Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

1. $f(x)=x^3-4x^2+7x-2$
2. $g(x)=(2x+1)(x^2-3)$
3. $h(x)=\frac{3x-1}{x+2}$
4. $k(x)=\sqrt{2x+5}$
5. $m(x)=e^{3x-1}$
6. $p(x)=\ln (x^2+1)$

Soit $f(x)=x^3-3x+1$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Déterminer l'équation de la tangente (T) à $C_f$ au point d'abscisse $x_0=1$.
3. Déterminer les points de $C_f$ où la tangente est horizontale.

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

1. $f(x)=(x^2+1)\cdot \sin (x)$
2. $g(x)=e^x\cdot \cos (x)$
3. $h(x)=\frac{\sin (x)}{x^2+1}$
4. $k(x)=\ln (x^2+x+1)$
5. $m(x)=\sqrt{x^2-3x+2}$
6. $p(x)=e^{\sin (x)}$

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

1. $f(x)=x^3-2x^2+5x-3$
2. $g(x)=\frac{2x+1}{x-3}$
3. $h(x)=\sqrt{3x^2+1}$
4. $k(x)={\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)$

Soit $f(x)=x^2\cdot e^x$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Donner l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse $x=0$.
3. Donner l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse $x=1$.

Soit $f(x)=\ln (x^2+1)$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$.
2. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$.
3. Déterminer les points d'inflexion de la courbe de $f$ (points où $f^{\prime \prime }$ change de signe).

1. Soit $f$ la fonction définie sur $[0;2\pi ]$ par $f(x)=\sin (x)+\cos (x)$. Montrer que $f^{\prime }$ s'annule au moins une fois sur $\left]0;2\pi \right[$.
2. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)$. Montrer que l'équation $g^{\prime }(x)=0$ admet au moins trois solutions dans $\mathbb{R}$.

Calculez la dérivée de la fonction h définie par $h(x)=e^x+2x$.

Soit la fonction $f(x)=\sin (x)+\cos (x)$. Calculez la dérivée $f^{\prime }(x)$.

Soit la fonction f définie par $f(x)=3x^2+2x-5$. Montrez que f est dérivable en $x=1$ et calculez $f^{\prime }(1)$.

Calculez la dérivée de la fonction f définie par $f(x)=e^x+2x$.

Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=\sin (x)$ au point d'abscisse $x=\frac{\pi }{4}$.

Soit la fonction g définie par $g(x)=x^3-3x+4$. Trouver l'équation de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse $x=2$.

Soit $f(x)=\sqrt{x+1}$. Montrez que $f$ est dérivable en $x=0$ et calculez $f^{\prime }(0)$.

Soit la fonction $f(x)=3x^2+5x-2$. Calculez $f^{\prime }(x)$.

Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $f(x)=x^2+2$ au point d'abscisse $a=1$.

Soit la fonction $g(x)=\sin (x)$. Calculez $g^{\prime }(\frac{\pi }{4})$.

Montrez que la fonction $h(x)=\frac{1}{x-2}$ est dérivable sur l'intervalle $]2,+\infty [$.

Soit la fonction $h$ définie par $h(x)=\sin (2x)$. Calculer $h^{\prime }(x)$ et $h^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$.

Soit la fonction f définie par $f(x)=3x^2+5x-2$. Calculez $f^{\prime }(x)$.

Soit la fonction g définie par $g(x)=1/x$. Calculez $g^{\prime }(x)$.

Soit la fonction h définie par $h(x)=x^3-3x+2$. Trouvez l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a=1$.

Considérons la fonction $f$ définie par $f(x)=|x|$. Est-ce que $f$ est dérivable en $x=0$ ? Justifiez votre réponse.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2+5x-2$. Calculez la dérivée $f^{\prime }(x)$.

Soit la fonction g définie par $g(x)=x^3-4x$. Trouvez l'équation de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse $a=2$.

Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

1. Déterminer les limites de f en $-\infty$, en $+\infty$, en $2^{-}$ et en $2^{+}$. En déduire les asymptotes de la courbe représentative $C_f$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de f.
3. Écrire l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x=0$.

Exercice 2 — Dérivabilité en un point

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x|x-1|+2$

1. Vérifier que $f$ est continue en $x=1$.
2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $x=1$ en calculant les limites du taux d'accroissement à gauche et à droite. Interpréter graphiquement le résultat.
3. On pose $g(x)=x^2-x+2$ pour $x\ge 1$. Calculer $g^{\prime }(x)$ et déterminer les points de la courbe de $g$ où la tangente est horizontale.

Exercice 2 — Étude d'une fonction rationnelle

On considère la fonction g définie par : $g(x)=\frac{2x^2+x-1}{x-1}$, de domaine de définition $D_g=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

1. Déterminer les limites de g en $+\infty$, $-\infty$, $1^{+}$ et $1^{-}$. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $C_g$.
2. Effectuer la division euclidienne de $2x^2+x-1$ par $x-1$, puis exprimer g(x) sous la forme $g(x)=ax+b+\frac{k}{x-1}$ où a, b, k sont des réels à déterminer.
3. En déduire l'asymptote oblique à $C_g$ et la position de $C_g$ par rapport à cette asymptote.
4. Calculer $g^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de g sur chacun des intervalles de $D_g$.

Exercice 1 — Dérivabilité et équation de tangente

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^3-3x^2+2$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$, la dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
3. Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a=1$.
4. Montrer que la tangente $(T)$ est parallèle à la droite d'équation $y=-3x+5$. Sont-elles confondues ?

Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

Partie A — Étude préliminaire

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de f.
2. Calculer les limites de f en $-\infty$, en $+\infty$, et en 2 (à gauche et à droite). En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $C_f$.
3. Effectuer la division euclidienne de $x^2-3x+4$ par $x-2$, puis en déduire une asymptote oblique à $C_f$.

Partie B — Dérivée et variations

4. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in D_f$.
5. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de f.
6. Écrire l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x=0$.

Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$. On mettra $f^{\prime }(x)$ sous la forme d'une fraction irréductible.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et en déduire les variations de f sur $]-\infty ;2[$ et sur $]2;+\infty [$.
3. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-1$ est une asymptote oblique à la courbe $C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
4. Écrire l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x=0$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x|x|+2x$

On rappelle que $|x|=x$ si $x\ge 0$ et $|x|=-x$ si $x<0$.

1. Exprimer $f(x)$ sans valeur absolue selon que $x\ge 0$ ou $x<0$.
2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ en calculant les limites du taux d'accroissement à gauche et à droite.
3. En déduire si $f$ admet une tangente en $x=0$. Si oui, donner son équation.
4. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $x>0$ et pour $x<0$, puis dresser le tableau de signe de $f^{\prime }$.

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de f.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$ en utilisant la règle de dérivation d'un quotient. Simplifier le résultat.
3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et en déduire les variations de f sur chacun des intervalles de $D_f$.
4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x=3$.
5. Montrer que la droite d'équation $y=x-1$ est asymptote oblique à $C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par :

$f(x)=\frac{x^2-3x+4}{x-2}$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$.
2. Dresser le tableau de variations de f.
3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x=0$.
4. Montrer que la droite d'équation $y=x-1$ est asymptote oblique à $C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Exercice 2 — Dérivabilité en un point

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^2+1$ si $x\le 1$, et $f(x)=ax+b$ si $x>1$,

où $a$ et $b$ sont deux réels.

1. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en $x=1$.
2. Avec les valeurs trouvées, étudier la dérivabilité de $f$ en $x=1$ à l'aide de la définition (taux d'accroissement).
3. La courbe $C_f$ admet-elle une tangente au point d'abscisse $x=1$ ? Si oui, donner son équation.
4. Calculer $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ et dresser le tableau de variations de $f$.

Exercice 1 — Étude d'une fonction polynomiale

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^3-3x^2+4$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$, la dérivée de f.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de f.
3. Déterminer les extremums locaux de f (préciser s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum local).
4. Écrire l'équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x=1$.

Exercice 2 — Fonction exponentielle et tangente

On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x)=(x^2+2x-1)\cdot e^x$

1. Calculer $g^{\prime }(x)$.
2. Résoudre $g^{\prime }(x)=0$ et dresser le tableau de variations de g.
3. Montrer que la tangente à la courbe $C_g$ au point d'abscisse $x=0$ passe par le point $A(1;0)$.

Exercice 1 — Étude d'une fonction polynomiale

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=x^3-3x^2+4$

1. Calculer $f^{\prime }(x)$, la dérivée de f.
2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de f.
3. Déterminer les extremums locaux de f (nature, abscisse, valeur).
4. Écrire l'équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $x=1$.