Équations avec le logarithme népérien

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. $(E_1):{\ln }^2(x)+\ln (x)-2=0$
2. $(E_2):\ln (x-3)+\ln (9-x)=0$

Inéquations avec le logarithme népérien

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

1. $(I_1):\ln (x)-1\ge 0$
2. $(I_2):{\ln }^2(x)-3\ln (x)+2<0$

Limites faisant intervenir $\ln$

Calculer les limites suivantes :

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\ln (x))$
2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}$
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\ln (x^2+1)-x)$

Équations avec changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. $(E_5):{\ln }^2(x)+\ln (x)-2=0$

2. $(E_6):\ln (x-3)+\ln (9-x)=0$

Systèmes avec changement de variable

Résoudre dans ${\mathbb{R}}^2$ les systèmes suivants :

1. $(S_1):\{\begin{array}{l}3\ln x+7\ln y=4\\ 2\ln x+5\ln y=3\end{array}$

2. $(S_2):\{\begin{array}{l}\ln x\cdot \ln y=-10\\ \ln x+\ln y=3\end{array}$

Limites faisant intervenir $\ln$

Calculer les limites suivantes :

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\ln x)$

2. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\ln }^2(x)}{x}$

3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x-1}$

4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\ln (x^2+1)-x)$

5. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x(\ln x{)}^3$

Primitives

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle $I$ indiqué :

1. $f(x)=\frac{x^5}{1+x^6}$ sur $I=\mathbb{R}$ ;

2. $f(x)=\frac{1}{x\ln (x)}$ sur $I=]0;1[$ ;

3. $f(x)=\frac{5x+1}{x^2+x-2}$ sur $I=]1;+\infty [$.

Variations de $f(x)=\frac{-\ln x}{\sqrt{x}}$

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{-\ln x}{\sqrt{x}}$.

1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty [$.

Énoncé

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. $(E_3):\ln (x^2+x+1)=0$

2. $(E_4):(x+2)\ln (x-3)=0$

3. $(E_5):{\ln }^2(x)+\ln (x)-2=0$

4. $(E_6):\ln (x-3)+\ln (9-x)=0$

Énoncé

Résoudre dans ${\mathbb{R}}^2$ les systèmes suivants :

$(S_1):\{\begin{array}{l}3\ln x+7\ln y=4\\ 2\ln x+5\ln y=3\end{array}(S_2):\{\begin{array}{l}\ln x\cdot \ln y=-10\\ \ln x+\ln y=3\end{array}$

Énoncé

Calculer les limites suivantes :

1. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}+\ln x\right)$

2. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x\ln \left(\sqrt[3]{x}\right)}$

3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\ln (x^2+1)-x)$

4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$

5. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x(\ln x{)}^3$

Énoncé

Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :

1. $f(x)=\frac{x^5}{1+x^6}$ sur $I=\mathbb{R}$.

2. $f(x)=\frac{1}{x\ln (x)}$ sur $I=]0;1[$.

3. $f(x)=\frac{x^3+x+4}{x+1}$ sur $I={\mathbb{R}}^{+}$.

4. $f(x)=\frac{5x+1}{x^2+x-2}$ sur $I=]1;+\infty [$.

Calculez la dérivée de $f(x)=\ln (x^2+1)$.

Résolvez l'équation $\ln (x)=2$.

Résolvez l'inéquation ln(x) > 0.

Calculez la limite $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln (x)$.

Calculez la limite $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}$.

Calculez la dérivée de la fonction $f(x)=\ln (x^2)$.

Déterminez la limite $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}$.

Résolvez l'équation ln(x) - ln(3) = 1.

Un produit coûte 100 dirhams. Son prix augmente de 20% par an. Quelle sera la valeur du produit après 5 ans ?

Un produit coûte 100 dirhams. Son prix est multiplié par $e$ chaque année. Quel sera le prix après 3 ans ?

Calculer la limite : $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ ln(x)/x.

Calculer la dérivée de $f(x)=\ln (3x^2+1)$.

Résoudre l'équation ln(2x + 1) = ln(5).

Résoudre l'équation ln(x) - ln(4) = 0.

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction

On considère la fonction g définie sur $]0,+\infty [$ par :

$g(x)=x\cdot \ln (x)-x+1$

1. Calculer les limites de g en $0^{+}$ et en $+\infty$.
2. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour tout $x\in ]0,+\infty [$. Étudier son signe et dresser le tableau de variations de g.
3. Montrer que pour tout $x\in ]0,+\infty [$, $g(x)\ge 0$, avec égalité si et seulement si $x=1$.
4. En déduire que pour tout $x>0$ : $\ln (x)\ge 1-\frac{1}{x}$. Vérifier l'inégalité pour $x=e$.
5. À l'aide de la question 3, démontrer que pour tous réels $a>0$ et $b>0$ : $\ln \left(\frac{a}{b}\right)\ge 1-\frac{b}{a}$.

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction

On considère la fonction g définie sur ]0 ; +$\infty$[ par :

$g(x)=(\ln (x){)}^2-2\ln (x)$

1. Déterminer les limites de g en $0^{+}$ et en +$\infty$.
2. Calculer $g^{\prime }(x)$ et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de g.
3. Déterminer les points d'intersection de la courbe représentative de g avec l'axe des abscisses.
4. Montrer que la tangente à la courbe de g au point d'abscisse $x=1$ est horizontale. Écrire l'équation de cette tangente.
5. Étudier la convexité de g (on calculera $g^{\prime \prime }(x)$) et déterminer les éventuels points d'inflexion.

Exercice 4 — Suite définie par récurrence et logarithme

On définit la suite $(u_n)$ par : $u_0=2$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\ln (u_n+e-1)$.

On note $f$ la fonction définie sur $]1-e,+\infty [$ par $f(x)=\ln (x+e-1)$.

1. Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\ell$, et déterminer sa valeur.
2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\ge 1$.
3. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. Indication : étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$.
4. En déduire que la suite $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite.
5. On pose $v_n=u_n-1$. Montrer que $v_{n+1}\le v_n/2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ (on utilisera l'inégalité $\ln (1+t)\le t$ valable pour $t>-1$). En déduire un encadrement de $u_n-1$.

Exercice 4 — Suite et logarithme

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{1}{u_n}\right)$

On pose $v_n=\ln (u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $u_n>0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ (on pourra raisonner par récurrence).
2. Montrer que $u_n\ge 1$ pour tout $n\ge 1$ en utilisant l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels $a,b>0$, $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$.
3. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ et montrer que la suite $(v_n)$ est décroissante pour $n\ge 1$.
4. Montrer que $(v_n)$ est minorée par $0$ pour $n\ge 1$. En déduire que $(v_n)$ converge. Quelle est la limite de $(u_n)$ ?

Exercice 2 — Étude complète d'une fonction

On définit la fonction g sur $]0,+\infty [$ par :

$g(x)=\frac{2\ln (x)-1}{x}$

On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Limites et asymptotes.

   1. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$. Préciser le comportement de (C) en 0.
   2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$. La droite d'équation $y=0$ est-elle asymptote à (C) en $+\infty$ ? Préciser le signe de $g(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

2. Dérivée et variations.

   1. Montrer que pour tout $x\in ]0,+\infty [$: $g^{\prime }(x)=\frac{3-2\ln (x)}{x^2}$.
   2. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de g. On exprimera le maximum de g sous forme exacte.

3. Équation et inéquation.

   1. Résoudre dans $]0,+\infty [$ l'équation $g(x)=0$.
   2. En utilisant le tableau de variations, résoudre dans $]0,+\infty [$ l'inéquation $g(x)\ge 0$.

4. Tangente.
   Déterminer l'équation de la tangente à (C) au point d'abscisse $x=1$.

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction

On définit la fonction g sur $]0;+\infty [$ par :

$g(x)=x\cdot \ln (x)-x+1$

1. Calculer les limites de g en $0^{+}$ et en $+\infty$. (On rappelle que $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\cdot \ln (x)=0$.)

2. Calculer $g^{\prime }(x)$. Étudier le signe de $g^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de g.

3. Montrer que $g(x)\ge 0$ pour tout $x>0$ et en déduire l'inégalité suivante :

   $\forall x>0,\ln (x)\ge 1-\frac{1}{x}$

4. On pose $h(x)=\frac{\ln (x)}{x-1}$ pour $x>0$ et $x\ne 1$.

   1. Calculer $\underset{x\to 1}{\lim }h(x)$. (On utilisera le résultat de la question 3.)
   2. Montrer que h est strictement décroissante sur $]0;1[$ et sur $]1;+\infty [$.

Exercice 4 — Situation-problème : Croissance démographique

La population d'une ville de la région de Marrakech-Safi est modélisée, en milliers d'habitants, par la fonction :

P(t) = 120 + 80$\cdot$ln(t + 1)

où t désigne le nombre d'années écoulées depuis l'année 2000 (t $\ge$ 0).

1. Quelle était la population de cette ville en l'an 2000 ? Et en 2010 ?

2. Calculer P'(t). Interpréter le résultat en termes de croissance démographique.

3. À quelle date la population dépassera-t-elle 400 000 habitants ? (Donner la réponse en année entière. On rappelle que ln(2) ≈ 0,693 et ln(3) ≈ 1,099.)

4. On note Q(t) le taux de croissance annuel moyen défini par :

   Q(t) = [P(t + 1) − P(t)] / P(t) $\times$ 100 (en %)

   1. Exprimer Q(t) en fonction de t.
   2. Montrer que Q est une fonction décroissante de t pour t $\ge$ 0.
   3. Interpréter ce résultat dans le contexte du problème.

On pose $h(x)=x-1-\ln (x)$ pour $x>0$.

1. Calculer $h^{\prime }(x)$ et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations de $h$ et en déduire que $\ln (x)\le x-1$ pour tout $x>0$.
3. Appliquer l'inégalité avec $x=\frac{1}{2}$ pour comparer $\ln (2)$ et $\frac{1}{2}$.
4. Appliquer l'inégalité avec $x=2$ pour comparer $\ln (2)$ et $\frac{1}{2}$ autrement.