Exercice 2 – Suite géométrique

On considère la suite $(v_n)$ définie par : $v_0=4$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=\frac{3}{2}\times v_n$.

1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer $v_5$. Laisser la réponse sous forme de fraction irréductible.
4. On pose $S_n=v_0+v_1+...+v_n$.
   a) Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
   b) Déterminer la limite de $S_n$ quand $n\to +\infty$. Conclure.

Un particulier place une somme de 20 000 dirhams dans un compte épargne à intérêts composés au taux annuel de 4 %.

On note $v_n$ le capital (en dirhams) disponible sur ce compte au bout de n années.

1. Montrer que la suite ($v_n$) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $v_n$ en fonction de n.
3. Calculer le capital disponible au bout de 5 ans. Arrondir à l'unité.
4. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il au moins doublé ? On utilisera le fait que $\log (1,04)\approx 0,0170$.

Un artisan de Casablanca produit des objets artisanaux. La première semaine, il en produit 12. Chaque semaine suivante, il augmente sa production de 5 objets.

On note $u_n$ le nombre d'objets produits au cours de la (n+1)-ième semaine, avec $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que la suite ($u_n$) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de n.
3. Calculer le nombre total d'objets produits au cours des 10 premières semaines (de la semaine 1 à la semaine 10).
4. À partir de quelle semaine la production hebdomadaire dépasse-t-elle 100 objets ?

Exercice 1 – Suite arithmétique et épargne

Un habitant de Rabat ouvre un plan d'épargne. Le premier mois, il dépose 500 dirhams. Chaque mois suivant, il augmente son dépôt de 150 dirhams par rapport au mois précédent.

On note $u_n$ le montant déposé (en dirhams) au cours du (n+1)-ième mois, de sorte que $u_0=500$.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est arithmétique et préciser sa raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de n.
3. Calculer le montant déposé au cours du 12ème mois.
4. On note $S_n=u_0+u_1+\dots +u_n$ la somme totale épargnée au bout de (n+1) mois.
   a) Exprimer $S_n$ en fonction de n.
   b) Déterminer le plus petit entier n tel que $S_n\ge 30000$ dirhams.

Exercice 1 — Suite arithmétique et épargne

Un habitant de Casablanca décide d'épargner chaque mois une somme d'argent. En janvier (mois n${}^{\circ }$1), il épargne 500 dirhams. Chaque mois suivant, il augmente son épargne de 150 dirhams par rapport au mois précédent.

On note $u_n$ la somme épargnée (en dirhams) au cours du n-ième mois, pour $n\ge 1$.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer la somme totale épargnée au bout de 12 mois (de janvier à décembre).
4. À partir de quel mois son épargne mensuelle dépassera-t-elle 2 000 dirhams ?

Exercice 2 — Suite géométrique et récurrence

On considère la suite $(v_n)$ définie par : $v_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=2\times v_n$.

1. Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$. Quelle conjecture peut-on formuler sur la nature de $(v_n)$ ?
2. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $v_n=3\times 2^n$.
3. Calculer la somme $S_n=v_0+v_1+\dots +v_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_n>10000$.

Un artisan de Rabat fabrique des objets artisanaux. La première semaine, il en produit 12. Chaque semaine suivante, il augmente sa production de 3 objets.

1. Montrer que la suite ($u_n$), où $u_n$ désigne le nombre d'objets produits la semaine de rang n (avec $n\in \mathbb{N}$, $n=0$ correspondant à la première semaine), est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de n.
3. Calculer le nombre total d'objets produits sur les 10 premières semaines (de la semaine 0 à la semaine 9).
4. À partir de quelle semaine la production hebdomadaire dépasse-t-elle 50 objets ?

Un habitant de Casablanca place une somme de 5 000 dirhams dans un compte d'épargne. Chaque année, le capital est multiplié par 1,04 (taux annuel de 4 %).

On note $u_n$ le capital (en dirhams) disponible après n années.

1. Montrer que la suite ($u_n$) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de n.
3. Calculer le capital après 5 ans. Arrondir à la dizaine de dirhams.
4. Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 8 000 dirhams ? (On admettra que $\log (1,6)\approx 0,204$ et $\log (1,04)\approx 0,017$.)

Une entreprise de Casablanca verse à l'un de ses employés un salaire mensuel de 8 000 dirhams lors de son embauche (mois 0). Chaque mois, son salaire augmente de 150 dirhams.

On note $u_n$ le salaire de l'employé au mois n ($n\in \mathbb{N}$).

1. Nature de la suite : Montrer que la suite ($u_n$) est arithmétique. Préciser son premier terme et sa raison.
2. Terme général : Exprimer $u_n$ en fonction de n.
3. Seuil : À partir de quel mois le salaire de l'employé dépassera-t-il 12 500 dirhams ?
4. Somme cumulée : Calculer la somme totale des salaires perçus par l'employé au cours des 24 premiers mois (du mois 0 au mois 23 inclus).

Exercice 1

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n+3$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $(u_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer $u_{20}$.
4. Calculer la somme $S=u_0+u_1+\dots +u_{20}$.

Exercice 2

On considère la suite $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $v_n=4\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Calculer $v_3$ et $v_{10}$.
3. Calculer la somme $S_n=v_0+v_1+...+v_n$.
4. Déterminer la limite de $v_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. La suite est-elle convergente ?

Exercice 2

On considère la suite $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $v_0=4$ et $v_{n+1}=\frac{1}{2}\times v_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer $S_n=v_0+v_1+\dots +v_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
4. Déterminer la limite de $v_n$ et de $S_n$ quand $n\to +\infty$.

Exercice 2

On considère la suite $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par : $v_n=4\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$. La suite est-elle croissante ou décroissante ?
3. Calculer la somme $S_n=v_0+v_1+\dots +v_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer la limite de $v_n$ quand $n\to +\infty$. La suite est-elle convergente ?

Un commerçant de Marrakech place un capital de 20 000 dirhams dans un compte rémunéré à un taux annuel de 5 %.

On note $v_n$ le capital (en dirhams) disponible sur le compte après n années.

1. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. En déduire que ($v_n$) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $v_n$ en fonction de n.
3. Calculer $v_{10}$ (arrondir à l'unité). Le commerçant affirme que son capital aura plus que doublé au bout de 10 ans. A-t-il raison ?
4. Déterminer le plus petit entier n tel que $v_n\ge 60000$. On admettra que $\log (1,05)\approx 0,0212$.

Exercice 1

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n+3$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $(u_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer la somme $S=u_0+u_1+...+u_{19}$.
4. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>200$.

Exercice 1

On considère la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n+3$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $(u_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer la somme $S=u_0+u_1+...+u_{19}$.
4. Déterminer le rang $n$ à partir duquel $u_n>200$.

Exercice 2

Un habitant de Casablanca place un capital de 20 000 dirhams dans une banque qui lui propose un taux d'intérêt annuel de 4 %. Les intérêts sont capitalisés chaque année.

On note $C_n$ le capital disponible (en dirhams) après n années.

1. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire que ($C_n$) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Exprimer $C_n$ en fonction de n.
3. Calculer $C_5$ (arrondir à 2 décimales). Interpréter le résultat.
4. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il au moins doublé ? (On rappelle que $\log (1,04)\approx 0,01703$ et $\log (2)\approx 0,30103$.)

Un employé de banque à Casablanca perçoit un salaire mensuel de 8 000 dirhams la première année. Chaque année, son salaire augmente de 400 dirhams.

On note $u_n$ le salaire mensuel (en dirhams) de cet employé au cours de la (n+1)-ième année, avec $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que la suite ($u_n$) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de n.
3. Au bout de combien d'années le salaire mensuel dépassera-t-il 14 000 dirhams ?
4. Calculer la somme $S=u_0+u_1+\dots +u_{14}$, qui représente la somme des salaires mensuels sur 15 années consécutives.

Exercice — Suites numériques (Niveau : Facile)

Un artisan de Marrakech fabrique des poteries. La première semaine, il produit 12 poteries. Chaque semaine suivante, il produit 3 poteries de plus que la semaine précédente.

On note $u_n$ le nombre de poteries produites lors de la semaine numéro n, avec $n\in \mathbb{N}$ et $n\ge 1$, et on pose $u_1=12$.

1. Nature de la suite :
   a) Montrer que la suite $(u_n)$ est arithmétique et préciser sa raison r et son premier terme $u_1$.
   b) Donner l'expression de $u_n$ en fonction de n.
2. Calculs :
   a) Calculer le nombre de poteries produites lors de la 10ème semaine.
   b) À partir de quelle semaine l'artisan produira-t-il plus de 60 poteries par semaine ?
3. Somme :
   L'artisan vend chaque poterie 85 dirhams. Calculer le chiffre d'affaires total réalisé sur les 8 premières semaines de production.

Exercice 2 — Suite géométrique

On considère la suite $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par : $v_0=4$ et $v_{n+1}=\frac{3}{2}\times v_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer la somme $S_n=v_0+v_1+v_2+\dots +v_n$ en fonction de $n$. On simplifiera le résultat.
4. Étudier le sens de variation de la suite $(v_n)$ et préciser sa limite.

Exercice 1 — Suite arithmétique et épargne

Un artisan de Marrakech décide d'épargner chaque mois une somme fixe supplémentaire. Le premier mois (mois 1), il épargne 500 dirhams. Chaque mois suivant, il augmente son épargne de 150 dirhams.

On note $u_n$ la somme épargnée (en dirhams) au cours du n-ième mois, avec $n\ge 1$.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer la somme totale épargnée au bout de 12 mois (une année complète).
4. À partir de quel mois l'épargne mensuelle dépassera-t-elle 2 000 dirhams ?

Calculer les limites suivantes :

1. $\underset{n\to +\infty }{\lim }(n^3-5n^2-6n+7)$
2. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^2-6n^4}{2n^2+5}$
3. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^2-5n+2}{4-n^3}$
4. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left((n+1{)}^{1/3}-(n-1{)}^{1/3}\right)$
5. Soit $a_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+{\left(\frac{3}{2}\right)}^n$. Calculer sa limite.

On considère les suites :

• $a_n=2\sqrt{n+1}-5$
• $b_n=\frac{5}{4}+\frac{3}{5n+3}$

1. Montrer que $(a_n)$ est croissante.
2. Montrer que $(b_n)$ est décroissante.

Partie 1. Soit $(u_n)$ définie par $u_0=4$ et $u_{n+1}=\frac{1}{4}{u}_n+6$.

1. Montrer par récurrence que $u_n=8-{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$ pour tout $n\ge 1$.

Partie 2. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=1$ et $v_{n+1}=\sqrt{v_n^2+2n+3}$.

2. Montrer que $(v_n^2)$ est arithmétique, puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=3n^2-5n+2$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
2. Calculer $u_{n+1}-u_n$. La suite est-elle arithmétique ?
3. La suite est-elle géométrique ?

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=4$ et de premier terme $u_0=-3$.

1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
2. Calculer $u_{10}$ et $u_{20}$.
3. Calculer $S=u_0+u_1+\dots +u_{20}$.
4. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>100$.

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q=1/2$ et de premier terme $v_0=16$.

1. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
2. Calculer $v_4$ et $v_8$.
3. Calculer $S=v_0+v_1+\dots +v_n$.
4. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.

Énoncé

Pour tout entier $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $u_k=\frac{1}{k(k+1)}$.

1. Vérifier que pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $u_k=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$.

2. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k$. Calculer $S_n$ en fonction de $n$, puis déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=2u_n+3.$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n\ge n$.

2. En déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

Pour tout entier $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $U_k=\frac{1}{k(k+1)}$.

1. Vérifier que pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $U_k=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$.

2. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $S_n=\sum _{k=1}^n{U}_k$.

   1. Calculer $S_n$ en fonction de $n$.

   2. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=2u_n+3$.

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n\ge n$.

2. En déduire la limite de $(u_n)$.

Soit $(u_n)$ la suite définie pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ par :

$u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}.$

Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

Énoncé

Pour tout entier $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $U_k=\frac{1}{k(k+1)}$.

1. Vérifier que pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $U_k=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$.

2. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $S_n=\sum _{k=1}^n{U}_k$.

   1. Calculer $S_n$ en fonction de $n$.

   2. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$.

Énoncé

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=2u_n+3.$

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n\ge n$.

2. En déduire la limite de $(u_n)$.

La suite ($u_n$) est définie par $u_0$ = 5 et u_{n+1} = $u_n$ + 3. Calculez $u_5$.

La suite ($u_n$) est arithmétique avec $u_0$ = 2 et une raison r = 4. Calculez la somme $S_4$ = $u_0$ + $u_1$ + $u_2$ + $u_3$ + $u_4$.

La suite ($u_n$) est donnée par les termes $u_0$ = 7, $u_1$ = 10, et $u_2$ = 13. Quelle est la raison de cette suite ?

La suite ($v_n$) est définie par $v_0$ = 3 et v_{n+1} = 2 $\times$ $v_n$. Calculez $v_4$.

Considérons la suite ($v_n$) définie par $v_0$ = 2 et v_{n+1} = 3 $\times$ $v_n$. Calculez $v_4$ et la somme $S_4$ = $v_0$ + $v_1$ + $v_2$ + $v_3$ + $v_4$.

Soit la suite ($u_n$) définie par $u_0$ = 3 et u_{n+1} = $u_n$ + 5. Calculez $u_5$.

La suite ($w_n$) est définie par $w_0$ = 10 et w_{n+1} = $w_n$ + 4. Montrez que cette suite est croissante.

Soit la suite ($x_n$) définie par $x_0$ = 7 et x_{n+1} = $x_n$ + 3. Calculez la somme $S_3$ = $x_0$ + $x_1$ + $x_2$ + $x_3$.

Une suite arithmétique est définie par $u_0=2$ et $r=4$. Calculez la somme des 6 premiers termes de cette suite.

Soit la suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n+3$. Calculez $u_5$.

Soit la suite arithmétique définie par $u_0=7$ et $r=2$. Calculez la somme des 10 premiers termes $S_{10}$.

Considérez la suite définie par $u_n=\frac{1}{n}$. Déterminez la limite de cette suite lorsque $n\to +\infty$.

Soit la suite définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n$. Calculez $u_4$.

Considérons la suite numérique définie par : $u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n+3$. Calculez le terme $u_5$.

Considérons la suite ($u_n$) définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n+5$. Calculez les cinq premiers termes de la suite.

La suite ($u_n$) est arithmétique avec $u_0=2$ et $r=3$. Calculez $S_5$, la somme des cinq premiers termes de la suite.

Considérons la suite ($v_n$) définie par $v_0=1$ et $v_{n+1}=2\cdot v_n$. Calculez les cinq premiers termes de la suite.

La suite ($v_n$) est géométrique avec $v_0=3$ et $q=2$. Calculez $S_4$, la somme des cinq premiers termes de la suite.