Soit $f(x)=x\cdot e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variation.
3. Montrer que l'équation $f(x)=k$ admet deux solutions si et seulement si $0<k<\frac{1}{e}$.
4. Montrer que pour tout $x\ge 0$ : $x\cdot e^{-x}\le \frac{1}{e}$.

Soit $f(x)=(x+1)\cdot e^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. Préciser les asymptotes.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations.
3. Déterminer les coordonnées du maximum de $f$.
4. Calculer l'intégrale $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ par intégration par parties.
5. Montrer que pour tout $x\ge 0$ : $(x+1)e^{-x}\le 1$.

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-1)e^x$.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et $f^{\prime \prime }(x)$. Factoriser.
2. Dresser le tableau de variations de f.
3. Déterminer les points d'inflexion de la courbe $C_f$.
4. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement.
5. Calculer $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

Une colonie bactérienne contient initialement $N_0=1000$ bactéries. On modélise le nombre de bactéries à l'instant t (en heures) par : $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$

où k est un réel positif. On observe qu'au bout de 3 heures, la colonie compte 8 000 bactéries.

1. Montrer que $k=\ln (2)$ et donner la loi $N(t)$ explicitement.
2. Au bout de combien de temps la population double-t-elle ? (temps de doublement)
3. Calculer $N(5)$ (arrondir à l'unité).
4. Au bout de combien de temps la colonie dépassera-t-elle $10^6$ bactéries ?

Soit f définie par : $f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$.
2. Calculer les limites de f en $+\infty$ et en $-\infty$.
3. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe. En déduire la monotonie de f.
4. Dresser le tableau de variations complet de f.
5. Montrer que $f(x)+f(-x)=1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Une colonie bactérienne de $N_0=500$ bactéries suit le modèle $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$ où t est en heures et $k>0$.

1. On sait qu'après 2 heures, la colonie compte 2000 bactéries. Déterminer k.
2. Calculer le temps de doublement T (durée pour que la population double).
3. Calculer $N(6)$ — le nombre de bactéries après 6 heures.
4. Au bout de combien de temps la population dépassera-t-elle 10 000 bactéries ?

Calculer des limites avec l'exponentielle

Calculer les limites suivantes :

1. $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-3x+2)e^x$
2. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-e^{3x}}{x}$
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x-x}{e^x-1}$

Une fonction positive

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(1-x)e^{2-x}+1$.

1. Étudier les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.
2. En déduire que pour tout réel $x$, $g(x)\ge 0$.

Calculer les limites suivantes

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(e^x-x-1\right)$

2. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2-3x+2\right)e^x$

3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x-1}{e^x+1}$

Calculer ces deux limites

1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-e^{3x}}{x}$

2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$

Soit $g$ la fonction définie sur $I=[0;+\infty [$ par $g(x)=1-e^{-\frac{1}{2}x}-\frac{1}{2}x$.

1. Montrer que $g$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty [$.

2. En déduire le signe de $g(x)$ pour $x>0$, puis l'inégalité $1-e^{-\frac{1}{2}x}<\frac{1}{2}x$ sur $]0;+\infty [$.

Résoudre l'inéquation suivante : $e^x>3$.

Une entreprise de Marrakech observe que ses ventes croissent de 15% par an. Si les ventes étaient de 1 million de dirhams l'année dernière, calculez les ventes prévues dans 5 ans.

Résoudre l'équation $e^x=5$.

Dans une ville, la propagation d'une maladie suit le modèle $N(t)=N_0\times e^{kt}$, où $N_0=100$, $k=0.1$ et $t$ est le temps en jours. Quel sera le nombre de personnes infectées après 10 jours ?

Démo que pour tout $a>0$, $e^x=a\iff x=\ln (a)$.

Une ville a une population de 50 000 habitants qui croît exponentiellement à un taux de 4% par an. Quelle sera sa population dans 10 ans ?

Résoudre l'équation suivante : exp(x) = 2 * exp(-x).

Comparer les limites $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{e^x}{x^2}\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x}{e^x}\right)$.

Démontrer que si $a>0$, alors $\ln (a^x)=x\ln (a)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Dans un pays, la population suit une fonction exponentielle. Si on sait que la population est de 1 000 000 habitants aujourd'hui et qu'elle atteint 1 500 000 habitants en 10 ans, quelle est la fonction exponentielle qui modélise cette croissance ?

Exercice 4 — Situation-problème : modélisation d'une population

Un urbaniste de Casablanca modélise l'évolution du nombre d'habitants d'un nouveau quartier. Il suppose que, $t$ années après l'ouverture du quartier ($t\ge 0$), le nombre d'habitants (en milliers) est donné par :

$N(t)=A-(A-N_0)e^{-kt}$

où $A$, $N_0$ et $k$ sont des constantes strictement positives avec $N_0<A$.

1. Interpréter $N_0$ et calculer $\underset{t\to +\infty }{\lim }N(t)$. Interpréter ce résultat.
2. Montrer que $N$ est une fonction croissante sur $[0;+\infty [$. Est-ce cohérent avec le contexte ?
3. On suppose que $N_0=2$, $A=50$ et $k=0,1$. Calculer $N^{\prime }(t)$ et déterminer au bout de combien d'années (valeur entière) la population dépasse $30000$ habitants. On admettra que $\ln (24)\approx 3,18$.
4. On définit la fonction $h$ sur $]0;+\infty [$ par $h(t)=\frac{N(t)}{t}$. Un élu affirme que le taux moyen d'habitants par année tend vers $0$ quand $t\to +\infty$. Vérifier cette affirmation.

Exercice 3 — Étude complète de fonction

On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=x+1-2e^{-x}$.

1. Calculer les limites de g en $-\infty$ et en $+\infty$. Interpréter géométriquement la limite en $+\infty$.
2. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x+1$ est asymptote à la courbe de g en $+\infty$. Préciser la position de la courbe par rapport à $\Delta$.
3. Calculer $g^{\prime }(x)$ et étudier les variations de g.
4. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, et vérifier que $\alpha \in ]0;1[$.
5. En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.

On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par :

$g(x)=(x^2+x+1)\cdot e^{-x}$

Partie A — Étude de g

1. Calculer les limites de g en $-\infty$ et en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat en $+\infty$.
2. Montrer que $g^{\prime }(x)=-(x^2-x)\cdot e^{-x}=-x(x-1)\cdot e^{-x}$. En déduire le tableau de variations complet de g.
3. Montrer que la courbe représentative de g admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.

Partie B — Équation différentielle

On considère l'équation différentielle (E) : $y^{\prime }+y=(2x+1)\cdot e^{-x}$, où y est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.

4. Vérifier que la fonction h définie par $h(x)=x^2\cdot e^{-x}$ est solution particulière de (E).
5. Résoudre l'équation homogène associée (E${}_0$) : $y^{\prime }+y=0$.
6. En déduire l'ensemble des solutions de (E), puis déterminer la solution $\phi$ de (E) vérifiant $\phi (0)=1$.

Exercice 4 — Suite et fonction exponentielle

On considère la suite ($u_n$) définie par $u_0=0$ et, pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=u_n+e^{-u_n}$.

On définit également la fonction f sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+e^{-x}$.

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\ge 0$. On pourra procéder par récurrence.
2. Montrer que la suite ($u_n$) est strictement croissante.
3. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f(x)>x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. En déduire que la suite ($u_n$) est non majorée.
4. Calculer les cinq premiers termes de la suite (valeurs exactes), et vérifier numériquement la croissance.
5. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=e^{-u_n}$, et que cette quantité tend vers $0$. Que peut-on en conclure sur le comportement de la suite ?

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x^2+x+1)e^x$.

1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. En déduire l'existence éventuelle d'une asymptote.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$. Montrer que $f^{\prime }(x)=(x^2+3x+2)e^x$, puis factoriser $f^{\prime }(x)$.

3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution réelle.
5. On note $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $[-2;0]$. Montrer que $g$ est une bijection de $[-2;0]$ vers un intervalle $J$ que l'on déterminera.

Exercice 4 — Suite et fonction exponentielle

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier $n\ge 0$ : $u_{n+1}=e^{u_n}-1$.

On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^x-x-1$.

1. Montrer que $g(x)\ge 0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, avec égalité si et seulement si $x=0$.
2. En déduire que, pour tout entier $n\ge 0$ : $u_{n+1}\ge u_n$. (La suite est croissante.)
3. Montrer par récurrence que $u_n\ge 0$ pour tout entier $n\in \mathbb{N}$.
4. On admet que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \in \mathbb{R}$. Déterminer $\ell$.
5. Calculer les cinq premiers termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ (valeurs exactes ou arrondi à $10^{-3}$), et vérifier la cohérence avec les résultats précédents.

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction exponentielle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x^2+x-1)e^x$.

1. Calculer les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$. En déduire les éventuelles asymptotes.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer qu'on peut l'écrire sous la forme $f^{\prime }(x)=(x^2+3x)e^x$. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de f.

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions réelles $x_1$ et $x_2$ avec $x_1<x_2$. Donner les valeurs exactes de $x_1$ et $x_2$.
4. On note $C_f$ la courbe représentative de f. Déterminer l'équation de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x=0$.