Équations différentielles

المعادلات التفاضلية

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Équations différentielles — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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📚 Contenu du cours

⚠️ Hors programme officiel — Enrichissement : Ce chapitre n'est pas exigible au baccalauréat marocain standard. Il est proposé comme approfondissement pour les élèves souhaitant aller plus loin.

I. Vocabulaire

Définition

Une équation différentielle (ED) est une équation dont l'inconnue est une fonction y et qui fait intervenir y et ses dérivées successives y', y'', ...

  • Ordre : plus grand ordre de dérivation présent.
  • Linéaire : y et ses dérivées apparaissent au premier degré (pas de produits y·y', pas de sin(y), etc.).
  • Solution : toute fonction y : I → ℝ qui vérifie l'équation sur I.
  • Solution générale : forme paramétrée regroupant toutes les solutions.
  • Solution particulière : une solution donnée, choisie pour vérifier des conditions initiales (CI).

II. Équation y' = ay (homogène, ordre 1, coeff. constant)

Résolution

Soit a ∈ ℝ. Les solutions sur ℝ de l'équation :

y' = a·y

sont les fonctions de la forme :

y(x) = C·eax,   C ∈ ℝ

Condition initiale

Si on impose y(x0) = y0, la solution est unique : C = y0·e−ax0.

Exemple

y' = 3y avec y(0) = 2 : y(x) = 2·e3x.

III. Équation y' + ay = b (avec second membre constant)

Résolution

Pour a ∈ ℝ*, b ∈ ℝ, les solutions de :

y' + ay = b

sont de la forme yg = yh + yp où :

  • yh(x) = C·e−ax (solution de l'équation homogène y' + ay = 0)
  • yp(x) = b/a (solution particulière constante)

Donc : y(x) = C·e−ax + b/a

Principe de superposition

Pour une équation linéaire non homogène :

Solution générale = Solution de l'équation homogène + Une solution particulière

IV. Équation y'' + ω²y = 0 (oscillateur harmonique)

Résolution

Pour ω > 0, les solutions de :

y'' + ω²y = 0

sont les fonctions :

y(x) = A·cos(ωx) + B·sin(ωx),   A, B ∈ ℝ

Ou, sous forme équivalente : y(x) = R·cos(ωx − φ) avec R = √(A² + B²) et tan(φ) = B/A.

Conditions initiales

Deux conditions sont nécessaires pour déterminer la solution unique : par exemple y(0) et y'(0).

  • y(0) = A
  • y'(0) = Bω, donc B = y'(0)/ω

Exemple — pendule

y'' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0 : A = 1, B = 0 ⇒ y(x) = cos(2x).

V. Équation y'' − ω²y = 0

Résolution

Pour ω > 0, les solutions de :

y'' − ω²y = 0

sont :

y(x) = A·eωx + B·e−ωx,   A, B ∈ ℝ

Équivalent : y(x) = α·ch(ωx) + β·sh(ωx) (si on introduit ch et sh).

VI. Équation y'' + ay' + by = 0 (ordre 2, coefficients constants)

Méthode — équation caractéristique

Pour résoudre y'' + ay' + by = 0, on associe l'équation caractéristique :

r² + ar + b = 0

Soit Δ = a² − 4b le discriminant.

  • Δ > 0 : deux racines réelles r1, r2 ⇒ y = A·er1x + B·er2x
  • Δ = 0 : racine double r0 ⇒ y = (A + Bx)·er0x
  • Δ < 0 : racines complexes r = α ± iβ ⇒ y = eαx·(A·cos(βx) + B·sin(βx))

Exemple

y'' − 3y' + 2y = 0 : r² − 3r + 2 = 0, racines r1 = 1, r2 = 2 ⇒ y = A·ex + B·e2x.

VII. Applications physiques

Désintégration radioactive

Soit N(t) le nombre de noyaux radioactifs à l'instant t. On a N'(t) = −λ·N(t), d'où :

N(t) = N0·e−λt

La demi-vie T vérifie N(T) = N0/2 ⇒ T = ln(2)/λ.

Refroidissement (loi de Newton)

Soit T(t) la température d'un corps placé dans un milieu de température Ta. On a T'(t) = −k(T − Ta), d'où :

T(t) = Ta + (T0 − Ta)·e−kt

Oscillations libres d'un pendule

Pour un oscillateur harmonique sans amortissement : x'' + ω²x = 0, où ω = √(k/m). Solution : x(t) = x0·cos(ωt) + (v0/ω)·sin(ωt). Période T = 2π/ω.

VIII. Méthode de résolution générale

Étapes recommandées

  1. Identifier le type d'équation (ordre, linéaire, homogène, à coefficients constants).
  2. Résoudre l'équation homogène associée (sans second membre).
  3. Chercher une solution particulière (par analogie avec le second membre : constante si b constant, polynôme si b polynôme, exponentielle si b = eαx).
  4. Solution générale = solution homogène + solution particulière.
  5. Utiliser les conditions initiales pour déterminer les constantes.

🔑 Formules clés à retenir

  • y' = ay : y(x) = C·eax
  • y' + ay = b : y(x) = C·e−ax + b/a
  • y'' + ω²y = 0 : y = A·cos(ωx) + B·sin(ωx)
  • y'' − ω²y = 0 : y = A·eωx + B·e−ωx
  • y'' + ay' + by = 0 : équation caractéristique r² + ar + b = 0 · 3 cas selon Δ
  • Principe de superposition : ygén = yhom + ypart
  • Désintégration : N(t) = N₀·e−λt · demi-vie T = ln(2)/λ
  • Newton : T(t) = Ta + (T₀ − Ta)·e−kt
  • Oscillateur : période 2π/ω
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Équation caractéristique : trois cas selon Δ : Δ > 0 → deux racines réelles (exponentielles), Δ = 0 → racine double (tert), Δ < 0 → racines complexes conjuguées (sin/cos). Ne pas confondre les cas !

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Solution particulière par analogie : si le second membre est eαx et que α est racine simple de l'éq. caractéristique, la solution particulière est x·eαx (pas juste eαx !). Si c'est une racine double : x²·eαx.

❌

Oublier les constantes d'intégration : pour une équation d'ordre 2, la solution générale doit contenir deux constantes A et B. Les conditions initiales (y(0) et y'(0)) permettent de les déterminer.

🟢 Astuces de pros

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Méthode en 5 étapes : 1) Identifier le type, 2) Résoudre l'homogène (éq. caractéristique), 3) Trouver une solution particulière (par analogie), 4) Solution générale = hom + part, 5) Appliquer les CI pour fixer les constantes.

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Vérifier la solution : substitue y(x) dans l'équation différentielle. Si l'égalité est vérifiée, la solution est correcte. Cette vérification prend 2 minutes et évite les erreurs de copie.

💡

Modèles physiques : désintégration (y' = −λy), refroidissement Newton (y' = −k(y−T_a)), oscillateur harmonique (y'' + ω²y = 0). Reconnaître le modèle détermine directement la forme de la solution.