Dérivabilité et étude de fonctions — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Dérivabilité

Définition

f est dérivable en a si lim_x→a (f(x) - f(a))/(x - a) existe et est finie. Cette limite est f'(a).

Dérivées des fonctions usuelles

f(x)	f'(x)
xⁿ	nx^n-1
1/x	-1/x²
√x	1/(2√x)
e^x	e^x
ln(x)	1/x
sin(x)	cos(x)
cos(x)	-sin(x)
tan(x)	1 + tan²(x) = 1/cos²(x)

Règles de dérivation

(f + g)' = f' + g'
(k·f)' = k·f'
(f·g)' = f'g + fg'
(f/g)' = (f'g - fg')/g²
(f∘g)' = g' · (f'∘g) ou (f(g(x)))' = g'(x) · f'(g(x))

II. Tangente

L'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse a est :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

III. Théorème de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rolle

Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a) = f(b), alors ∃c ∈ ]a,b[ tel que f'(c) = 0.

Théorème des accroissements finis (TAF)

Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors ∃c ∈ ]a,b[ tel que :

f(b) - f(a) = f'(c) · (b - a)

IV. Méthode d'étude d'une fonction

Domaine de définition
Limites aux bornes
Dérivée et tableau de variation
Points particuliers (intersection avec les axes)
Asymptotes (horizontales, verticales, obliques)
Courbe représentative

🔑 Formules clés à retenir

(e^u)' = u'·e^u
(ln u)' = u'/u
(uⁿ)' = n·u'·u^n-1
(√u)' = u'/(2√u)
Tangente : y = f'(a)(x-a) + f(a)
TAF : f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Dérivée de ln(u) : oublier la condition u > 0 : (ln u)' = u'/u est définie seulement quand u > 0. Toujours vérifier que u ne s'annule pas et reste positif sur l'intervalle d'étude.

❌

TAF mal énoncé : le Théorème des Accroissements Finis dit qu'il existe un c ∈ ]a,b[ — on ne sait pas lequel. On ne peut pas choisir c = (a+b)/2 sauf si f est spéciale.

❌

Dérivée de (e^u)' = u'·e^u : bien appliquer la règle de la composée — multiplier par la dérivée de u. Ne pas oublier u' !

🟢 Astuces de pros

✅

Utiliser le TAF pour des inégalités : |f(b)−f(a)| ≤ M·|b−a| où M = max|f'| sur [a,b]. Très utile pour prouver qu'une suite est de Cauchy ou borner une erreur d'approximation.

✅

Plan d'étude complet en 2BAC : Domaine → Parité/période → Limites + asymptotes → f'(x) et variations → points d'inflexion (f'') → tracé. Ne pas sauter l'étude de la courbure !

💡

Convexité par f'' : f'' > 0 → convexe (courbe au-dessus de ses tangentes), f'' < 0 → concave (au-dessous). Le point d'inflexion est où f'' change de signe — important pour le tracé précis.

Dérivabilité et étude de fonctions — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 18 corrigés

🟢 Exercices Faciles

6 exercices

Calcul de dérivées

🟢 Facile

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

f(x) = x³ - 4x² + 7x - 2
g(x) = (2x + 1)(x² - 3)
h(x) = (3x - 1)/(x + 2)
k(x) = √(2x + 5)
m(x) = e^3x-1
p(x) = ln(x² + 1)

Ma réponse

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Correction détaillée

1.

f'(x) = 3x² - 8x + 7

2.

g'(x) = 2(x²-3) + (2x+1)(2x) = 2x²-6+4x²+2x = 6x² + 2x - 6

3.

h'(x) = (3(x+2) - (3x-1)·1)/(x+2)² = (3x+6-3x+1)/(x+2)² = 7/(x+2)²

4.

k'(x) = 2/(2√(2x+5)) = 1/√(2x+5)

5.

m'(x) = 3·e^3x-1 = 3e^3x-1

6.

p'(x) = 2x/(x²+1) = 2x/(x²+1)

Tangente à une courbe

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = x³ - 3x + 1.

Calculer f'(x).
Déterminer l'équation de la tangente (T) à C_f au point d'abscisse x₀ = 1.
Déterminer les points de C_f où la tangente est horizontale.

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Correction détaillée

1.

f'(x) = 3x² - 3

2.

f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 et f'(1) = 3 - 3 = 0

(T) : y = f'(1)(x-1) + f(1) = 0·(x-1) + (-1)

(T) : y = -1

3.

Tangente horizontale ⇔ f'(x) = 0 ⇔ 3x² - 3 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ±1

Points : (1, -1) et (-1, 3)

Règles de dérivation - Produit, quotient, composée

🟢 Facile

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

f(x) = (x² + 1)·sin(x)
g(x) = e^x·cos(x)
h(x) = sin(x)/(x² + 1)
k(x) = ln(x² + x + 1)
m(x) = √(x² - 3x + 2)
p(x) = e^sin(x)

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Correction détaillée

1. Règle du produit : (uv)' = u'v + uv'

f'(x) = 2x·sin(x) + (x²+1)·cos(x) = 2x·sin(x) + (x²+1)·cos(x)

2.

g'(x) = e^x·cos(x) + e^x·(-sin(x)) = e^x(cos(x) - sin(x))

3. Règle du quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v²

h'(x) = (cos(x)·(x²+1) - sin(x)·2x)/(x²+1)²

= ((x²+1)cos(x) - 2x·sin(x))/(x²+1)²

4. Règle de la chaîne : (ln u)' = u'/u

k'(x) = (2x+1)/(x²+x+1) = (2x+1)/(x²+x+1)

5. (√u)' = u'/(2√u)

m'(x) = (2x-3)/(2√(x²-3x+2)) = (2x-3)/(2√(x²-3x+2))

6. (e^u)' = u'·e^u

p'(x) = cos(x)·e^sin(x) = cos(x)·e^sin(x)

Calcul de dérivées — Règles de base

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

f(x) = x³ - 2x² + 5x - 3
g(x) = (2x+1)/(x-3)
h(x) = √(3x²+1)
k(x) = sin²(x) + cos²(x)

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Correction détaillée

1. f(x) = x³ - 2x² + 5x - 3

On dérive terme à terme en utilisant la règle (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ :

f'(x) = 3x² - 2·2x + 5 - 0

f'(x) = 3x² - 4x + 5

2. g(x) = (2x+1)/(x-3)

On utilise la règle de dérivation d'un quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v²

u = 2x+1 → u' = 2

v = x-3 → v' = 1

g'(x) = [2·(x-3) - (2x+1)·1] / (x-3)²

= [2x - 6 - 2x - 1] / (x-3)²

= -7 / (x-3)²

g'(x) = -7/(x-3)² (défini pour x ≠ 3)

3. h(x) = √(3x²+1)

On écrit h(x) = (3x²+1)^(1/2) et on utilise la règle de la composée : (f∘g)' = f'(g)·g'

Posons u = 3x²+1, alors h = √u = u^(1/2)

dh/du = 1/(2√u), du/dx = 6x

h'(x) = 1/(2√(3x²+1)) · 6x

h'(x) = 3x/√(3x²+1)

4. k(x) = sin²(x) + cos²(x)

On reconnaît l'identité trigonométrique fondamentale :

sin²(x) + cos²(x) = 1 pour tout x ∈ ℝ

Donc k(x) = 1, qui est une constante.

k'(x) = 0

Vérification directe : k'(x) = 2sin(x)cos(x) + 2cos(x)·(-sin(x)) = 2sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) = 0 ✓

Équations de tangentes à f(x) = x²eˣ

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = x²·e^x.

Calculer f'(x).
Donner l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x = 0.
Donner l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x = 1.

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Correction détaillée

1. Calcul de f'(x)

f(x) = x²·e^x est un produit de deux fonctions.

On utilise la règle (uv)' = u'v + uv' :

u = x² → u' = 2x

v = e^x → v' = e^x

f'(x) = 2x·e^x + x²·e^x

= e^x(2x + x²)

f'(x) = x(x+2)·e^x

2. Tangente en x = 0

Point de tangence : f(0) = 0²·e⁰ = 0·1 = 0. Point A(0, 0).

Pente : f'(0) = 0·(0+2)·e⁰ = 0·2·1 = 0

La tangente en x = 0 est horizontale.

Équation : y = f(0) + f'(0)·(x-0) = 0 + 0·x

Tangente en x = 0 : y = 0 (l'axe des abscisses est tangent à la courbe en O).

3. Tangente en x = 1

Point de tangence : f(1) = 1²·e¹ = e. Point B(1, e).

Pente : f'(1) = 1·(1+2)·e¹ = 1·3·e = 3e

Équation : y = f(1) + f'(1)·(x-1) = e + 3e·(x-1)

= e + 3ex - 3e

= 3ex - 2e

= e(3x - 2)

Tangente en x = 1 : y = e(3x - 2) = 3ex - 2e

Dérivées successives et points d'inflexion

🟢 Facile

Énoncé

Soit f(x) = ln(x²+1).

Calculer f'(x).
Calculer f''(x).
Déterminer les points d'inflexion de la courbe de f (points où f'' change de signe).

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Correction détaillée

1. Calcul de f'(x)

f(x) = ln(x²+1). On utilise la règle (ln u)' = u'/u :

u = x²+1 → u' = 2x

f'(x) = 2x/(x²+1)

f'(x) = 2x/(x²+1)

2. Calcul de f''(x)

On dérive f'(x) = 2x/(x²+1) en utilisant la règle du quotient :

u = 2x → u' = 2

v = x²+1 → v' = 2x

f''(x) = [2·(x²+1) - 2x·2x] / (x²+1)²

= [2x² + 2 - 4x²] / (x²+1)²

= (2 - 2x²) / (x²+1)²

= 2(1-x²) / (x²+1)²

f''(x) = 2(1-x²)/(x²+1)²

3. Points d'inflexion

Un point d'inflexion se trouve là où f'' change de signe.

Le dénominateur (x²+1)² est toujours strictement positif.

Le signe de f''(x) est donc celui de 2(1-x²) = 2(1-x)(1+x).

f''(x) > 0 ⟺ (1-x)(1+x) > 0 ⟺ -1 < x < 1
f''(x) = 0 ⟺ x = -1 ou x = 1
f''(x) < 0 ⟺ x < -1 ou x > 1

f'' change de signe en x = -1 et en x = 1.

Points d'inflexion :

En x = -1 : f(-1) = ln((-1)²+1) = ln(2). Point (-1, ln 2).
En x = 1 : f(1) = ln(1²+1) = ln(2). Point (1, ln 2).

La courbe est convexe (concave vers le bas) sur ]-∞, -1[ et ]1, +∞[, et concave (concave vers le haut) sur ]-1, 1[.

🟡 Exercices Intermédiaires

7 exercices

Étude complète d'une fonction

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = (x² - 1)·e^-x.

Déterminer le domaine de définition de f.
Calculer les limites de f en -∞ et en +∞.
Calculer f'(x) et étudier son signe.
Dresser le tableau de variation de f.
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.

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Correction détaillée

1.

D_f = ℝ (polynôme × exponentielle)

2.

lim_x→+∞ (x²-1)e^-x = 0 (croissances comparées : e^x >> x²)

lim_x→-∞ (x²-1)e^-x = +∞ · +∞ = +∞

3.

f'(x) = 2x·e^-x + (x²-1)·(-e^-x) = e^-x(2x - x² + 1) = e^-x(-x² + 2x + 1)

Signe de -x² + 2x + 1 : Δ = 4 + 4 = 8, x = (2±2√2)/2 = 1 ± √2

f'(x) > 0 ⇔ x ∈ ]1-√2, 1+√2[

4. Tableau de variation

f décroissante sur ]-∞, 1-√2], croissante sur [1-√2, 1+√2], décroissante sur [1+√2, +∞[

Min en x = 1-√2 : f(1-√2) = ((1-√2)²-1)·e^-(1-√2) = (2-2√2)·e^√2-1

Max en x = 1+√2 : f(1+√2) = (2+2√2)·e^-1-√2

5.

f(0) = -1, f'(0) = e⁰(0-0+1) = 1

y = x - 1

Tableau de variations complet et asymptotes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = (x² - 2x + 3)/(x - 1) définie sur ℝ{1}.

Calculer les limites de f en 1^-, 1⁺, +∞ et -∞.
Montrer que la droite y = x - 1 est asymptote oblique à la courbe de f.
Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations complet de f.
Déterminer les extrema locaux de f.

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Correction détaillée

1. Limites

lim_x→1⁻ f(x) : au voisinage de 1, x²-2x+3 → 2 > 0 et x-1 → 0⁻, donc f(x) → -∞

lim_x→1⁺ f(x) : x-1 → 0⁺, donc f(x) → +∞

La droite x = 1 est asymptote verticale.

En +∞ et -∞ : divisons. (x²-2x+3)/(x-1) = x - 1 + 2/(x-1) (division euclidienne)

Donc lim (f(x)-(x-1)) = lim 2/(x-1) = 0 : la droite y = x-1 est asymptote oblique en ±∞.

2. Division euclidienne

x²-2x+3 = (x-1)(x-1) + 2, donc f(x) = x - 1 + 2/(x-1). ✓

3. Position par rapport à l'asymptote

f(x) - (x-1) = 2/(x-1). Ce terme est positif si x > 1 et négatif si x < 1.

Courbe au-dessus de l'asymptote pour x > 1, en-dessous pour x < 1.

4. Dérivée

f'(x) = 1 - 2/(x-1)² = ((x-1)²-2)/(x-1)² = (x²-2x-1)/(x-1)²

f'(x) = 0 ⇔ x²-2x-1 = 0 ⇔ x = 1 ± √2

Sur ]-∞, 1-√2] : f' > 0 (croissante) ; sur [1-√2, 1[ : f' < 0 (décroissante)

Sur ]1, 1+√2] : f' < 0 (décroissante) ; sur [1+√2, +∞[ : f' > 0 (croissante)

5. Extrema

Maximum local en x = 1-√2 : f(1-√2) = (1-√2) - 1 + 2/(1-√2-1) = -√2 + 2/(-√2) = -√2 - √2 = -2√2

Minimum local en x = 1+√2 : f(1+√2) = √2 + 2/√2 = √2 + √2 = 2√2

Optimisation - Problème concret

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On veut fabriquer une boîte cylindrique sans couvercle, de volume fixé V = 500π cm³.

Soit r le rayon de la base (en cm) et h la hauteur (en cm).

Exprimer h en fonction de r en utilisant la contrainte de volume.
Exprimer la surface totale S(r) (base + surface latérale) en fonction de r seul.
Calculer S'(r) et déterminer la valeur de r qui minimise S(r) sur ]0, +∞[.
Calculer la hauteur et la surface minimale correspondantes.

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1. Contrainte de volume

V = πr²h = 500π ⇒ h = 500/r²

2. Surface totale

Aire base = πr², Aire latérale = 2πrh = 2πr·(500/r²) = 1000π/r

S(r) = πr² + 1000π/r pour r > 0

3. Minimisation

S'(r) = 2πr - 1000π/r²

S'(r) = 0 ⇔ 2πr = 1000π/r² ⇔ 2r³ = 1000 ⇔ r³ = 500 ⇔ r = ∛500 = 5∛4 ≈ 7.94 cm

S''(r) = 2π + 2000π/r³ > 0 : c'est bien un minimum.

4. Surface minimale

h = 500/r² = 500/(500^{2/3}) = 500^{1/3} = ∛500 = r

Remarquable : h = r à l'optimum (la hauteur égale le rayon).

S_min = πr² + 1000π/r = π·500^{2/3} + 1000π·500^{-1/3} = 3π·500^{2/3} ≈ 594π ≈ 1866 cm²

Étude complète de f(x) = x + 1/x sur ]0, +∞[

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = x + 1/x définie sur ]0, +∞[.

Calculer f'(x) et étudier son signe sur ]0, +∞[.
Dresser le tableau de variations complet de f.
Déterminer le minimum de f et sa valeur.
Étudier les asymptotes (en 0⁺ et en +∞).
Tracer la courbe de f.

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Correction détaillée

1. Dérivée et signe

f(x) = x + x^-1

f'(x) = 1 - 1/x² = 1 - x^-2

f'(x) = (x² - 1)/x²

Sur ]0, +∞[ : x² > 0, donc le signe de f'(x) est celui de x²-1 = (x-1)(x+1).

Sur ]0, +∞[ : x+1 > 0, donc le signe est celui de (x-1).

f'(x) < 0 ⟺ x < 1, soit sur ]0, 1[
f'(x) = 0 ⟺ x = 1
f'(x) > 0 ⟺ x > 1, soit sur ]1, +∞[

2. Tableau de variations

x	0		1		+∞
f'(x)		-	0	+
f(x)	+∞	↘	2	↗	+∞

3. Minimum

f atteint son minimum en x = 1 : f(1) = 1 + 1/1 = 2.

Le minimum de f sur ]0, +∞[ est 2, atteint en x = 1.

On en déduit l'inégalité classique : pour tout x > 0, x + 1/x ≥ 2.

4. Asymptotes

En 0⁺ : lim_x→0⁺ f(x) = lim(x + 1/x) = 0 + (+∞) = +∞

La droite x = 0 (axe des ordonnées) est asymptote verticale à gauche.

En +∞ : f(x) = x + 1/x

lim_x→+∞ [f(x) - x] = lim_x→+∞ 1/x = 0

La droite y = x est asymptote oblique en +∞.

5. Courbe

Points remarquables : (1, 2) est le minimum. La courbe est au-dessus de y = x.

La courbe est symétrique autour du point (1, 2)... Non, elle n'a pas de symétrie axiale classique.

Elle se rapproche de l'axe des ordonnées par la droite et de la droite y = x à l'infini, avec un creux en (1, 2).

Étude de f(x) = (x-1)²eˣ — Variations et extremums

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = (x-1)²·e^x définie sur ℝ.

Calculer f'(x) et le factoriser.
Étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variations.
Déterminer les extremums de f. S'agit-il d'un minimum ou d'un maximum ?
Calculer les limites de f en ±∞.

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Correction détaillée

1. Calcul de f'(x)

f(x) = (x-1)²·e^x — produit de u = (x-1)² et v = e^x

u' = 2(x-1), v' = e^x

f'(x) = 2(x-1)·e^x + (x-1)²·e^x

= e^x[2(x-1) + (x-1)²]

= e^x(x-1)[2 + (x-1)]

= e^x(x-1)(x+1)

f'(x) = (x-1)(x+1)·e^x

2. Signe de f'(x) et tableau de variations

e^x > 0 toujours, donc le signe de f'(x) est celui de (x-1)(x+1) = x²-1.

f'(x) > 0 ⟺ x² > 1 ⟺ x < -1 ou x > 1
f'(x) = 0 ⟺ x = -1 ou x = 1
f'(x) < 0 ⟺ -1 < x < 1

x	-∞		-1		1		+∞
f'(x)		+	0	-	0	+
f(x)	0	↗	4/e	↘	0	↗	+∞

Calcul : f(-1) = (-1-1)²·e^-1 = 4·(1/e) = 4/e. f(1) = (1-1)²·e¹ = 0.

3. Extremums

En x = -1 : f'(x) passe de + à -, donc c'est un maximum local.

Maximum local : f(-1) = 4/e ≈ 1.47

En x = 1 : f'(x) passe de - à +, donc c'est un minimum local.

Minimum local : f(1) = 0

(Ce minimum est aussi le minimum global puisque f(x) = (x-1)² e^x ≥ 0 pour tout x.)

4. Limites en ±∞

En +∞ : lim_x→+∞ (x-1)²·e^x = +∞ (produit de deux termes positifs qui tendent vers +∞)

En -∞ : lim_x→-∞ (x-1)²·e^x

(x-1)² → +∞ et e^x → 0⁺. Forme indéterminée.

On écrit : (x-1)²·e^x = (x-1)²/e^-x. Par croissances comparées, e^-x croît plus vite que tout polynôme.

lim_x→-∞ (x-1)²·e^x = 0

Cela est cohérent avec le tableau (f tend vers 0 en -∞).

Inégalités par la dérivée — eˣ ≥ 1+x et applications

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Montrer que e^x ≥ 1+x pour tout x ∈ ℝ, avec égalité en x = 0.
En déduire que e^x ≥ 1 + x + x²/2 pour tout x ≥ 0.
En déduire que lim_x→+∞ e^x/xⁿ = +∞ pour tout entier n ≥ 1.

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Correction détaillée

1. eˣ ≥ 1+x pour tout x ∈ ℝ

Posons g(x) = e^x - (1+x) = e^x - 1 - x.

g'(x) = e^x - 1

g'(x) < 0 ⟺ e^x < 1 ⟺ x < 0
g'(0) = 0
g'(x) > 0 ⟺ x > 0

g est décroissante sur ]-∞, 0] et croissante sur [0, +∞[.

g atteint son minimum en x = 0 : g(0) = e⁰ - 1 - 0 = 1 - 1 = 0.

Donc g(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ, soit e^x ≥ 1+x, avec égalité seulement en x = 0. ✓

2. eˣ ≥ 1 + x + x²/2 pour x ≥ 0

Posons h(x) = e^x - 1 - x - x²/2.

h'(x) = e^x - 1 - x

D'après la question 1 : e^x - 1 - x ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ.

Donc h'(x) ≥ 0 pour tout x.

Sur [0, +∞[, h est donc croissante, et h(0) = e⁰ - 1 - 0 - 0 = 0.

Donc pour x ≥ 0 : h(x) ≥ h(0) = 0.

e^x ≥ 1 + x + x²/2 pour tout x ≥ 0. ✓

3. lim_x→+∞ eˣ/xⁿ = +∞

Pour n ≥ 1, on part de l'inégalité : pour x ≥ 0,

e^x ≥ 1 + x + x²/2 + ... ≥ xⁿ⁺¹/(n+1)! (en appliquant la méthode n fois)

Raisonnement par récurrence :

On a montré e^x ≥ 1 + x + x²/2 pour x ≥ 0. En particulier e^x ≥ x²/2.

Donc pour x > 0 : e^x/x = e^x/2·e^x/2/x ≥ e^x/2·(x/2)²/x·...

Méthode directe : De e^x ≥ x²/2, on tire : e^x/x ≥ x/2 → +∞.

Plus généralement, en itérant : e^x ≥ xⁿ⁺¹/(n+1)! pour x ≥ 0.

Donc : e^x/xⁿ ≥ x/(n+1)! → +∞

lim_x→+∞ e^x/xⁿ = +∞ pour tout entier n ≥ 1.

L'exponentielle croît plus vite que tout polynôme.

Détermination de f(x) = ax²+bx+c par conditions

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = ax² + bx + c un polynôme du second degré.

On sait que : f(1) = 2, f'(1) = 3, f''(1) = 4.

Calculer f'(x) et f''(x) en fonction de a, b, c.
Écrire le système d'équations donné par les trois conditions.
Résoudre le système et donner l'expression de f(x).
Vérifier les trois conditions.

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Correction détaillée

1. Calcul de f'(x) et f''(x)

f(x) = ax² + bx + c

f'(x) = 2ax + b

f''(x) = 2a

2. Système d'équations

f(1) = 2 : a·1² + b·1 + c = 2 → (1) : a + b + c = 2

f'(1) = 3 : 2a·1 + b = 3 → (2) : 2a + b = 3

f''(1) = 4 : 2a = 4 → (3) : a = 2

3. Résolution

De (3) : a = 2

Substitution dans (2) : 2·2 + b = 3 → 4 + b = 3 → b = -1

Substitution dans (1) : 2 + (-1) + c = 2 → 1 + c = 2 → c = 1

f(x) = 2x² - x + 1

4. Vérification

f(1) = 2·1 - 1 + 1 = 2 ✓

f'(x) = 4x - 1 → f'(1) = 4 - 1 = 3 ✓

f''(x) = 4 → f''(1) = 4 ✓

Les trois conditions sont bien vérifiées.

🔴 Exercices Difficiles

5 exercices

Théorème de Rolle et accroissements finis (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = x·e^-x²/2.

Montrer que f est impaire et calculer ses limites en ±∞.
Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations complet.
Montrer que pour tout x ∈ ℝ : |x·e^-x²/2| ≤ e^-1/2.
En appliquant le théorème des accroissements finis à f sur [a, b], montrer que :

|f(b) - f(a)| ≤ |b - a| · max_[a,b]|f'(x)|

En déduire que pour tout a,b ∈ ℝ : |b·e^-b²/2 - a·e^-a²/2| ≤ |b-a|.

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Correction détaillée

1. Imparité et limites

f(-x) = (-x)·e^-x²/2 = -x·e^-x²/2 = -f(x) : f est impaire. ✓

lim_x→+∞ x·e^-x²/2 = 0 (croissances comparées : e^x²/2 >> x)

lim_x→-∞ x·e^-x²/2 = 0 (par imparité)

2. Dérivée et variations

f'(x) = e^-x²/2 + x·(-x)·e^-x²/2 = e^-x²/2(1 - x²)

f'(x) = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ±1

f'(x) > 0 sur ]-1, 1[ et f'(x) < 0 sur ]-∞,-1[ et ]1,+∞[

Maximum en x = 1 : f(1) = 1·e^-1/2 = e^-1/2

Minimum en x = -1 : f(-1) = -e^-1/2 (par imparité)

3. Inégalité

f atteint son maximum absolu en x = 1 (valeur e^-1/2) et son minimum en x = -1 (valeur -e^-1/2).

Donc pour tout x ∈ ℝ : -e^-1/2 ≤ x·e^-x²/2 ≤ e^-1/2

⇒ |x·e^-x²/2| ≤ e^-1/2. ✓

4. Théorème des accroissements finis

f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Par le TAF :

∃c ∈ ]a,b[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)·(b-a)

Donc |f(b)-f(a)| = |f'(c)|·|b-a| ≤ |b-a|·max_[a,b]|f'|. ✓

5. Application

|f'(x)| = |1-x²|·e^-x²/2 ≤ e^-x²/2 ≤ e⁰ = 1

Donc max|f'(x)| ≤ 1 sur tout intervalle, et par le TAF :

|b·e^-b²/2 - a·e^-a²/2| = |f(b)-f(a)| ≤ |b-a|. ✓

Étude de fonction avec paramètre (Bac national)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f_m(x) = x³ - 3mx + 2 où m est un paramètre réel.

Étudier les variations de f_m selon les valeurs de m.
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles f_m admet un maximum local et un minimum local.
Montrer que si m > 0, l'équation f_m(x) = 0 admet trois solutions distinctes si et seulement si m > 1.
Application : résoudre x³ - 6x + 2 = 0 (nombre de solutions).

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Correction détaillée

1. Variations

f'_m(x) = 3x² - 3m = 3(x² - m)

Si m ≤ 0 : f'(x) ≥ 0 pour tout x, f est croissante sur ℝ.

Si m > 0 : f'(x) = 0 ⇔ x = ±√m

f croissante sur ]-∞, -√m], décroissante sur [-√m, √m], croissante sur [√m, +∞[

2. Extrema locaux

f admet un max local et un min local ⇔ m > 0

Max local en x = -√m : f(-√m) = -m√m + 3m√m + 2 = 2m√m + 2

Min local en x = √m : f(√m) = m√m - 3m√m + 2 = -2m√m + 2

3. Trois solutions

f admet 3 solutions ⇔ max local > 0 et min local < 0

Max local = 2m√m + 2 > 0 toujours vrai (m > 0)

Min local = -2m√m + 2 < 0 ⇔ 2m√m > 2 ⇔ m√m > 1 ⇔ m^3/2 > 1 ⇔ m > 1

4. Application

x³ - 6x + 2 = 0 : ici 3m = 6, donc m = 2 > 1.

L'équation admet trois solutions distinctes.

Théorème des accroissements finis et inégalités logarithmiques

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = ln(1+x).

Appliquer le Théorème des Accroissements Finis (TAF) à f sur [0, x] pour x > 0.
En déduire l'inégalité : x/(1+x) ≤ ln(1+x) ≤ x pour tout x ≥ 0.
Quelle est la valeur du point c donné par le TAF dans le cas x = 1 ?
Appliquer le TAF à f sur [x, 0] pour -1 < x < 0.

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Correction détaillée

1. Application du TAF sur [0, x]

f(x) = ln(1+x) est continue sur [0, x] et dérivable sur ]0, x[ pour x > 0.

f'(t) = 1/(1+t)

Le TAF garantit l'existence d'un c ∈ ]0, x[ tel que :

f(x) - f(0) = f'(c)·(x - 0)

f(0) = ln(1) = 0

Donc : ln(1+x) = x · 1/(1+c) = x/(1+c) pour un certain c ∈ ]0, x[

2. Inégalités

Puisque c ∈ ]0, x[ (avec x > 0), on a 0 < c < x, donc :

0 < 1+0 < 1+c < 1+x

soit : 1 < 1+c < 1+x

En prenant les inverses (inégalités renversées, tout > 0) :

1/(1+x) < 1/(1+c) < 1

En multipliant par x > 0 :

x/(1+x) < x/(1+c) < x

Or on a montré ln(1+x) = x/(1+c), donc :

x/(1+x) < ln(1+x) < x pour tout x > 0

En x = 0 : ln(1) = 0 = 0/(1+0) = 0, l'inégalité est une égalité. Donc on peut écrire ≤ :

x/(1+x) ≤ ln(1+x) ≤ x pour tout x ≥ 0 ✓

3. Valeur de c pour x = 1

Pour x = 1 : ln(2) = 1/(1+c)

Donc 1+c = 1/ln(2), soit c = 1/ln(2) - 1 = (1-ln(2))/ln(2)

ln(2) ≈ 0.693, donc c ≈ (1-0.693)/0.693 ≈ 0.307/0.693 ≈ 0.443

Vérification : c ≈ 0.443 ∈ ]0, 1[ ✓

c = 1/ln(2) - 1 ≈ 0.443

4. TAF sur [x, 0] pour -1 < x < 0

f est continue sur [x, 0] et dérivable sur ]x, 0[ (car 1+t > 0 pour t > -1).

Il existe c ∈ ]x, 0[ tel que :

f(0) - f(x) = f'(c)·(0-x)

-ln(1+x) = -x/(1+c)

ln(1+x) = x/(1+c)

Puisque x < c < 0 : x+1 < c+1 < 1, donc 1/(1+x) > 1/(1+c) > 1.

En multipliant par x < 0 (inégalités renversées) : x/(1+x) < x/(1+c) < x.

Donc : x/(1+x) < ln(1+x) < x pour -1 < x < 0 également.

Étude paramétrique — f_a(x) = x² - a·ln(x)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f_a(x) = x² - a·ln(x) définie sur ]0, +∞[ où a est un paramètre réel.

Calculer f'_a(x).
Étudier les variations de f_a selon les valeurs de a (distinguer a > 0, a = 0, a < 0).
Dans le cas a > 0, déterminer le minimum de f_a et sa position.
Calculer les limites de f_a en 0⁺ et en +∞ selon les valeurs de a.

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Correction détaillée

1. Dérivée

f_a(x) = x² - a·ln(x)

f'_a(x) = 2x - a/x = (2x² - a)/x

Le dénominateur x > 0 sur ]0, +∞[, donc le signe de f'_a est celui de 2x²-a.

2. Variations selon a

Cas a = 0 : f₀(x) = x², f'₀(x) = 2x > 0 sur ]0, +∞[.

f₀ est strictement croissante sur ]0, +∞[.

Cas a < 0 : 2x²-a = 2x² + |a| > 0 toujours.

f'_a(x) > 0 sur ]0, +∞[ : f_a est strictement croissante.

Cas a > 0 : 2x²-a = 0 ⟺ x² = a/2 ⟺ x = √(a/2) (valeur positive)

f'_a(x) < 0 pour 0 < x < √(a/2)
f'_a(x) = 0 pour x = √(a/2)
f'_a(x) > 0 pour x > √(a/2)

f_a décroît puis croît : elle admet un minimum en x = √(a/2).

3. Minimum pour a > 0

x_min = √(a/2)

f_a(x_min) = (√(a/2))² - a·ln(√(a/2))

= a/2 - a·(1/2)·ln(a/2)

= a/2 - (a/2)·ln(a/2)

= (a/2)·[1 - ln(a/2)]

Minimum de f_a : (a/2)[1 - ln(a/2)], atteint en x = √(a/2).

4. Limites en 0⁺ et +∞

En 0⁺ :

lim x² = 0
lim -a·ln(x) = -a·(-∞) = +∞ si a > 0 ; = -∞ si a < 0 ; = 0 si a = 0.

Si a > 0 : lim_x→0⁺ f_a(x) = +∞

Si a < 0 : lim_x→0⁺ f_a(x) = -∞

Si a = 0 : lim_x→0⁺ f₀(x) = 0

En +∞ :

lim x² = +∞
lim a·ln(x) = ±∞ (selon le signe de a), mais x² croît plus vite

x² - a·ln(x) = x²(1 - a·ln(x)/x²) → +∞ (car ln(x)/x² → 0)

lim_x→+∞ f_a(x) = +∞ pour tout a ∈ ℝ.

Problème complet BAC — f(x) = xe^(1-x)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f(x) = x·e^1-x définie sur ℝ.

Calculer les limites de f en +∞ et en -∞.
Calculer f'(x) et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations complet et déterminer le maximum de f.
Étudier les asymptotes de la courbe de f.
Calculer l'aire sous la courbe entre x = 0 et x = 2 (en u.a.).

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Correction détaillée

1. Limites en ±∞

En +∞ : f(x) = x·e^1-x = x·e/e^x = ex/e^x

Par croissances comparées : lim_x→+∞ x/e^x = 0

lim_x→+∞ f(x) = 0

La droite y = 0 est asymptote horizontale en +∞.

En -∞ : x → -∞ et e^1-x = e·e^-x → +∞

f(x) = x·e^1-x : x < 0 et e^1-x > 0, donc f(x) < 0 et |f(x)| → +∞

lim_x→-∞ f(x) = -∞

2. Dérivée et signe

f(x) = x·e^1-x — produit de u = x et v = e^1-x

u' = 1, v' = -e^1-x (car (1-x)' = -1)

f'(x) = 1·e^1-x + x·(-e^1-x)

= e^1-x(1 - x)

f'(x) = (1-x)·e^1-x

e^1-x > 0 toujours, donc le signe de f'(x) est celui de (1-x) :

f'(x) > 0 ⟺ x < 1
f'(x) = 0 ⟺ x = 1
f'(x) < 0 ⟺ x > 1

3. Tableau de variations et maximum

x	-∞		1		+∞
f'(x)		+	0	-
f(x)	-∞	↗	1	↘	0

f(1) = 1·e^1-1 = 1·e⁰ = 1

f admet un maximum global en x = 1, valant f(1) = 1.

4. Asymptotes

En +∞ : lim f(x) = 0, donc y = 0 est asymptote horizontale en +∞.

En -∞ : lim f(x) = -∞. Cherchons une asymptote oblique :

lim_x→-∞ f(x)/x = lim e^1-x = +∞ (car 1-x → +∞)

Donc pas d'asymptote oblique en -∞. La courbe plonge vers -∞.

Pas d'asymptote verticale car f est définie et continue sur ℝ.

5. Aire sous la courbe entre 0 et 2

A = ∫₀² f(x) dx = ∫₀² x·e^1-x dx

On utilise une intégration par parties : ∫ u·v' dx = [u·v] - ∫ u'·v dx

Posons u = x (u' = 1) et v' = e^1-x (v = -e^1-x)

∫ x·e^1-x dx = x·(-e^1-x) - ∫ 1·(-e^1-x) dx

= -x·e^1-x + ∫ e^1-x dx

= -x·e^1-x + (-e^1-x) + C

= -e^1-x(x+1) + C

Donc : A = [-e^1-x(x+1)]₀²

= (-e^1-2·3) - (-e^1-0·1)

= -3e^-1 + e

= e - 3/e

e ≈ 2.718, 3/e ≈ 1.104, donc A ≈ 1.614

A = e - 3/e = (e² - 3)/e ≈ 1.614 unités d'aire

Dérivabilité et étude de fonctions

Dérivabilité et étude de fonctions — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Dérivabilité

Définition

Dérivées des fonctions usuelles

Règles de dérivation

II. Tangente

III. Théorème de Rolle et des accroissements finis

Théorème de Rolle

Théorème des accroissements finis (TAF)

IV. Méthode d'étude d'une fonction

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Dérivabilité et étude de fonctions — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calcul de dérivées

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Tangente à une courbe

1.

2.

3.

Règles de dérivation - Produit, quotient, composée

1. Règle du produit : (uv)' = u'v + uv'

2.

3. Règle du quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v²

4. Règle de la chaîne : (ln u)' = u'/u

5. (√u)' = u'/(2√u)

6. (eu)' = u'·eu

Calcul de dérivées — Règles de base

1. f(x) = x³ - 2x² + 5x - 3

2. g(x) = (2x+1)/(x-3)

3. h(x) = √(3x²+1)

4. k(x) = sin²(x) + cos²(x)

Équations de tangentes à f(x) = x²eˣ

1. Calcul de f'(x)

2. Tangente en x = 0

3. Tangente en x = 1

Dérivées successives et points d'inflexion

1. Calcul de f'(x)

2. Calcul de f''(x)

3. Points d'inflexion

🟡 Exercices Intermédiaires

Étude complète d'une fonction

1.

2.

3.

4. Tableau de variation

5.

Tableau de variations complet et asymptotes

1. Limites

2. Division euclidienne

3. Position par rapport à l'asymptote

4. Dérivée

5. Extrema

Optimisation - Problème concret

1. Contrainte de volume

2. Surface totale

3. Minimisation

4. Surface minimale

Étude complète de f(x) = x + 1/x sur ]0, +∞[

1. Dérivée et signe

2. Tableau de variations

3. Minimum

4. Asymptotes

5. Courbe

Étude de f(x) = (x-1)²eˣ — Variations et extremums

1. Calcul de f'(x)

2. Signe de f'(x) et tableau de variations

3. Extremums

4. Limites en ±∞

6. (e^u)' = u'·e^u

3. lim_x→+∞ eˣ/xⁿ = +∞