Fonctions exponentielles — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Fonction exponentielle

Définition

La fonction exp est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1.

Notation : exp(x) = e^x

Propriétés algébriques

e^a+b = e^a · e^b
e^a-b = e^a/e^b
(e^a)ⁿ = e^na
e⁰ = 1, e¹ = e ≈ 2.718
e^x > 0 pour tout x ∈ ℝ

Dérivée

(e^x)' = e^x
(e^u)' = u' · e^u

Limites

lim_x→+∞ e^x = +∞
lim_x→-∞ e^x = 0
lim_x→0 (e^x - 1)/x = 1
lim_x→+∞ e^x/xⁿ = +∞ (croissances comparées)
lim_x→-∞ xⁿ·e^x = 0

II. Fonction x ↦ a^x

Pour a > 0 : a^x = e^x·ln(a)

(a^x)' = ln(a) · a^x

III. Équations et inéquations

e^a = e^b ⇔ a = b

e^a < e^b ⇔ a < b (car exp est strictement croissante)

🔑 Formules clés à retenir

e^a+b = e^a·e^b
(e^u)' = u'·e^u
lim (e^x-1)/x = 1 (x→0)
lim e^x/xⁿ = +∞ (x→+∞)
a^x = e^x·ln(a)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

e^a·e^b ≠ e^ab : la règle correcte est e^a·e^b = e^a+b. Les exposants s'additionnent à la multiplication, ne se multiplient pas !

❌

Résoudre e^f(x) > e^g(x) : puisque exp est CROISSANTE (et toujours positive), l'inéquation équivaut directement à f(x) > g(x). Pas d'inversion du sens !

❌

a^x quand a < 0 : pour a < 0, a^x n'est pas défini pour tout x réel. La formule a^x = e^x·ln(a) nécessite a > 0 (pour que ln(a) soit défini).

🟢 Astuces de pros

✅

Croissances comparées à retenir : pour tout n ∈ ℕ, lim_x→+∞ e^x/xⁿ = +∞ et lim_x→−∞ xⁿ·e^x = 0. L'exponentielle domine toute puissance en +∞.

✅

Linéariser e^u ≈ 1 + u pour u ≈ 0 : développement limité d'ordre 1. Très utile pour calculer des limites : lim (e^x−1)/x = lim (1+x−1)/x = 1 quand x→0.

💡

Modélisation exponentielle : désintégration radioactive N(t) = N₀e^−λt, demi-vie T = ln(2)/λ. Croissance bactérienne N(t) = N₀e^kt. Reconnaître le schéma f' = af.

Fonctions exponentielles — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

18 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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🟢 Exercices Faciles

7 exercices

Résolution d'équations exponentielles

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

e^2x-1 = e³
e^x² = e⁴
e^2x - 3e^x + 2 = 0
2^x = 32

Ma réponse

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Correction détaillée

1.

2x-1 = 3 ⇒ x = 2

2.

x² = 4 ⇒ x = ±2

3.

On pose t = e^x > 0 : t² - 3t + 2 = 0 ⇒ (t-1)(t-2) = 0

t = 1 ⇒ e^x = 1 ⇒ x = 0

t = 2 ⇒ e^x = 2 ⇒ x = ln2

S = {0, ln2}

4.

2^x = 2⁵ ⇒ x = 5

Inéquations et systèmes exponentiels

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

e^2x ≥ e^x+3
e^x + e^-x ≥ 2
Résoudre le système : e^x+y = 4 et e^x-y = 1
4^x - 3·2^x - 4 = 0 (poser t = 2^x)

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Correction détaillée

1.

e^2x ≥ e^x+3 ⇔ 2x ≥ x+3 ⇔ x ≥ 3

S = [3, +∞[

2.

e^x + e^-x ≥ 2. On pose t = e^x > 0 : t + 1/t ≥ 2

⇔ t² - 2t + 1 ≥ 0 ⇔ (t-1)² ≥ 0 : toujours vrai.

S = ℝ (avec égalité seulement pour t = 1, c'est-à-dire x = 0).

3. Système

e^x+y = 4 ⇒ x+y = ln4 = 2ln2

e^x-y = 1 ⇒ x-y = 0, donc x = y

2x = 2ln2 ⇒ x = ln2, y = ln2

4. Substitution t = 2^x > 0

4^x = (2^x)² = t², donc : t² - 3t - 4 = 0

(t-4)(t+1) = 0 ⇒ t = 4 ou t = -1

t = -1 impossible (t > 0). t = 4 ⇒ 2^x = 4 = 2² ⇒ x = 2

Modélisation exponentielle

🟢 Facile

Énoncé

Une population bactérienne suit la loi N(t) = N₀·e^kt où t est en heures.

À t = 0 : N₀ = 1000 bactéries. À t = 3h : N(3) = 8000 bactéries.

Déterminer la constante k.
Calculer le nombre de bactéries après 6 heures.
Au bout de combien de temps la population aura-t-elle atteint 10⁶ bactéries ?
Calculer le temps de doublement (durée pour que la population double).

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Correction détaillée

1. Détermination de k

N(3) = 1000·e^3k = 8000 ⇒ e^3k = 8 = 2³

3k = ln(8) = 3ln(2) ⇒ k = ln2 ≈ 0.693 h⁻¹

Donc N(t) = 1000·e^t·ln2 = 1000·2^t

2. N(6)

N(6) = 1000·2⁶ = 1000·64 = 64 000 bactéries

3. Atteindre 10⁶

1000·2^t = 10⁶ ⇒ 2^t = 1000 ⇒ t = log₂(1000) = ln(1000)/ln(2)

t = 3ln(10)/ln(2) ≈ 3×2.303/0.693 ≈ 9.97 heures

4. Temps de doublement

2N₀ = N₀·e^kτ ⇒ e^kτ = 2 ⇒ kτ = ln2 ⇒ τ = ln2/k = ln2/ln2 = 1 heure

(La population double chaque heure, ce qui est cohérent avec N(t) = 1000·2^t.)

Étude de f(x) = e^(2x−1)

🟢 Facile

Énoncé

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = e^2x−1.

Préciser le domaine de définition de f.
Calculer f'(x).
Calculer les limites de f en +∞ et en −∞. Interpréter graphiquement.
Résoudre les équations : f(x) = 1, f(x) = e, f(x) = 1/e.
Résoudre l'inéquation f(x) ≥ e³.

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Correction détaillée

1. Domaine de définition

La fonction exponentielle e^u est définie pour tout u ∈ ℝ. Ici u = 2x−1 est défini pour tout x ∈ ℝ.

Donc D_f = ℝ.

2. Dérivée

f(x) = e^2x−1 est de la forme e^u avec u = 2x−1, u' = 2.

f'(x) = u'·e^u = 2e^2x−1

f'(x) > 0 pour tout x : f est strictement croissante sur ℝ.

3. Limites

lim_x→+∞ f(x) = lim_x→+∞ e^2x−1 = +∞ (car 2x−1 → +∞)

lim_x→−∞ f(x) = lim_x→−∞ e^2x−1 = 0 (car 2x−1 → −∞)

Interprétation : la droite y = 0 est asymptote horizontale à la courbe en −∞.

4. Résolution des équations

f(x) = 1 ⟺ e^2x−1 = e⁰ ⟺ 2x−1 = 0 ⟺ x = 1/2

f(x) = e ⟺ e^2x−1 = e¹ ⟺ 2x−1 = 1 ⟺ x = 1

f(x) = 1/e ⟺ e^2x−1 = e⁻¹ ⟺ 2x−1 = −1 ⟺ x = 0

5. Résolution de f(x) ≥ e³

e^2x−1 ≥ e³ ⟺ 2x−1 ≥ 3 (exp est croissante)

⟺ 2x ≥ 4 ⟺ x ≥ 2

Solution : [2 ; +∞[

Équation exponentielle par substitution

🟢 Facile

Énoncé

On cherche à résoudre dans ℝ l'équation : e^2x − 3e^x + 2 = 0

En posant t = e^x, réécrire l'équation comme une équation du second degré en t.
Résoudre cette équation en t, en justifiant les contraintes sur t.
En déduire les solutions de l'équation initiale.
Résoudre de même : e^2x − 5e^x + 6 = 0.

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Correction détaillée

1. Substitution t = e^x

On pose t = e^x. Puisque e^2x = (e^x)² = t², l'équation devient :

t² − 3t + 2 = 0

Contrainte importante : t = e^x > 0, donc on ne cherche que les solutions positives.

2. Résolution en t

t² − 3t + 2 = 0

Discriminant : Δ = 9 − 8 = 1

t₁ = (3 − 1)/2 = 1 et t₂ = (3 + 1)/2 = 2

Les deux solutions t = 1 et t = 2 sont bien strictement positives ✓

3. Retour à la variable x

t = 1 ⟺ e^x = 1 = e⁰ ⟺ x = 0

t = 2 ⟺ e^x = 2 ⟺ x = ln(2)

Ensemble solution : S = {0 ; ln 2}

4. Équation e^2x − 5e^x + 6 = 0

Même substitution t = e^x > 0 : t² − 5t + 6 = 0

Δ = 25 − 24 = 1 ; t₁ = 2, t₂ = 3 (les deux > 0 ✓)

t = 2 ⟺ x = ln 2 ; t = 3 ⟺ x = ln 3

S = {ln 2 ; ln 3}

Résolution d'équations exponentielles

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

e^2x = 5
e^x + e^−x = 2
e^2x − 3e^x + 2 = 0

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Correction détaillée

1. e^2x = 5

On prend le logarithme naturel des deux membres :

ln(e^2x) = ln(5) ⟺ 2x = ln(5)

x = ln(5)/2

2. e^x + e^−x = 2

Posons u = e^x > 0. L'équation devient : u + 1/u = 2.

Multiplication par u : u² + 1 = 2u ⟺ u² − 2u + 1 = 0 ⟺ (u − 1)² = 0

Donc u = 1, c'est-à-dire e^x = 1, soit x = 0.

Vérification : e⁰ + e⁰ = 1 + 1 = 2 ✓

3. e^2x − 3e^x + 2 = 0

Posons u = e^x > 0. On obtient : u² − 3u + 2 = 0.

Discriminant : Δ = 9 − 8 = 1. Racines : u = (3 ± 1)/2.

u₁ = 2 ou u₂ = 1.

e^x = 2 ⟹ x = ln(2)

e^x = 1 ⟹ x = 0

S = {0, ln(2)}

Dérivées de fonctions exponentielles composées

🟢 Facile

Énoncé

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

f(x) = e^x²+1
g(x) = x²·e^x
h(x) = e^sin(x)
k(x) = e^2x/(1 + e^2x)

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Correction détaillée

1. f(x) = e^x²+1

Par la règle de dérivation d'une composée : (e^u)' = u'·e^u avec u = x² + 1.

u' = 2x

f'(x) = 2x·e^x²+1

2. g(x) = x²·e^x

Par la règle du produit : (u·v)' = u'·v + u·v' avec u = x², v = e^x.

u' = 2x, v' = e^x

g'(x) = 2x·e^x + x²·e^x = e^x(2x + x²)

g'(x) = x(x + 2)·e^x

3. h(x) = e^sin(x)

Composée avec u = sin(x), u' = cos(x).

h'(x) = cos(x)·e^sin(x)

4. k(x) = e^2x/(1 + e^2x)

Règle du quotient : (u/v)' = (u'v − uv')/v².

u = e^2x, u' = 2e^2x ; v = 1 + e^2x, v' = 2e^2x.

k'(x) = (2e^2x(1 + e^2x) − e^2x·2e^2x) / (1 + e^2x)²

= 2e^2x(1 + e^2x − e^2x) / (1 + e^2x)²

= 2e^2x / (1 + e^2x)²

k'(x) = 2e^2x/(1 + e^2x)²

🟡 Exercices Intermédiaires

6 exercices

Étude de f(x) = x·e-x

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = x·e^-x définie sur ℝ.

Calculer les limites de f en -∞ et en +∞.
Calculer f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variation.
Montrer que l'équation f(x) = k admet deux solutions si et seulement si 0 < k < 1/e.
Montrer que pour tout x ≥ 0 : x·e^-x ≤ 1/e.

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Correction détaillée

1.

lim_x→-∞ x·e^-x = (-∞)·(+∞) = -∞

lim_x→+∞ x·e^-x = lim x/e^x = 0 (croissances comparées)

2.

f'(x) = e^-x + x·(-e^-x) = e^-x(1 - x) = (1-x)e^-x

e^-x > 0 toujours, donc f'(x) > 0 ⇔ x < 1

f croissante sur ]-∞, 1], décroissante sur [1, +∞[

Maximum en x = 1 : f(1) = 1·e^-1 = 1/e

3.

f(-∞) = -∞, f(1) = 1/e (max), f(+∞) = 0

La droite y = k coupe la courbe en 2 points ⇔ 0 < k < 1/e ✓

4.

Le maximum de f sur [0,+∞[ est f(1) = 1/e. Donc x·e^-x ≤ 1/e pour tout x ≥ 0. ✓

Étude de f(x) = (x+1)·e-x

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = (x+1)·e^-x définie sur ℝ.

Calculer les limites de f en -∞ et en +∞. Préciser les asymptotes.
Calculer f'(x), étudier son signe et dresser le tableau de variations.
Déterminer les coordonnées du maximum de f.
Calculer l'intégrale ∫₀² f(x) dx par intégration par parties.
Montrer que pour tout x ≥ 0 : (x+1)e^-x ≤ 1.

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Correction détaillée

1. Limites et asymptotes

lim_x→-∞ (x+1)e^-x = (-∞)·(+∞) = -∞

lim_x→+∞ (x+1)e^-x = 0 (croissances comparées : e^x >> x)

La droite y = 0 (axe des abscisses) est asymptote horizontale en +∞.

2. Dérivée

f'(x) = e^-x + (x+1)·(-e^-x) = e^-x(1 - x - 1) = -x·e^-x

e^-x > 0 toujours, donc f'(x) > 0 ⇔ -x > 0 ⇔ x < 0

f croissante sur ]-∞, 0] et décroissante sur [0, +∞[

3. Maximum

Maximum en x = 0 : f(0) = (0+1)·e⁰ = 1

Point de maximum : (0, 1)

4. Intégrale par parties

∫₀² (x+1)e^-x dx. IPP : u = x+1, v' = e^-x ⇒ u' = 1, v = -e^-x

= [-(x+1)e^-x]₀² + ∫₀² e^-x dx

= (-3e^-2 - (-1)) + [-e^-x]₀²

= -3e^-2 + 1 + (-e^-2 + 1)

= 2 - 4e^-2 = 2 - 4/e²

5. Inégalité

f est croissante sur ]-∞, 0] jusqu'au maximum f(0) = 1, puis décroissante.

Pour x ≥ 0 : f est décroissante, donc f(x) ≤ f(0) = 1.

Donc pour tout x ≥ 0 : (x+1)e^-x ≤ 1. ✓

Étude complète de f(x) = (x²−1)eˣ

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = (x²−1)e^x.

Calculer f'(x) et f''(x). Factoriser.
Dresser le tableau de variations de f.
Déterminer les points d'inflexion de la courbe C_f.
Calculer lim_x→+∞ f(x) et lim_x→−∞ f(x). Interpréter graphiquement.
Calculer ∫₀¹ f(x) dx.

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Correction détaillée

1. Dérivées

f(x) = (x²−1)e^x. Par la règle du produit (uv)' = u'v + uv' :

f'(x) = 2x·e^x + (x²−1)·e^x = e^x(2x + x² − 1) = e^x(x² + 2x − 1)

f''(x) = e^x(x² + 2x − 1) + e^x(2x + 2) = e^x(x² + 4x + 1)

f''(x) = e^x(x² + 4x + 1)

2. Tableau de variations

Racines de x² + 2x − 1 = 0 : Δ = 4 + 4 = 8, x = (−2 ± 2√2)/2 = −1 ± √2

x₁ = −1 − √2 ≈ −2.41 et x₂ = −1 + √2 ≈ 0.41

f'(x) > 0 sur ]−∞, x₁[ ∪ ]x₂, +∞[, f'(x) < 0 sur ]x₁, x₂[

Maximum local en x₁ : f(x₁) = ((−1−√2)²−1)e^x₁ = (2+2√2)e^−1−√2

Minimum local en x₂ : f(x₂) = (2−2√2)e^−1+√2

3. Points d'inflexion

Racines de x² + 4x + 1 = 0 : Δ = 16 − 4 = 12, x = (−4 ± 2√3)/2 = −2 ± √3

x₃ = −2 − √3 ≈ −3.73 et x₄ = −2 + √3 ≈ −0.27

Les points d'inflexion sont (x₃, f(x₃)) et (x₄, f(x₄)).

4. Limites

lim_x→+∞ f(x) = lim_x→+∞ x²·e^x = +∞ (croissances comparées : e^x domine x²)

lim_x→−∞ f(x) = lim_x→−∞ x²·e^x = 0 (car lim_x→−∞ xⁿ·e^x = 0)

Interprétation : la droite y = 0 est asymptote horizontale en −∞.

5. Calcul de ∫₀¹ f(x) dx

∫₀¹ (x²−1)e^x dx. On remarque que f(x) = (x²−1)e^x.

Par IPP deux fois, ou en remarquant que f = (x²−1)e^x.

IPP 1 : u = x²−1, v' = e^x → u' = 2x, v = e^x

= [(x²−1)e^x]₀¹ − ∫₀¹ 2x·e^x dx = 0 − (−1)·1 − ∫₀¹ 2x·e^x dx = 1 − 2∫₀¹ x·e^x dx

IPP 2 : ∫₀¹ x·e^x dx : u = x, v' = e^x → u' = 1, v = e^x

= [x·e^x]₀¹ − ∫₀¹ e^x dx = e − [e^x]₀¹ = e − (e − 1) = 1

Donc ∫₀¹ f(x) dx = 1 − 2·1 = −1

Modèle de croissance bactérienne

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une colonie bactérienne contient initialement N₀ = 1 000 bactéries. On modélise le nombre de bactéries à l'instant t (en heures) par : N(t) = N₀·e^kt

où k est un réel positif. On observe qu'au bout de 3 heures, la colonie compte 8 000 bactéries.

Montrer que k = ln(2) et donner la loi N(t) explicitement.
Au bout de combien de temps la population double-t-elle ? (temps de doublement)
Calculer N(5) (arrondir à l'unité).
Au bout de combien de temps la colonie dépassera-t-elle 10⁶ bactéries ?

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Correction détaillée

1. Détermination de k

Condition : N(3) = 8 000.

N(3) = 1000·e^3k = 8000 ⟹ e^3k = 8 = 2³

3k = ln(2³) = 3·ln(2) ⟹ k = ln(2)

Loi : N(t) = 1000·e^t·ln(2) = 1000·2^t

Vérification : N(0) = 1000 ✓, N(3) = 1000·2³ = 8000 ✓

2. Temps de doublement

On cherche T tel que N(T) = 2·N₀ = 2000.

1000·2^T = 2000 ⟹ 2^T = 2 ⟹ T = 1 heure

Le temps de doublement est T = 1 heure.

Formule générale : T = ln(2)/k = ln(2)/ln(2) = 1 ✓

3. Calcul de N(5)

N(5) = 1000·2⁵ = 1000·32 = 32 000 bactéries

4. Dépassement de 10⁶

N(t) > 10⁶ ⟺ 1000·2^t > 10⁶ ⟺ 2^t > 1000

t·ln(2) > ln(1000) = 3·ln(10)

t > 3·ln(10)/ln(2) = 3 × 2.3026/0.6931 ≈ 3 × 3.322 ≈ 9.97

La colonie dépasse 10⁶ bactéries après environ 10 heures (t > ln(1000)/ln(2)).

Étude de f(x) = eˣ/(1 + eˣ) — domaine, limites, monotonie

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f définie par : f(x) = e^x/(1 + e^x)

Déterminer le domaine de définition D_f.
Calculer les limites de f en +∞ et en −∞.
Calculer f'(x) et étudier son signe. En déduire la monotonie de f.
Dresser le tableau de variations complet de f.
Montrer que f(x) + f(−x) = 1 pour tout x ∈ ℝ.

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Correction détaillée

1. Domaine de définition

1 + e^x > 0 pour tout x ∈ ℝ (car e^x > 0). Donc f est définie sur D_f = ℝ.

2. Limites

En +∞ : e^x → +∞, donc e^x/(1 + e^x) = 1/(1/e^x + 1) → 1/(0 + 1) = 1.

La droite y = 1 est asymptote horizontale en +∞.

En −∞ : e^x → 0⁺, donc f(x) → 0/(1 + 0) = 0.

La droite y = 0 est asymptote horizontale en −∞.

3. Dérivée et signe

f'(x) = (e^x(1 + e^x) − e^x·e^x) / (1 + e^x)²

= (e^x + e^2x − e^2x) / (1 + e^x)²

= e^x / (1 + e^x)²

Or e^x > 0 et (1 + e^x)² > 0 pour tout x, donc f'(x) > 0 pour tout x ∈ ℝ.

f est strictement croissante sur ℝ.

4. Tableau de variations

f est croissante de 0 (limite en −∞) vers 1 (limite en +∞). f(0) = 1/(1+1) = 1/2.

Tableau : −∞ → 0 → +∞ avec f : 0 → 1/2 → 1 (croissante).

5. Relation fonctionnelle

f(−x) = e^−x/(1 + e^−x). Multiplions numérateur et dénominateur par e^x :

f(−x) = 1/(e^x + 1)

f(x) + f(−x) = e^x/(1 + e^x) + 1/(1 + e^x) = (e^x + 1)/(1 + e^x) = 1 ✓

Modèle exponentiel — croissance bactérienne

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Une colonie bactérienne de N₀ = 500 bactéries suit le modèle N(t) = N₀·e^kt où t est en heures et k > 0.

On sait qu'après 2 heures, la colonie compte 2000 bactéries. Déterminer k.
Calculer le temps de doublement T (durée pour que la population double).
Calculer N(6) — le nombre de bactéries après 6 heures.
Au bout de combien de temps la population dépassera-t-elle 10 000 bactéries ?

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Correction détaillée

1. Détermination de k

N(2) = 2000 ⟹ 500·e^2k = 2000 ⟹ e^2k = 4.

2k = ln(4) = 2·ln(2) ⟹ k = ln(2)

Loi : N(t) = 500·e^t·ln(2) = 500·2^t

Vérification : N(0) = 500 ✓, N(2) = 500·4 = 2000 ✓

2. Temps de doublement

On cherche T tel que N(T) = 2·N₀ = 1000.

500·2^T = 1000 ⟹ 2^T = 2 ⟹ T = 1 heure

Formule générale : T = ln(2)/k = ln(2)/ln(2) = 1 h.

3. Calcul de N(6)

N(6) = 500·2⁶ = 500·64 = 32 000 bactéries

4. Dépassement de 10 000 bactéries

N(t) > 10 000 ⟺ 500·2^t > 10 000 ⟺ 2^t > 20

t > ln(20)/ln(2) = log₂(20) ≈ 4.32 heures

La population dépasse 10 000 bactéries après environ 4 heures et 20 minutes.

🔴 Exercices Difficiles

5 exercices

Intégrale par parties et suite liée à ex (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

On pose I_n = ∫₀¹ xⁿ·e^x dx pour n ∈ ℕ.

Calculer I₀.
Montrer que I_n = e - n·I_n-1 pour n ≥ 1 (relation de récurrence).
Calculer I₁, I₂, I₃.
Montrer que 0 < I_n < e/(n+1) pour tout n ≥ 0.
En déduire que lim_n→+∞ n!·I_n = e - Σ_k=0^∞ 1/k! = 0 (interprétation via l'exponentielle).

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Correction détaillée

1. I₀

I₀ = ∫₀¹ e^x dx = [e^x]₀¹ = e - 1

2. Relation de récurrence

IPP : u = xⁿ, v' = e^x ⇒ u' = nx^n-1, v = e^x

I_n = [xⁿ·e^x]₀¹ - n·∫₀¹ x^n-1·e^x dx = e - n·I_n-1. ✓

3. Calculs

I₁ = e - 1·I₀ = e - (e-1) = 1

I₂ = e - 2·I₁ = e - 2 = e - 2

I₃ = e - 3·I₂ = e - 3(e-2) = e - 3e + 6 = 6 - 2e

4. Encadrement

Pour x ∈ [0,1] : 0 ≤ xⁿ·e^x ≤ 1ⁿ·e = e (car e^x ≤ e sur [0,1])

0 < I_n ≤ e·∫₀¹ xⁿ dx = e·1/(n+1)

Donc 0 < I_n < e/(n+1). ✓

5. Limite

En déroulant la récurrence : I_n = e - n·I_n-1 = e - n(e-(n-1)·I_n-2) = ...

On montre que n!·I_n = n!·e - n!·(e - 1/0! - 1/1! - ... - 1/n!)

Ou plus simplement : par la question 4, 0 < n!·I_n < n!·e/(n+1) → 0 quand n → +∞

Donc lim_n→+∞ n!·I_n = 0. Ce résultat montre que e est bien la limite de Σ 1/k!. ✓

Problème d'optimisation (Bac national)

🔴 Difficile

Énoncé

On considère la fonction g(x) = (ax + b)e^-x + 1 où a et b sont des réels.

Déterminer a et b sachant que g(0) = 2 et g'(0) = -1.
Étudier les variations de g et tracer sa courbe.
Montrer que g admet une asymptote y = 1 et étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe, l'asymptote et les droites x = 0 et x = 2.

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Correction détaillée

1.

g(0) = (0+b)e⁰ + 1 = b + 1 = 2, donc b = 1

g'(x) = a·e^-x + (ax+b)·(-e^-x) = e^-x(a - ax - b)

g'(0) = 1·(a - 0 - 1) = a - 1 = -1, donc a = 0

Mais vérifions : g'(0) = a - b = 0 - 1 = -1 ✓

Donc g(x) = e^-x + 1 (avec a=0, b=1)... Cela donne g'(0) = -1 ✓

Reprenons avec a ≠ 0 : g'(x) = e^-x(a - ax - b), g'(0) = a - b = -1

Avec b = 1 : a = 0. Prenons plutôt a et b libres.

g(x) = e^-x + 1. g'(x) = -e^-x.

2.

g'(x) = -e^-x < 0 : g est strictement décroissante sur ℝ.

lim_x→-∞ g(x) = +∞, lim_x→+∞ g(x) = 1

3.

g(x) - 1 = e^-x > 0 pour tout x.

La courbe est au-dessus de l'asymptote y = 1. ✓

4.

A = ∫₀² (g(x) - 1) dx = ∫₀² e^-x dx

= [-e^-x]₀² = -e^-2 + e⁰ = 1 - e^-2 ≈ 0.865 u.a.

Étude complète de f(x) = xe^(1/x) — asymptote oblique (Bac)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f la fonction définie sur ℝ* par f(x) = x·e^1/x.

Déterminer le domaine de définition D_f.
Calculer les limites de f en 0⁺, 0⁻, +∞ et −∞. Déterminer une asymptote oblique éventuelle en ±∞.
Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations.
Montrer que f est convexe sur ]0, +∞[ et concave sur ]−∞, 0[.
La courbe C_f admet-elle une asymptote oblique en +∞ ? Calculer la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

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Correction détaillée

1. Domaine de définition

f(x) = x·e^1/x est définie si x ≠ 0 (pour que 1/x existe).

D_f = ℝ* = ]−∞, 0[ ∪ ]0, +∞[

2. Limites

En 0⁺ : x → 0⁺, 1/x → +∞, e^1/x → +∞, x → 0⁺.

Posons u = 1/x → +∞ : x·e^1/x = (1/u)·e^u = e^u/u → +∞.

lim_x→0⁺ f(x) = +∞

En 0⁻ : x → 0⁻, 1/x → −∞, e^1/x → 0⁺, mais x → 0⁻.

Posons u = 1/x → −∞ : x·e^1/x = (1/u)·e^u → 0 (car u·e^u → 0 en −∞).

lim_x→0⁻ f(x) = 0

En +∞ : 1/x → 0⁺, e^1/x → 1, donc f(x) → +∞. Cherchons l'asymptote oblique.

f(x)/x = e^1/x → e⁰ = 1 quand x → +∞. Donc pente a = 1.

f(x) − x = x(e^1/x − 1). Posons u = 1/x → 0 : x(e^1/x−1) = (e^u−1)/u → 1.

lim_x→+∞ [f(x) − x] = 1. Donc la droite y = x + 1 est asymptote oblique en +∞.

En −∞ : De même, f(x)/x = e^1/x → 1 et f(x) − x → 1. Droite y = x+1 est aussi asymptote en −∞.

3. Dérivée et variations

f(x) = x·e^1/x. Par règle du produit :

f'(x) = 1·e^1/x + x·(−1/x²)·e^1/x = e^1/x(1 − 1/x) = e^1/x·(x−1)/x

Signe de f'(x) : e^1/x > 0 toujours. Signe = signe de (x−1)/x.

f'(x) > 0 si x > 1 ou x < 0 ; f'(x) < 0 si 0 < x < 1 ; f'(1) = 0.

Minimum local en x = 1 : f(1) = 1·e¹ = e.

4. Convexité

f''(x) = (e^1/x·(x−1)/x)' = e^1/x/x³ (calcul détaillé par produit/quotient).

Sur ]0, +∞[ : x³ > 0 et e^1/x > 0, donc f''(x) > 0 : f convexe sur ]0, +∞[.

Sur ]−∞, 0[ : x³ < 0, donc f''(x) < 0 : f concave sur ]−∞, 0[.

5. Position par rapport à l'asymptote y = x+1

f(x) − (x+1) = x·e^1/x − x − 1.

Posons u = 1/x : f(x)−(x+1) = (e^u−1−u)/u. Or e^u ≥ 1 + u (inégalité exp), donc e^u−1−u ≥ 0.

Pour x > 0 : u > 0, donc f(x)−(x+1) ≥ 0 : la courbe est au-dessus de l'asymptote.

Pour x < 0 : u < 0, e^u−1−u ≥ 0 mais divisé par u < 0, donc f(x)−(x+1) ≤ 0 : la courbe est en dessous de l'asymptote.

Étude complète de f(x) = x²·e⁻ˣ

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x²·e^−x.

Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞.
Calculer f'(x) et déterminer les extrema de f.
Calculer f''(x) et étudier la convexité.
Dresser le tableau de variations complet.
Esquisser la courbe représentative de f.

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Correction détaillée

1. Limites

En +∞ : lim_x→+∞ x²·e^−x = lim_x→+∞ x²/e^x = 0 (croissances comparées : e^x l'emporte sur tout polynôme).

lim_x→+∞ f(x) = 0 — asymptote horizontale y = 0 en +∞.

En −∞ : x² → +∞ et e^−x = e^|x| → +∞.

lim_x→−∞ f(x) = +∞

2. Dérivée et extrema

f'(x) = 2x·e^−x + x²·(−1)·e^−x = e^−x(2x − x²) = x(2 − x)·e^−x

e^−x > 0 toujours. Signe de f' = signe de x(2 − x).

f'(x) < 0 pour x < 0 ou x > 2
f'(x) = 0 en x = 0 et x = 2
f'(x) > 0 pour 0 < x < 2

f admet un minimum local en x = 0 : f(0) = 0.

f admet un maximum local en x = 2 : f(2) = 4·e⁻² = 4/e².

3. Dérivée seconde et convexité

f''(x) = (2 − x)·e^−x · (dérivation de x(2−x)·e^−x)

f''(x) = (2x − x²)'·e^−x + (2x − x²)·(−e^−x)

= (2 − 2x)·e^−x − (2x − x²)·e^−x

= e^−x(2 − 2x − 2x + x²) = e^−x(x² − 4x + 2)

f''(x) = 0 ⟺ x² − 4x + 2 = 0 ⟺ x = 2 ± √2.

Points d'inflexion en x = 2 − √2 ≈ 0.59 et x = 2 + √2 ≈ 3.41.

4. Tableau de variations

Sur ]−∞, 0[ : f décroissante (de +∞ vers 0).

Sur ]0, 2[ : f croissante (de 0 vers 4/e²).

Sur ]2, +∞[ : f décroissante (de 4/e² vers 0).

5. Esquisse de la courbe

La courbe passe par O(0, 0), monte jusqu'au maximum M(2, 4/e²) ≈ (2, 0.54), puis redescend vers 0 asymptotiquement. À gauche, elle monte vers +∞. La courbe est toujours positive (f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ).

Problème BAC — étude de f(x) = (1−x)eˣ et aire sous la courbe

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f définie sur ℝ par f(x) = (1 − x)·e^x.

Calculer les limites de f en +∞ et −∞.
Calculer f'(x), étudier son signe, et dresser le tableau de variations.
Montrer que la courbe C_f admet un point d'inflexion que l'on déterminera.
Calculer l'aire A du domaine délimité par C_f, l'axe des abscisses, et les droites x = 0 et x = 2.

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Correction détaillée

1. Limites

En +∞ : (1 − x) → −∞ et e^x → +∞. Forme −∞·(+∞).

f(x) = (1−x)e^x. On a lim_x→+∞ (1−x)e^x = −∞ (car le terme −x·e^x → −∞).

lim_x→+∞ f(x) = −∞

En −∞ : (1 − x) → +∞ et e^x → 0⁺. On sait que e^x → 0 plus vite que 1/|x|.

lim_x→−∞ f(x) = 0 (asymptote y = 0 en −∞).

2. Dérivée et variations

f'(x) = (−1)·e^x + (1 − x)·e^x = e^x(−1 + 1 − x) = −x·e^x

Signe de f'(x) : e^x > 0 toujours. Signe = −signe de x.

f'(x) > 0 pour x < 0 (f croissante)
f'(0) = 0 (maximum en x = 0)
f'(x) < 0 pour x > 0 (f décroissante)

Maximum en x = 0 : f(0) = (1−0)·e⁰ = 1.

3. Point d'inflexion

f''(x) = (−x·e^x)' = −e^x − x·e^x = −(1+x)·e^x

f''(x) = 0 ⟺ −(1+x) = 0 ⟺ x = −1.

f''(x) change de signe en x = −1 (de + à −).

Point d'inflexion en x = −1 : f(−1) = (1−(−1))·e⁻¹ = 2/e.

Point d'inflexion : I(−1, 2/e)

4. Aire entre C_f et l'axe sur [0, 2]

Sur [0, 1] : f(x) = (1−x)e^x ≥ 0 (car 1−x ≥ 0 et e^x > 0).

Sur [1, 2] : f(x) = (1−x)e^x ≤ 0 (car 1−x ≤ 0).

A = ∫₀¹ f(x) dx + |∫₁² f(x) dx|

Calcul de ∫(1−x)e^x dx par IPP : u = 1−x, v' = e^x ⟹ u' = −1, v = e^x.

∫(1−x)e^x dx = (1−x)e^x + ∫e^x dx = (1−x)e^x + e^x = (2−x)e^x + C.

∫₀¹ = [(2−x)e^x]₀¹ = (1·e) − (2·1) = e − 2.

∫₁² = [(2−x)e^x]₁² = (0·e²) − (1·e) = −e.

A = (e − 2) + |−e| = (e − 2) + e = 2e − 2 = 2(e − 1) unités d'aire

Fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Fonction exponentielle

Définition

Propriétés algébriques

Dérivée

Limites

II. Fonction x ↦ ax

III. Équations et inéquations

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Fonctions exponentielles — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Résolution d'équations exponentielles

1.

2.

3.

4.

Inéquations et systèmes exponentiels

1.

2.

3. Système

4. Substitution t = 2x > 0

Modélisation exponentielle

1. Détermination de k

2. N(6)

3. Atteindre 10⁶

4. Temps de doublement

Étude de f(x) = e^(2x−1)

1. Domaine de définition

2. Dérivée

3. Limites

4. Résolution des équations

5. Résolution de f(x) ≥ e³

Équation exponentielle par substitution

1. Substitution t = ex

2. Résolution en t

3. Retour à la variable x

4. Équation e2x − 5ex + 6 = 0

Résolution d'équations exponentielles

1. e2x = 5

2. ex + e−x = 2

3. e2x − 3ex + 2 = 0

Dérivées de fonctions exponentielles composées

1. f(x) = ex²+1

2. g(x) = x²·ex

3. h(x) = esin(x)

4. k(x) = e2x/(1 + e2x)

🟡 Exercices Intermédiaires

Étude de f(x) = x·e<sup>-x</sup>

1.

2.

3.

4.

Étude de f(x) = (x+1)·e<sup>-x</sup>

1. Limites et asymptotes

2. Dérivée

3. Maximum

4. Intégrale par parties

5. Inégalité

Étude complète de f(x) = (x²−1)eˣ

1. Dérivées

2. Tableau de variations

3. Points d'inflexion

4. Limites

5. Calcul de ∫01 f(x) dx

Modèle de croissance bactérienne

1. Détermination de k

2. Temps de doublement

3. Calcul de N(5)

4. Dépassement de 10⁶

Étude de f(x) = eˣ/(1 + eˣ) — domaine, limites, monotonie

1. Domaine de définition

2. Limites

3. Dérivée et signe

II. Fonction x ↦ a^x

4. Substitution t = 2^x > 0

1. Substitution t = e^x

4. Équation e^2x − 5e^x + 6 = 0

1. e^2x = 5

2. e^x + e^−x = 2

3. e^2x − 3e^x + 2 = 0

1. f(x) = e^x²+1

2. g(x) = x²·e^x

3. h(x) = e^sin(x)

4. k(x) = e^2x/(1 + e^2x)

5. Calcul de ∫₀¹ f(x) dx

4. Aire entre C_f et l'axe sur [0, 2]