Dénombrement — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Factorielle d'un entier

Définition

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ , on appelle factorielle de n, noté $n!$ , le produit de tous les entiers de 1 à n :

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1$

Par convention : $0! = 1$

Exemples

$1! = 1$
$2! = 2 \times 1 = 2$
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
$5! = 120$ , $6! = 720$ , $7! = 5040$

Propriété fondamentale : Pour tout $n \geq 1$ , on a : $(n + 1)! = (n + 1) \times n!$

Cela permet de simplifier des fractions : $\frac{n !}{( n - k )!} = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1)$

II. Arrangements

Définition

On appelle arrangement de p éléments parmi n (avec $0 \leq p \leq n$ ) toute sélection ordonnée de p éléments distincts tirés d'un ensemble de n éléments. L'ordre compte.

Formule

$A_{n}^{p} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - p + 1) = \frac{n !}{( n - p )!}$

Cas particulier (permutations) : $A_{n}^{n} = n!$ (on appelle cela une permutation de n éléments)

Exemples

$A_{5}^{2} = 5 \times 4 = 20$ (choisir et ordonner 2 lettres parmi 5)
$A_{10}^{3} = 10 \times 9 \times 8 = 720$
$A_{6}^{6} = 6! = 720$ (permutations de 6 éléments)

III. Combinaisons

Définition

On appelle combinaison de p éléments parmi n toute sélection non ordonnée de p éléments distincts tirés d'un ensemble de n éléments. L'ordre ne compte pas.

Formule

$C_{n}^{p} = \frac{n !}{p ! \times ( n - p )!} = \frac{A _{n}^{p}}{p !}$

On lit « p parmi n » ou « combinaisons de n prises p à p ».

Propriétés fondamentales des combinaisons

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$
$C_{n}^{1} = C_{n}^{n - 1} = n$
Symétrie : $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$
Relation de Pascal : $C_{n + 1}^{p + 1} = C_{n}^{p} + C_{n}^{p + 1}$

Exemples

$C_{5}^{2} = \frac{5 !}{2 ! \times 3 !} = \frac{120}{12} = 10$
$C_{10}^{3} = \frac{10 !}{3 ! \times 7 !} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120$
$C_{52}^{5} = 2598960$ (nombre de mains au poker)

IV. Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal permet de retrouver rapidement les coefficients $C_{n}^{p}$ :

        1
      1 1
    1 2 1
  1 3 3 1
1 4 6 4 1

Règle de construction : chaque coefficient est la somme des deux coefficients au-dessus de lui (relation de Pascal).

Ligne $n = 0$ : 1 | $n = 1$ : 1 1 | $n = 2$ : 1 2 1 | $n = 3$ : 1 3 3 1 | $n = 4$ : 1 4 6 4 1

V. Binôme de Newton

Formule du binôme de Newton

Pour tous réels a et b, et pour tout entier naturel n :

$(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$

$= C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n} b^{n}$

Cas particuliers importants

$(1 + x)^{n}$ $= C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + \dots + C_{n}^{n} x^{n}$
$(a + b)^{2}$ $= a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a + b)^{3}$ $= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$(a - b)^{3}$ $= a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

Identités remarquables déduites (x = 1 et x = −1)

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$
$C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \dots + (- 1)^{n} C_{n}^{n} = 0$

VI. Principes fondamentaux du dénombrement

Principe multiplicatif

Si une action peut s'effectuer en k étapes successives indépendantes, avec $n_{1}$ choix pour l'étape 1, $n_{2}$ choix pour l'étape 2, …, $n_{k}$ choix pour l'étape k, alors le nombre total de façons d'effectuer l'action est :

$N = n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}$

Principe additif

Si une action peut s'effectuer de manière A ou de manière B (cas exclusifs), avec $n_{A}$ et $n_{B}$ façons respectivement, alors le nombre total est :

$N = n_{A} + n_{B}$

📈 Figure clé

Arbre de dénombrement

🔑 Formules clés à retenir

Factorielle : $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1$ ; $0! = 1$
Arrangements : $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$
Permutations : $P (n) = A_{n}^{n} = n!$
Combinaisons : $C_{n}^{p} = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$
Symétrie : $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$
Pascal : $C_{n + 1}^{p + 1} = C_{n}^{p} + C_{n}^{p + 1}$
Newton : $(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$
Somme des coefficients : $\sum C_{n}^{k} = 2^{n}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Arrangements vs Combinaisons : si l'ordre compte (podium, code PIN, rang), c'est un arrangement. Si l'ordre ne compte pas (comité, équipe, main de cartes), c'est une combinaison. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente !

❌

Oublier 0! = 1 : $C_{n}^{n} = \frac{n !}{n ! \times 0 !} = 1$ grâce à la convention 0! = 1. Sans cette convention, la formule ne fonctionnerait pas.

❌

Binôme de Newton — signe moins : dans $(a - b)^{n}$ , les signes alternent. Le terme général est $C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot (- b)^{k} = (- 1)^{k} \cdot C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$ .

🟢 Astuces de pros

✅

Utiliser la symétrie pour simplifier : $C_{100}^{97} = C_{100}^{3} = \frac{100 \times 99 \times 98}{3 \times 2 \times 1} = 161700$ . Toujours choisir le plus petit exposant !

✅

Pour trouver un coefficient spécifique dans $(a + b)^{n}$ : identifier k depuis la puissance de b dans le terme cherché, puis appliquer $C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$ . Pas besoin de tout développer.

💡

Relation de Pascal pour vérification rapide : $C_{5}^{2} = C_{4}^{1} + C_{4}^{2} = 4 + 6 = 10$ . Utile pour vérifier ses calculs sans refaire la division.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Dénombrement

Type 1 : Principe additif (réunion de cas disjoints)

Quand ? Un choix se fait selon plusieurs cas qui s'excluent (« soit… soit… », « ou bien »), sans étape intermédiaire commune.

Découper la situation en cas deux à deux disjoints $A_{1}, \dots, A_{k}$ .
Compter séparément chaque $card (A_{i})$ .
Additionner : $card (A_{1} \cup \dots \cup A_{k}) = card (A_{1}) + \dots + card (A_{k})$ .
Si les cas se chevauchent, corriger : $card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)$ .

Exemple éclair : Tirer une carte rouge ou un roi noir : $26 + 2 = 28$ cas (disjoints).

Type 2 : Principe multiplicatif (choix successifs)

Quand ? Une configuration se construit par étapes successives indépendantes (« puis », « ensuite »), chaque étape ayant un nombre de possibilités.

Décomposer en étapes ordonnées $E_{1}, \dots, E_{p}$ .
Compter le nombre de possibilités $n_{i}$ à chaque étape (attention à ce qui change après chaque choix).
Multiplier : nombre total $= n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{p}$ .
Vérifier l'absence de répétition ou de double comptage.

Exemple éclair : Un code à $3$ chiffres de ${0, \dots, 9}$ avec répétition : $10 \times 10 \times 10 = 1000$ .

Type 3 : Permutations (tout ranger dans un ordre)

Quand ? On ordonne TOUS les éléments d'un ensemble de $n$ objets distincts (anagrammes, files, classements complets).

Vérifier qu'on utilise les $n$ éléments, tous, et que l'ordre compte.
Nombre de permutations : $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$ .
Si des objets sont identiques (répétés $n_{1}, \dots$ fois), diviser : $\frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! \dots}$ .
Pour des contraintes (objets côte à côte), traiter le bloc comme un seul élément.

Exemple éclair : Anagrammes de « MATHS » ( $5$ lettres distinctes) : $5! = 120$ .

Type 4 : Arrangements (ordre + sans répétition, choix partiel)

Quand ? On choisit $p$ éléments parmi $n$ , l'ORDRE compte et SANS répétition (tirage successif sans remise, podium, places attribuées).

Vérifier : ordre important + pas de répétition + on ne prend que $p \leq n$ éléments.
Appliquer $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!} = n \times (n - 1) \times \dots \times (n - p + 1)$ .
Si répétition autorisée (tirage avec remise ordonné) : utiliser plutôt $n^{p}$ (Type 2).
Conclure le décompte.

Exemple éclair : Podium (or, argent, bronze) parmi $8$ athlètes : $A_{8}^{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ .

Type 5 : Combinaisons (choix sans ordre)

Quand ? On choisit $p$ éléments parmi $n$ sans tenir compte de l'ordre (tirage simultané, formation d'un comité, sous-ensemble).

Vérifier : ordre sans importance + sans répétition.
Appliquer $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ (avec $0 \leq p \leq n$ ).
Pour un comptage avec contraintes : combiner principes additif/multiplicatif sur des combinaisons partielles.
Vérifier l'ordre de grandeur du résultat.

Exemple éclair : Choisir $2$ délégués parmi $10$ : $(2 10) = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ .

Type 6 : Parties d'un ensemble et propriétés des $(p n)$

Quand ? On dénombre les sous-ensembles d'un ensemble, ou on doit prouver / utiliser une identité sur les coefficients binomiaux.

Nombre total de parties d'un ensemble à $n$ éléments : $2^{n}$ .
Symétrie : $(p n) = (n - p n)$ .
Relation de Pascal : $(p n) = (p - 1 n - 1) + (p n - 1)$ .
Identité globale : $p = 0 \sum n (p n) = 2^{n}$ (somme de toutes les parties).

Exemple éclair : Un ensemble à $4$ éléments a $2^{4} = 16$ parties, dont $(2 4) = 6$ de cardinal $2$ .

Type 7 : Formule du binôme de Newton

Quand ? On développe $(a + b)^{n}$ , on cherche un terme particulier ou un coefficient dans un développement.

Écrire $(a + b)^{n} = p = 0 \sum n (p n) a^{n - p} b^{p}$ .
Le terme général (rang $p$ ) est $(p n) a^{n - p} b^{p}$ .
Pour isoler un terme en une puissance donnée, résoudre l'équation sur l'exposant.
Cas utiles : $a = b = 1$ donne $\sum (p n) = 2^{n}$ .

Exemple éclair : $(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 \cdot 4 x + 8 = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ .

Type 8 : Choisir le bon modèle de dénombrement

Quand ? Avant tout calcul, pour ne pas confondre arrangement, combinaison, permutation ou puissance.

Question 1 — l'ordre compte-t-il ? Si NON $\Rightarrow$ combinaison $(p n)$ .
Question 2 — si l'ordre compte, y a-t-il répétition ? Avec remise $\Rightarrow n^{p}$ ; sans remise $\Rightarrow A_{n}^{p}$ .
Question 3 — prend-on TOUS les éléments sans répétition ? $\Rightarrow$ permutation $n!$ .
Découper en étapes (multiplicatif) ou en cas disjoints (additif) si nécessaire.

Exemple éclair : Tirage simultané $\Rightarrow (p n)$ ; tirage successif sans remise $\Rightarrow A_{n}^{p}$ ; avec remise $\Rightarrow n^{p}$ .

Dénombrement — Fiche d'exercices

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29 exercices

Binôme de Newton — développements simples

Facile

Énoncé

Développer $(x + 1)^{4}$ en utilisant la formule du binôme de Newton.
Développer $(a - b)^{3}$ .
Dans le développement de $(2 + x)^{6}$ , déterminer le terme indépendant de $x$ et le coefficient de $x^{4}$ .
Vérifier que la somme des coefficients de $(1 + x)^{4}$ vaut $2^{4} = 16$ .

Ma réponse

Dénombrement

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I. Factorielle d'un entier

Définition

Exemples

II. Arrangements

Définition

Formule

Exemples

III. Combinaisons

Définition

Formule

Propriétés fondamentales des combinaisons

Exemples

IV. Triangle de Pascal

V. Binôme de Newton

Formule du binôme de Newton

Cas particuliers importants

Identités remarquables déduites (x = 1 et x = −1)

VI. Principes fondamentaux du dénombrement

Principe multiplicatif

Principe additif

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Dénombrement

Type 1 : Principe additif (réunion de cas disjoints)

Type 2 : Principe multiplicatif (choix successifs)

Type 3 : Permutations (tout ranger dans un ordre)

Type 4 : Arrangements (ordre + sans répétition, choix partiel)

Type 5 : Combinaisons (choix sans ordre)

Type 6 : Parties d'un ensemble et propriétés des (pn​)

Type 7 : Formule du binôme de Newton

Type 8 : Choisir le bon modèle de dénombrement

Dénombrement — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Binôme de Newton — développements simples

Facteur d'une factorielle

Arrangements simples

Combinaisons simples

Calcul de la factorielle

Arrangement simple

Combinaison de fruits

Équipe de foot

Arrangements simples

Arrangements simples

Combinaisons simples

Combinaisons simples

Dénombrement d'arrangements

Calcul de combinaisons

Choix de fruits

Calcul de la factorielle

Arrangement de lettres

Combinaison de fruits

Dénombrement des équipes

Mots formés à partir d'un alphabet restreint

Comité et délégation — combinaisons fondamentales

Comités et délégations dans un lycée

Comité et délégation – Dénombrement combinatoire

Codes et plaques d'immatriculation — arrangements

Comité et arrangements dans un groupe d'élèves

Anagrammes et arrangements de lettres

Comité et délégation — Combinaisons simples

Comité et sélection d'élèves

Mots de code et arrangements

Exercices Intermédiaires

Permutations de mots

Choix de fruits

Dénombrement des arrangements

Combinaisons de livres

Élaboration d'une recette

Sélection d'élèves

Combinaisons avec contraintes

Problème de dénombrement

Type 6 : Parties d'un ensemble et propriétés des $(p n)$