Équations différentielles — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

⚠️ Hors programme officiel — Enrichissement : Ce chapitre n'est pas exigible au baccalauréat marocain standard. Il est proposé comme approfondissement pour les élèves souhaitant aller plus loin.

I. Vocabulaire

Définition

Une équation différentielle (ED) est une équation dont l'inconnue est une fonction y et qui fait intervenir y et ses dérivées successives y', y'', ...

Ordre : plus grand ordre de dérivation présent.
Linéaire : y et ses dérivées apparaissent au premier degré (pas de produits $y \cdot y^{'}$ , pas de $sin (y)$ , etc.).
Solution : toute fonction $y : I \to R$ qui vérifie l'équation sur I.
Solution générale : forme paramétrée regroupant toutes les solutions.
Solution particulière : une solution donnée, choisie pour vérifier des conditions initiales (CI).

II. Équation $y^{'} = a y$ (homogène, ordre 1, coeff. constant)

Résolution

Soit $a \in R$ . Les solutions sur $R$ de l'équation :

$y^{'} = a \cdot y$

sont les fonctions de la forme :

$y (x) = C \cdot e^{a x}$ , $C \in R$

Condition initiale

Si on impose $y (x_{0}) = y_{0}$ , la solution est unique : $C = y_{0} \cdot e^{- a x_{0}}$ .

Exemple

$y^{'} = 3 y$ avec $y (0) = 2$ : $y (x) = 2 \cdot e^{3 x}$ .

III. Équation $y^{'} + a y = b$ (avec second membre constant)

Résolution

Pour $a \in R^{*}$ , $b \in R$ , les solutions de :

$y^{'} + a y = b$

sont de la forme $y_{g} = y_{h} + y_{p}$ où :

$y_{h} (x) = C \cdot e^{- a x}$ (solution de l'équation homogène $y^{'} + a y = 0$ )
$y_{p} (x) = \frac{b}{a}$ (solution particulière constante)

Donc : $y (x) = C \cdot e^{- a x} + \frac{b}{a}$

Principe de superposition

Pour une équation linéaire non homogène :

Solution générale = Solution de l'équation homogène + Une solution particulière

IV. Équation $y^{''} + ω^{2} y = 0$ (oscillateur harmonique)

Résolution

Pour $ω > 0$ , les solutions de :

$y^{''} + ω^{2} y = 0$

sont les fonctions :

$y (x) = A \cdot cos (ω x) + B \cdot sin (ω x)$ , $A, B \in R$

Ou, sous forme équivalente : $y (x) = R \cdot cos (ω x - φ)$ avec $R = A^{2} + B^{2}$ et $tan (φ) = \frac{B}{A}$ .

Conditions initiales

Deux conditions sont nécessaires pour déterminer la solution unique : par exemple $y (0)$ et $y^{'} (0)$ .

$y (0) = A$
$y^{'} (0) = B ω$ , donc $B = \frac{y ^{'} ( 0 )}{ω}$

Exemple — pendule

$y^{''} + 4 y = 0$ , $y (0) = 1$ , $y^{'} (0) = 0$ : $A = 1$ , $B = 0$ ⇒ $y (x) = cos (2 x)$ .

V. Équation $y^{''} - ω^{2} y = 0$

Résolution

Pour $ω > 0$ , les solutions de :

$y^{''} - ω^{2} y = 0$

sont :

$y (x) = A \cdot e^{ω x} + B \cdot e^{- ω x}$ , $A, B \in R$

Équivalent : $y (x) = α \cdot ch (ω x) + β \cdot sh (ω x)$ (si on introduit ch et sh).

VI. Équation $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ (ordre 2, coefficients constants)

Méthode — équation caractéristique

Pour résoudre $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ , on associe l'équation caractéristique :

$r^{2} + a r + b = 0$

Soit $Δ = a^{2} - 4 b$ le discriminant.

$Δ > 0$ : deux racines réelles $r_{1}$ , $r_{2}$ ⇒ $y = A \cdot e^{r_{1} x} + B \cdot e^{r_{2} x}$
$Δ = 0$ : racine double $r_{0}$ ⇒ $y = (A + B x) \cdot e^{r_{0} x}$
$Δ < 0$ : racines complexes $r = α \pm i β$ ⇒ $y = e^{α x} \cdot (A \cdot cos (β x) + B \cdot sin (β x))$

Exemple

$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ : $r^{2} - 3 r + 2 = 0$ , racines $r_{1} = 1$ , $r_{2} = 2$ ⇒ $y = A \cdot e^{x} + B \cdot e^{2 x}$ .

VII. Applications physiques

Désintégration radioactive

Soit $N (t)$ le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t$ . On a $N^{'} (t) = - λ \cdot N (t)$ , d'où :

$N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ t}$

La demi-vie $T$ vérifie $N (T) = \frac{N _{0}}{2}$ ⇒ $T = \frac{l n ( 2 )}{λ}$ .

Refroidissement (loi de Newton)

Soit $T (t)$ la température d'un corps placé dans un milieu de température $T_{a}$ . On a $T^{'} (t) = - k (T - T_{a})$ , d'où :

$T (t) = T_{a} + (T_{0} - T_{a}) \cdot e^{- k t}$

Oscillations libres d'un pendule

Pour un oscillateur harmonique sans amortissement : $x^{''} + ω^{2} x = 0$ , où $ω = \frac{k}{m}$ . Solution : $x (t) = x_{0} \cdot cos (ω t) + \frac{v _{0}}{ω} \cdot sin (ω t)$ . Période $T = \frac{2 π}{ω}$ .

VIII. Méthode de résolution générale

Étapes recommandées

Identifier le type d'équation (ordre, linéaire, homogène, à coefficients constants).
Résoudre l'équation homogène associée (sans second membre).
Chercher une solution particulière (par analogie avec le second membre : constante si b constant, polynôme si b polynôme, exponentielle si $b = e^{α x}$ ).
Solution générale = solution homogène + solution particulière.
Utiliser les conditions initiales pour déterminer les constantes.

🔑 Formules clés à retenir

y' = ay : y(x) = C· $e^{a x}$
y' + ay = b : y(x) = C· $e^{- a x}$ + b/a
y'' + ω²y = 0 : y = A· $cos (ω x)$ + B· $sin (ω x)$
y'' − ω²y = 0 : y = A· $e^{ω x}$ + B· $e^{- ω x}$
y'' + ay' + by = 0 : équation caractéristique $r^{2} + a r + b = 0$ · 3 cas selon Δ
Principe de superposition : $y_{g \overset{e}{ˊ} n} = y_{hom} + y_{part}$
Désintégration : $N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ t}$ · demi-vie $T = \frac{l n ( 2 )}{λ}$
Newton : $T (t) = T_{a} + (T_{0} - T_{a}) \cdot e^{- k t}$
Oscillateur : période $\frac{2 π}{ω}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Équation caractéristique : trois cas selon Δ : Δ > 0 → deux racines réelles (exponentielles), Δ = 0 → racine double ( $t e^{r t}$ ), Δ < 0 → racines complexes conjuguées (sin/cos). Ne pas confondre les cas !

❌

Solution particulière par analogie : si le second membre est $e^{α x}$ et que α est racine simple de l'éq. caractéristique, la solution particulière est $x \cdot e^{α x}$ (pas juste $e^{α x}$ !). Si c'est une racine double : $x^{2} \cdot e^{α x}$ .

❌

Oublier les constantes d'intégration : pour une équation d'ordre 2, la solution générale doit contenir deux constantes A et B. Les conditions initiales ( $y (0)$ et $y^{'} (0)$ ) permettent de les déterminer.

🟢 Astuces de pros

✅

Méthode en 5 étapes : 1) Identifier le type, 2) Résoudre l'homogène (éq. caractéristique), 3) Trouver une solution particulière (par analogie), 4) Solution générale = hom + part, 5) Appliquer les CI pour fixer les constantes.

✅

Vérifier la solution : substitue $y (x)$ dans l'équation différentielle. Si l'égalité est vérifiée, la solution est correcte. Cette vérification prend 2 minutes et évite les erreurs de copie.

💡

Modèles physiques : désintégration ( $y^{'} = - λ y$ ), refroidissement Newton ( $y^{'} = - k (y - T_{a})$ ), oscillateur harmonique ( $y^{''} + ω^{2} y = 0$ ). Reconnaître le modèle détermine directement la forme de la solution.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Équations différentielles

Type 1 : Résoudre $y^{'} = a y$ (équation linéaire homogène d'ordre 1)

Quand ? L'équation est de la forme $y^{'} = a y$ (ou $y^{'} - a y = 0$ ) avec $a$ constante réelle.

Identifier le coefficient $a$ .
Écrire directement la solution générale : $y (x) = K e^{a x}$ , avec $K \in R$ constante quelconque.
Préciser que les solutions sont définies sur $R$ .

Exemple éclair : $y^{'} = 3 y \Rightarrow y (x) = K e^{3 x}$ , $K \in R$ .

Type 2 : Résoudre $y^{'} = a y + b$ (linéaire d'ordre 1 avec second membre constant)

Quand ? L'équation est $y^{'} = a y + b$ avec $a \neq = 0$ et $b$ constantes.

Chercher une solution particulière constante $y_{p}$ : poser $y_{p}^{'} = 0$ , d'où $0 = a y_{p} + b$ et $y_{p} = - \frac{b}{a}$ .
Résoudre l'équation homogène associée $y^{'} = a y$ : solutions $K e^{a x}$ .
Solution générale = homogène + particulière : $y (x) = K e^{a x} - \frac{b}{a}$ , $K \in R$ .

Exemple éclair : $y^{'} = 2 y + 4 \Rightarrow y_{p} = - 2$ et $y (x) = K e^{2 x} - 2$ .

Type 3 : Résoudre $y^{''} + ω^{2} y = 0$ (oscillateur, racines complexes)

Quand ? Équation du second ordre de la forme $y^{''} + ω^{2} y = 0$ avec $ω > 0$ .

Écrire l'équation caractéristique $r^{2} + ω^{2} = 0$ .
Résoudre : $r^{2} = - ω^{2}$ , racines complexes $r = \pm i ω$ .
Donner la solution générale : $y (x) = A cos (ω x) + B sin (ω x)$ , avec $A, B \in R$ .

Exemple éclair : $y^{''} + 9 y = 0 \Rightarrow ω = 3$ et $y (x) = A cos (3 x) + B sin (3 x)$ .

Type 4 : Résoudre $y^{''} = a y^{'} + b y$ via l'équation caractéristique (racines réelles)

Quand ? Équation $y^{''} - a y^{'} - b y = 0$ dont l'équation caractéristique a un discriminant $Δ > 0$ .

Écrire l'équation caractéristique $r^{2} - a r - b = 0$ .
Calculer $Δ = a^{2} + 4 b$ ; si $Δ > 0$ , deux racines réelles distinctes $r_{1}, r_{2}$ .
Solution générale : $y (x) = A e^{r_{1} x} + B e^{r_{2} x}$ , $A, B \in R$ .

Exemple éclair : $y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0 \Rightarrow r^{2} - 5 r + 6 = 0$ , $r_{1} = 2, r_{2} = 3$ , $y (x) = A e^{2 x} + B e^{3 x}$ .

Type 5 : Résoudre le second ordre dans le cas $Δ = 0$ (racine double)

Quand ? L'équation caractéristique $r^{2} + p r + q = 0$ a un discriminant nul.

Écrire l'équation caractéristique et calculer $Δ = p^{2} - 4 q$ .
Si $Δ = 0$ , racine double $r_{0} = - \frac{p}{2}$ .
Solution générale : $y (x) = (A x + B) e^{r_{0} x}$ , $A, B \in R$ .

Exemple éclair : $y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0 \Rightarrow r = 2$ (double), $y (x) = (A x + B) e^{2 x}$ .

Type 6 : Second ordre, cas des racines complexes $Δ < 0$

Quand ? L'équation caractéristique a un discriminant strictement négatif (racines complexes conjuguées).

Écrire l'équation caractéristique et calculer $Δ < 0$ .
Déterminer les racines $r = α \pm i β$ avec $α = - \frac{p}{2}$ et $β = \frac{- Δ}{2}$ .
Solution générale : $y (x) = e^{α x} (A cos (β x) + B sin (β x))$ , $A, B \in R$ .

Exemple éclair : $y^{''} - 2 y^{'} + 5 y = 0 \Rightarrow r = 1 \pm 2 i$ , $y (x) = e^{x} (A cos (2 x) + B sin (2 x))$ .

Type 7 : Déterminer la solution vérifiant des conditions initiales

Quand ? On donne $y (x_{0})$ (et $y^{'} (x_{0})$ pour l'ordre 2) et on cherche LA solution unique.

Écrire la solution générale (avec $K$ , ou $A$ et $B$ ).
Au besoin, calculer $y^{'} (x)$ par dérivation de l'expression générale.
Remplacer $x$ par $x_{0}$ dans $y$ (et $y^{'}$ ) et poser le système d'équations donné par les conditions.
Résoudre le système pour trouver les constantes, puis écrire la solution unique.

Exemple éclair : $y^{'} = 2 y$ , $y (0) = 5 \Rightarrow y = K e^{2 x}$ et $K = 5$ , donc $y (x) = 5 e^{2 x}$ .

Type 8 : Problème ramené à une équation différentielle (changement de fonction)

Quand ? L'énoncé pose $z = y e^{- a x}$ , ou $z = \frac{1}{y}$ , etc., pour transformer une équation en une équation connue.

Poser le changement de fonction proposé et exprimer $z^{'}$ (voire $z^{''}$ ) en fonction de $y, y^{'}$ .
Substituer dans l'équation de départ pour obtenir une équation simple en $z$ ( $z^{'} = a z$ , $z^{'} = a z + b$ …).
Résoudre l'équation en $z$ par les types précédents.
Revenir à $y$ en inversant le changement de fonction.
Appliquer les conditions initiales s'il y en a.

Exemple éclair : $y^{'} = y + e^{x}$ , poser $z = y e^{- x}$ : alors $z^{'} = 1$ , donc $z = x + C$ et $y = (x + C) e^{x}$ .

Équations différentielles — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

67 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 67 corrigés

Exercices Faciles

19 exercices

Équation y' = ay

Facile

Énoncé

Résoudre sur $R$ les équations différentielles suivantes :

y' = 2y
y' + 3y = 0
2y' − 5y = 0
y' = −y, avec y(0) = 4

Ma réponse

Équations différentielles

Équations différentielles — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. Vocabulaire

Définition

II. Équation y′=ay (homogène, ordre 1, coeff. constant)

Résolution

Condition initiale

Exemple

III. Équation y′+ay=b (avec second membre constant)

Résolution

Principe de superposition

IV. Équation y′′+ω2y=0 (oscillateur harmonique)

Résolution

Conditions initiales

Exemple — pendule

V. Équation y′′−ω2y=0

Résolution

VI. Équation y′′+ay′+by=0 (ordre 2, coefficients constants)

Méthode — équation caractéristique

Exemple

VII. Applications physiques

Désintégration radioactive

Refroidissement (loi de Newton)

Oscillations libres d'un pendule

VIII. Méthode de résolution générale

Étapes recommandées

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Équations différentielles

Type 1 : Résoudre y′=ay (équation linéaire homogène d'ordre 1)

Type 2 : Résoudre y′=ay+b (linéaire d'ordre 1 avec second membre constant)

Type 3 : Résoudre y′′+ω2y=0 (oscillateur, racines complexes)

Type 4 : Résoudre y′′=ay′+by via l'équation caractéristique (racines réelles)

Type 5 : Résoudre le second ordre dans le cas Δ=0 (racine double)

Type 6 : Second ordre, cas des racines complexes Δ<0

Type 7 : Déterminer la solution vérifiant des conditions initiales

Type 8 : Problème ramené à une équation différentielle (changement de fonction)

Équations différentielles — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Équation y' = ay

Équation y' + ay = b

Équation y'' + ω²y = 0

Équation du second ordre homogène

Équation y' + 3y = 0 avec condition initiale

Équation y' − 2y = 4 avec second membre constant

Résolution de y'' + ay' + by = 0 avec conditions initiales (trois cas)

Énoncé

Résolution d'équations du second ordre à coefficients constants

Énoncé

Trois équations linéaires du second ordre avec conditions initiales

Énoncé

Équation différentielle avec second membre constant

Résolution d'une équation différentielle simple et condition initiale

Résolution d'une équation différentielle du premier ordre — Bac Côte d'Ivoire 2023

Résolution d'une équation différentielle du premier ordre — Bac Côte d'Ivoire 2023

Condition initiale et unicité de la solution

Résolution d'une équation différentielle du premier ordre homogène — Bac Sénégal 2023

Équation différentielle du premier ordre avec second membre constant

Équation différentielle du premier ordre avec second membre

Résolution d'une équation différentielle du premier ordre homogène — Bac Sénégal 2023

Équation différentielle y' = ay — Étude complète et application

Exercices Intermédiaires

Désintégration radioactive

Refroidissement — loi de Newton

Oscillateur avec conditions initiales

Équation avec second membre polynomial

Équation y' + y = eˣ

Problème de croissance de population

Équation du 2nd ordre y'' − 3y' + 2y = 0

Solution particulière polynomiale de y'' + 3y' + 2y = 6x² + 4x − 1

Énoncé

Équation avec second membre : y'' − 4y' = 12eˣ − 12 et condition initiale

Énoncé

Une fonction dont la dérivée est sa réflexion

II. Équation $y^{'} = a y$ (homogène, ordre 1, coeff. constant)

III. Équation $y^{'} + a y = b$ (avec second membre constant)

IV. Équation $y^{''} + ω^{2} y = 0$ (oscillateur harmonique)

V. Équation $y^{''} - ω^{2} y = 0$

VI. Équation $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ (ordre 2, coefficients constants)

Type 1 : Résoudre $y^{'} = a y$ (équation linéaire homogène d'ordre 1)

Type 2 : Résoudre $y^{'} = a y + b$ (linéaire d'ordre 1 avec second membre constant)

Type 3 : Résoudre $y^{''} + ω^{2} y = 0$ (oscillateur, racines complexes)

Type 4 : Résoudre $y^{''} = a y^{'} + b y$ via l'équation caractéristique (racines réelles)

Type 5 : Résoudre le second ordre dans le cas $Δ = 0$ (racine double)

Type 6 : Second ordre, cas des racines complexes $Δ < 0$