = 13²

n = (1 + 13)/2 = 7 ou n = (1 − 13)/2 = −6 (rejeté car n ∈ ℕ)

Solution : n = 7. Vérification : C₇² = 7 × 6/2 = 21 ✓

2. Résolution de A_n² = 110

A_n² = n(n−1) = 110 ⟹ n² − n − 110 = 0

Discriminant : Δ = 1 + 440 = 441 = 21²

n = (1 + 21)/2 = 11 ou n = (1 − 21)/2 = −10 (rejeté)

Solution : n = 11. Vérification : A₁₁² = 11 × 10 = 110 ✓

3. Preuve de (p+1) × C_n+1^p+1 = (n+1) × C_n^p

Membre gauche :

(p+1) × C_n+1^p+1 = (p+1) × (n+1)! / ((p+1)! × (n−p)!)

= (p+1) × (n+1)! / ((p+1) × p! × (n−p)!)

= (n+1)! / (p! × (n−p)!)

Membre droit :

(n+1) × C_n^p = (n+1) × n! / (p! × (n−p)!) = (n+1)! / (p! × (n−p)!)

Les deux membres sont égaux. L'identité est démontrée. ■

4. Preuve de C_n^p + 2C_n^p+1 + C_n^p+2 = C_n+2^p+2

On regroupe et on applique Pascal :

C_n^p + 2C_n^p+1 + C_n^p+2 = (C_n^p + C_n^p+1) + (C_n^p+1 + C_n^p+2)

Étape 1 : C_n^p + C_n^p+1 = C_n+1^p+1 (Pascal)

Étape 2 : C_n^p+1 + C_n^p+2 = C_n+1^p+2 (Pascal)

Donc l'expression vaut C_n+1^p+1 + C_n+1^p+2.

Étape 3 : C_n+1^p+1 + C_n+1^p+2 = C_n+2^p+2 (Pascal) ■

Distribution et répartition d'objets

🔴 Difficile

Énoncé

On dispose de 12 élèves à répartir en groupes.

On forme 3 groupes distincts (groupe A, B, C) de 4 élèves chacun. Combien de répartitions sont possibles ?
On forme 3 groupes de 4 élèves chacun, mais les groupes sont indistinguables (on ne les nomme pas). Combien de répartitions sont possibles ?
Parmi les 12 élèves, 5 sont des filles et 7 sont des garçons. On choisit un groupe de 4. Combien de façons y a-t-il de former un groupe de 4 élèves contenant au moins 2 filles ?
On doit choisir 2 délégués parmi les 5 filles et 3 délégués parmi les 7 garçons. Combien de sélections sont possibles ?

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Correction détaillée

1. Trois groupes distincts de 4 parmi 12

On procède par étapes successives (principe multiplicatif) :

Groupe A : C₁₂⁴ = (12 × 11 × 10 × 9)/(4 × 3 × 2 × 1) = 11 880/24 = 495

Groupe B : C₈⁴ = (8 × 7 × 6 × 5)/(4 × 3 × 2 × 1) = 1 680/24 = 70

Groupe C : C₄⁴ = 1 (les 4 élèves restants)

Total = 495 × 70 × 1 = 34 650 répartitions

2. Trois groupes indistinguables de 4

Les groupes ne sont pas nommés → on divise par le nombre de permutations des 3 groupes (3! = 6) :

Nombre = 34 650 / 6 = 5 775 répartitions

3. Groupes de 4 avec au moins 2 filles (5 filles, 7 garçons)

On énumère les cas (nombre de filles dans le groupe) :

Exactement 2 filles, 2 garçons : C₅² × C₇² = 10 × 21 = 210

Exactement 3 filles, 1 garçon : C₅³ × C₇¹ = 10 × 7 = 70

Exactement 4 filles, 0 garçon : C₅⁴ × C₇⁰ = 5 × 1 = 5

Total = 210 + 70 + 5 = 285 groupes

4. Sélection de 2 filles parmi 5 et 3 garçons parmi 7

C₅² × C₇³ = 10 × [(7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1)] = 10 × 35 = 350 sélections

Arrangements en ligne avec contraintes

🔴 Difficile

Énoncé

On place en ligne 4 garçons (G1, G2, G3, G4) et 3 filles (F1, F2, F3).

Combien d'arrangements de ces 7 personnes en ligne sont possibles sans contrainte ?
Combien d'arrangements ont toutes les filles ensemble (consécutives) ?
Combien d'arrangements ont les filles toutes séparées (aucune fille n'est à côté d'une autre fille) ?
Combien d'arrangements commencent et finissent par un garçon ?

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Correction détaillée

1. Arrangements sans contrainte

7 personnes toutes distinctes en ligne → permutation :

7! = 5 040

2. Toutes les filles ensemble (consécutives)

On considère le bloc {F1, F2, F3} comme une entité. On a 5 entités (4 garçons + 1 bloc) à arranger :

5! = 120 façons pour les entités.

Les 3 filles dans le bloc peuvent être arrangées en 3! = 6 façons internes.

Total = 5! × 3! = 120 × 6 = 720 arrangements

3. Filles toutes séparées

Stratégie : placer d'abord les 4 garçons, puis insérer les filles dans les interstices.

Étape 1 : Arranger les 4 garçons → 4! = 24 façons.

Étape 2 : Les 4 garçons créent 5 positions libres : _G_G_G_G_

On choisit 3 positions parmi 5 et on y place les 3 filles dans un ordre → A₅³ = 5 × 4 × 3 = 60

Total = 4! × A₅³ = 24 × 60 = 1 440 arrangements

4. Commençant et finissant par un garçon

Position 1 (1er garçon) : 4 choix. Position 7 (dernier garçon) : 3 choix parmi les 3 garçons restants.

5 positions centrales : on arrange les 5 personnes restantes (2 garçons + 3 filles) → 5! = 120.

Total = 4 × 3 × 120 = 1 440 arrangements

Binôme de Newton — applications avancées

🔴 Difficile

Énoncé

Développer (√2 + 1)⁶ + (√2 − 1)⁶ et montrer que le résultat est un entier.
Trouver le plus grand coefficient binomial C₁₀^k pour 0 ≤ k ≤ 10.
Montrer par la formule du binôme de Newton que : Σ_k=0ⁿ k × C_n^k = n × 2ⁿ⁻¹.
Donner une approximation de (1,01)¹⁰ en utilisant le binôme (1 + 0,01)¹⁰, en ne conservant que les termes jusqu'à (0,01)³.

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Correction détaillée

1. (√2 + 1)⁶ + (√2 − 1)⁶

Terme général de (√2 + 1)⁶ : T_k = C₆^k (√2)^6−k · 1^k

Terme général de (√2 − 1)⁶ : T'_k = C₆^k (√2)^6−k · (−1)^k

T_k + T'_k = C₆^k (√2)^6−k (1 + (−1)^k). Ce terme vaut 0 si k est impair, et 2 C₆^k (√2)^6−k si k est pair.

Termes avec k pair (k = 0, 2, 4, 6) :

k=0 : 2 × C₆⁰ × (√2)⁶ = 2 × 1 × 8 = 16
k=2 : 2 × C₆² × (√2)⁴ = 2 × 15 × 4 = 120
k=4 : 2 × C₆⁴ × (√2)² = 2 × 15 × 2 = 60
k=6 : 2 × C₆⁶ × (√2)⁰ = 2 × 1 × 1 = 2

Somme = 16 + 120 + 60 + 2 = 198

C'est bien un entier, car les termes en √2 (k impairs) se sont annulés. ■

2. Plus grand coefficient C₁₀^k

Pour n pair, le maximum est atteint au milieu : k = n/2 = 5.

C₁₀⁵ = (10 × 9 × 8 × 7 × 6)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 30 240/120 = 252

Vérification : C₁₀⁴ = (10 × 9 × 8 × 7)/24 = 5040/24 = 210 < 252 ✓

3. Preuve de Σ k × C_n^k = n × 2ⁿ⁻¹

On part de l'identité : (1 + x)ⁿ = Σ_k=0ⁿ C_n^k x^k.

On dérive les deux membres par rapport à x :

n(1 + x)ⁿ⁻¹ = Σ_k=1ⁿ k × C_n^k × x^k−1

On pose x = 1 :

n × 2ⁿ⁻¹ = Σ_k=1ⁿ k × C_n^k = Σ_k=0ⁿ k × C_n^k (car le terme k=0 vaut 0) ■

4. Approximation de (1,01)¹⁰

(1 + 0,01)¹⁰ ≈ C₁₀⁰ + C₁₀¹(0,01) + C₁₀²(0,01)² + C₁₀³(0,01)³

= 1 + 10 × 0,01 + 45 × 0,0001 + 120 × 0,000001

= 1 + 0,1 + 0,0045 + 0,000120

≈ 1,104620

Valeur exacte : (1,01)¹⁰ ≈ 1,10462212541... Les termes suivants sont négligeables. ✓

Problème mixte — type Baccalauréat

🔴 Difficile

Énoncé

Un groupe de 10 étudiants (6 garçons et 4 filles) doit se répartir pour un projet.

Combien de façons peut-on choisir un sous-groupe de 4 étudiants parmi les 10 ?
Parmi ces sous-groupes de 4, combien comportent au moins 1 fille ?
On forme un comité de direction de 4 membres avec un président, un vice-président, un trésorier et un secrétaire (4 rôles distincts). Combien de comités comprenant au moins 2 garçons peut-on constituer ?
On dispose de 10 livres distincts : 4 de maths, 3 de physique et 3 d'informatique. On veut choisir 4 livres avec au moins 1 livre de chaque matière. Combien de sélections sont possibles ?

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Correction détaillée

1. Sous-groupe de 4 parmi 10

C₁₀⁴ = (10 × 9 × 8 × 7)/(4 × 3 × 2 × 1) = 5 040/24 = 210

2. Au moins 1 fille dans un groupe de 4 (6 garçons, 4 filles)

Méthode du complémentaire :

Groupes sans fille (4 garçons parmi 6) : C₆⁴ = C₆² = (6 × 5)/2 = 15

Groupes avec au moins 1 fille = 210 − 15 = 195

3. Comité de 4 avec rôles distincts et au moins 2 garçons

Les 4 rôles étant distincts, on compte des arrangements (l'ordre compte dans l'attribution).

Exactement 2 garçons et 2 filles :

Choisir 2 garçons parmi 6 et 2 filles parmi 4 (non ordonnés), puis affecter les 4 rôles :

C₆² × C₄² × 4! = 15 × 6 × 24 = 2 160

Exactement 3 garçons et 1 fille :

C₆³ × C₄¹ × 4! = 20 × 4 × 24 = 1 920

Exactement 4 garçons et 0 fille :

C₆⁴ × C₄⁰ × 4! = 15 × 1 × 24 = 360

Total = 2 160 + 1 920 + 360 = 4 440 configurations

4. 4 livres parmi 10 (4M, 3P, 3I) avec au moins 1 de chaque matière

La somme des livres choisis vaut 4, avec au moins 1 de chaque type (M≥1, P≥1, I≥1). Les distributions (M, P, I) possibles sont :

(2, 1, 1) : C₄² × C₃¹ × C₃¹ = 6 × 3 × 3 = 54
(1, 2, 1) : C₄¹ × C₃² × C₃¹ = 4 × 3 × 3 = 36
(1, 1, 2) : C₄¹ × C₃¹ × C₃² = 4 × 3 × 3 = 36

Total = 54 + 36 + 36 = 126 sélections

Cohérence : C₁₀⁴ = 210 > 126, ce qui est logique car on ajoute une contrainte. ✓

Dénombrement

Dénombrement — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Factorielle d'un entier

Définition

Exemples

II. Arrangements

Définition

Formule

Exemples

III. Combinaisons

Définition

Formule

Propriétés fondamentales des combinaisons

Exemples

IV. Triangle de Pascal

V. Binôme de Newton

Formule du binôme de Newton

Cas particuliers importants

Identités remarquables déduites (x = 1 et x = −1)

VI. Principes fondamentaux du dénombrement

Principe multiplicatif

Principe additif

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Dénombrement — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calcul de factorielles et simplification

1. Calcul de A = 6! − 2 × 5!

2. Calcul de B = 8! / (6! × 2!)

3. Calcul de C = 15! / 13!

4. Calcul de D = (n+2)! / n!

Arrangements — sélections ordonnées

1. Mots de 3 lettres distinctes parmi 8

2. Mots de 2 lettres distinctes parmi 8

3. Attribution des médailles à 12 cyclistes

4. Calcul de A104

Combinaisons — sélections non ordonnées

1. Calcul des combinaisons

2. Élection du bureau (20 élèves, 3 délégués)

3. Tirage de 2 boules parmi 9

4. Vérification de la symétrie

Relation de Pascal et triangle de Pascal

1. Vérification de Pascal

2. Calcul de C63 par Pascal

3. Ligne n = 5 du triangle de Pascal

4. Somme des coefficients

Binôme de Newton — développements simples

1. Développement de (x + 1)4

2. Développement de (a − b)3

3. Développement de (2 + x)6

4. Somme des coefficients de (1 + x)4

🟡 Exercices Intermédiaires

Problème de codes et mots de passe

1. Codes PIN (4 chiffres, répétition autorisée)

2. Code de vélo (3 lettres distinctes + 2 chiffres distincts)

3. Mots de passe de 5 lettres minuscules distinctes parmi 26

Anagrammes et arrangements de mots

1. Anagrammes de MAROC (5 lettres distinctes)

2. Mots de 3 lettres parmi les 5 lettres de MAROC

3. Anagrammes de MAROC commençant par M

4. Anagrammes commençant par M et finissant par C

Comités et équipes — combinaisons appliquées

1. Comité de 5 membres parmi 15

2. Exactement 3 hommes et 2 femmes

3. Au moins une femme

4. Équipe de 3 avec rôles distincts

Binôme de Newton — terme général et coefficient

1. Développement de (2x − 3)4

2. Terme indépendant de x dans (x + 1/x)8

3. Coefficient de x5 dans (3 + x)7

4. Calcul de Σ C6k · 2k

Jeux de cartes et loto

1. Mains de 5 cartes parmi 52

2. Mains avec exactement 2 As

3. Mains monocolores (5 cartes de la même couleur)

4. Calcul de A₁₀⁴

2. Calcul de C₆³ par Pascal

1. Développement de (x + 1)⁴

2. Développement de (a − b)³

3. Développement de (2 + x)⁶

4. Somme des coefficients de (1 + x)⁴

1. Développement de (2x − 3)⁴

2. Terme indépendant de x dans (x + 1/x)⁸

3. Coefficient de x⁵ dans (3 + x)⁷

4. Calcul de Σ C₆^k · 2^k

1. Résolution de C_n² = 21

2. Résolution de A_n² = 110

3. Preuve de (p+1) × C_n+1^p+1 = (n+1) × C_n^p

4. Preuve de C_n^p + 2C_n^p+1 + C_n^p+2 = C_n+2^p+2

1. (√2 + 1)⁶ + (√2 − 1)⁶

2. Plus grand coefficient C₁₀^k

3. Preuve de Σ k × C_n^k = n × 2ⁿ⁻¹

4. Approximation de (1,01)¹⁰