Les suites numériques — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Généralités sur les suites

Définition

Une suite numérique est une application de ℕ (ou une partie de ℕ) dans ℝ. On la note (u_n)_n∈ℕ.

Modes de génération

Forme explicite : u_n = f(n). Exemple : u_n = 2n² + 3n - 1
Forme récurrente : u_n+1 = f(u_n) avec u₀ donné. Exemple : u₀ = 2, u_n+1 = 3u_n - 1

II. Suites arithmétiques

Définition et propriétés

(u_n) est arithmétique de raison r ⇔ ∀n ∈ ℕ : u_n+1 = u_n + r

Terme général : u_n = u₀ + nr = u_p + (n-p)r
Somme : S_n = u₀ + u₁ + ... + u_n = (n+1)(u₀ + u_n)/2
Somme des n premiers entiers : 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

III. Suites géométriques

Définition et propriétés

(u_n) est géométrique de raison q ⇔ ∀n ∈ ℕ : u_n+1 = q · u_n

Terme général : u_n = u₀ · qⁿ = u_p · q^n-p
Somme (q ≠ 1) : S_n = u₀ · (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)
Formule utile : 1 + q + q² + ... + qⁿ = (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q)

IV. Sens de variation

Méthode 1 : Étudier le signe de u_n+1 - u_n
Méthode 2 : Si u_n > 0, comparer u_n+1/u_n à 1
Méthode 3 : Étudier f(x) si u_n = f(n)

V. Convergence des suites

Théorèmes fondamentaux

Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante majorée (resp. décroissante minorée) converge.
Suites adjacentes : Si (u_n) croissante, (v_n) décroissante et lim(v_n - u_n) = 0, alors elles convergent vers la même limite.
Suite géométrique : lim qⁿ = 0 si |q| < 1 ; diverge si |q| ≥ 1 (q ≠ 1)
Limites de référence : lim n^α = +∞ (α > 0) ; lim 1/n^α = 0 (α > 0)

VI. Suites définies par u_n+1 = f(u_n)

Si (u_n) converge vers ℓ et f est continue en ℓ, alors ℓ = f(ℓ).

Pour montrer la convergence : chercher un intervalle stable, montrer la monotonie et les bornes.

🔑 Formules clés à retenir

u_n = u₀ + nr (arithmétique)
S = (n+1)(u₀ + u_n)/2 (somme arithmétique)
u_n = u₀ · qⁿ (géométrique)
S = u₀(1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) (somme géométrique)
|q| < 1 ⇒ lim qⁿ = 0

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Convergence monotone : deux conditions obligatoires : croissante ET majorée (ou décroissante ET minorée). Une suite croissante non majorée diverge vers +∞ !

❌

Point fixe ne garantit pas la convergence : si u_n → ℓ, alors f(ℓ) = ℓ. Mais l'existence d'un point fixe ne prouve pas que la suite converge — il faut aussi montrer la convergence.

❌

Suites adjacentes : vérifier les deux conditions : l'une croissante, l'autre décroissante ET v_n − u_n → 0. Une seule condition ne suffit pas !

🟢 Astuces de pros

✅

Intervalle stable pour u_n+1 = f(u_n) : cherche [a, b] tel que f([a,b]) ⊆ [a,b]. Si f est monotone sur [a,b] et la suite y commence, elle y reste — preuve par récurrence.

✅

Utiliser les suites adjacentes pour encadrer une limite : si (u_n) et (v_n) sont adjacentes et convergent vers ℓ, alors pour tout n : u_n ≤ ℓ ≤ v_n. Très utile pour les approximations numériques.

💡

Croissances comparées en ±∞ : ln(n) << n^α << eⁿ (pour α > 0). Quand n → +∞, l'exponentielle "écrase" toute puissance, qui "écrase" tout logarithme.

Les suites numériques — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

20 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 20 corrigés

🟢 Exercices Faciles

6 exercices

Calcul de termes d'une suite

🟢 Facile

Énoncé

Soit (u_n) la suite définie par u_n = 3n² - 5n + 2.

Calculer u₀, u₁, u₂, u₃ et u₄.
Calculer u_n+1 - u_n. La suite est-elle arithmétique ?
La suite est-elle géométrique ?

Ma réponse

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Correction détaillée

1. Calcul des termes

u₀ = 3(0)² - 5(0) + 2 = 2
u₁ = 3(1)² - 5(1) + 2 = 3 - 5 + 2 = 0
u₂ = 3(4) - 5(2) + 2 = 12 - 10 + 2 = 4
u₃ = 3(9) - 5(3) + 2 = 27 - 15 + 2 = 14
u₄ = 3(16) - 5(4) + 2 = 48 - 20 + 2 = 30

2. u_n+1 - u_n

u_n+1 = 3(n+1)² - 5(n+1) + 2 = 3n² + 6n + 3 - 5n - 5 + 2 = 3n² + n

u_n+1 - u_n = (3n² + n) - (3n² - 5n + 2) = 6n - 2

Cette différence dépend de n, donc la suite n'est pas arithmétique.

3. Test géométrique

u₁ = 0, donc u₂/u₁ n'existe pas. La suite n'est pas géométrique.

Suite arithmétique - Terme général et somme

🟢 Facile

Énoncé

Soit (u_n) une suite arithmétique de raison r = 4 et de premier terme u₀ = -3.

Exprimer u_n en fonction de n.
Calculer u₁₀ et u₂₀.
Calculer S = u₀ + u₁ + ... + u₂₀.
Déterminer le plus petit entier n tel que u_n > 100.

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Correction détaillée

1. Terme général

u_n = u₀ + nr = -3 + 4n = 4n - 3

2. Calcul de u₁₀ et u₂₀

u₁₀ = 4(10) - 3 = 37

u₂₀ = 4(20) - 3 = 77

3. Somme S

S = (21)(u₀ + u₂₀)/2 = 21 × (-3 + 77)/2 = 21 × 74/2 = 21 × 37 = 777

4. u_n > 100

4n - 3 > 100 ⇔ 4n > 103 ⇔ n > 25,75

Le plus petit entier est n = 26 (u₂₆ = 101).

Suite géométrique - Terme général et somme

🟢 Facile

Énoncé

Soit (v_n) une suite géométrique de raison q = 1/2 et de premier terme v₀ = 16.

Exprimer v_n en fonction de n.
Calculer v₄ et v₈.
Calculer S = v₀ + v₁ + ... + v_n.
Calculer lim S_n quand n → +∞.

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Correction détaillée

1. Terme général

v_n = v₀ · qⁿ = 16 · (1/2)ⁿ = 16/2ⁿ = 2^4-n

2. Calcul

v₄ = 16 · (1/2)⁴ = 16/16 = 1

v₈ = 16 · (1/2)⁸ = 16/256 = 1/16

3. Somme

S_n = 16 · (1 - (1/2)ⁿ⁺¹) / (1 - 1/2) = 16 · 2 · (1 - 1/2ⁿ⁺¹) = 32(1 - 1/2ⁿ⁺¹)

4. Limite

|q| = 1/2 < 1, donc lim (1/2)ⁿ⁺¹ = 0

lim S_n = 32(1 - 0) = 32

Limites de suites — calculs directs

🟢 Facile

Énoncé

Calculer les limites suivantes :

lim_n→+∞ (n³ − 5n² − 6n + 7)
lim_n→+∞ (3n² − 6n⁴)/(2n² + 5)
lim_n→+∞ (3n² − 5n + 2)/(4 − n³)
lim_n→+∞ ((n+1)^1/3 − (n−1)^1/3)
Soit a_n = (−1/2)ⁿ + (3/2)ⁿ. Calculer sa limite.

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Correction détaillée

Solution

1. lim (n³ − 5n² − 6n + 7)

Le terme dominant est n³. Donc :

n³ − 5n² − 6n + 7 = n³(1 − 5/n − 6/n² + 7/n³) → +∞.

lim = +∞

2. lim (3n² − 6n⁴)/(2n² + 5)

On factorise par n⁴ au numérateur et n² au dénominateur :

= n⁴(3/n² − 6) / n²(2 + 5/n²) = n²(3/n² − 6)/(2 + 5/n²)

Quand n → +∞ : numérateur ~ −6n² → −∞, dénominateur → 2.

lim = −∞

3. lim (3n² − 5n + 2)/(4 − n³)

Numérateur ~ 3n², dénominateur ~ −n³. Donc le quotient ~ −3/n → 0.

lim = 0

4. lim ((n+1)^1/3 − (n−1)^1/3)

On utilise a − b = (a³ − b³)/(a² + ab + b²) avec a = (n+1)^1/3, b = (n−1)^1/3 :

= ((n+1) − (n−1)) / ((n+1)^2/3 + (n+1)^1/3(n−1)^1/3 + (n−1)^2/3)

= 2 / (3n^2/3(1 + o(1))) → 0.

lim = 0

5. a_n = (−1/2)ⁿ + (3/2)ⁿ

|(−1/2)ⁿ| = (1/2)ⁿ → 0 et (3/2)ⁿ → +∞ car 3/2 > 1.

lim a_n = +∞

Suite croissante et suite décroissante — deux exemples

🟢 Facile

Énoncé

On considère les suites :

a_n = 2√(n+1) − 5
b_n = 5/4 + 3/(5n+3)

Montrer que (a_n) est croissante.
Montrer que (b_n) est décroissante.

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Correction détaillée

Solution

1. (a_n) est croissante

On calcule a_n+1 − a_n :

a_n+1 − a_n = 2√(n+2) − 2√(n+1)

= 2(√(n+2) − √(n+1))

Or √(n+2) > √(n+1) pour tout n ∈ ℕ (la fonction racine est croissante).

Donc a_n+1 − a_n > 0, la suite (a_n) est strictement croissante.

2. (b_n) est décroissante

On calcule b_n+1 − b_n :

b_n+1 − b_n = 3/(5(n+1)+3) − 3/(5n+3) = 3/(5n+8) − 3/(5n+3)

= 3[(5n+3) − (5n+8)] / [(5n+8)(5n+3)]

= 3(−5) / [(5n+8)(5n+3)] = −15 / [(5n+8)(5n+3)]

Pour tout n ∈ ℕ : (5n+8)(5n+3) > 0, donc b_n+1 − b_n < 0.

La suite (b_n) est strictement décroissante.

Suite récurrente — terme général par changement de variable

🟢 Facile

Énoncé

Partie 1. Soit (u_n) définie par u₀ = 4 et u_n+1 = (1/4)u_n + 6.

Montrer par récurrence que u_n = 8 − (1/4)ⁿ⁻¹ pour tout n ≥ 1.

Partie 2. Soit (v_n) définie par v₀ = 1 et v_n+1 = √(v_n² + 2n + 3).

Montrer que (v_n²) est arithmétique, puis exprimer v_n en fonction de n.

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Correction détaillée

Solution

Partie 1 — Récurrence sur u_n

Initialisation : Pour n = 1 : u₁ = (1/4)(4) + 6 = 1 + 6 = 7.

Formule : 8 − (1/4)⁰ = 8 − 1 = 7. ✓

Hérédité : Supposons u_n = 8 − (1/4)ⁿ⁻¹ pour un n ≥ 1. Alors :

u_n+1 = (1/4)u_n + 6 = (1/4)(8 − (1/4)ⁿ⁻¹) + 6

= 2 − (1/4)ⁿ + 6 = 8 − (1/4)ⁿ.

C'est bien la formule au rang n+1. ✓

Partie 2 — Suite arithmétique des v_n²

Posons w_n = v_n². On a :

w_n+1 = v_n+1² = v_n² + 2n + 3 = w_n + (2n+3).

Attention : la raison dépend de n, donc (w_n) n'est pas arithmétique au sens habituel.

On calcule par télescopage : w_n = w₀ + Σ_k=0ⁿ⁻¹(2k+3) = 1 + 2·n(n−1)/2 + 3n = 1 + n² − n + 3n = n² + 2n + 1 = (n+1)².

Donc v_n² = (n+1)², et comme v_n ≥ 0 : v_n = n + 1.

🟡 Exercices Intermédiaires

9 exercices

Suite récurrente - Convergence

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 0 et u_n+1 = √(2u_n + 3).

Montrer que pour tout n ∈ ℕ : 0 ≤ u_n ≤ 3.
Montrer que (u_n) est croissante.
En déduire que (u_n) est convergente et calculer sa limite.

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Correction détaillée

1. Montrons par récurrence que 0 ≤ u_n ≤ 3

Initialisation : u₀ = 0, donc 0 ≤ u₀ ≤ 3. ✓

Hérédité : Supposons 0 ≤ u_n ≤ 3.

Alors 0 ≤ 2u_n ≤ 6, donc 3 ≤ 2u_n + 3 ≤ 9

Donc √3 ≤ √(2u_n + 3) ≤ 3, soit √3 ≤ u_n+1 ≤ 3

En particulier, 0 ≤ u_n+1 ≤ 3. ✓

2. Monotonie

u_n+1 - u_n = √(2u_n + 3) - u_n

Posons f(x) = √(2x + 3) - x sur [0, 3].

f'(x) = 1/√(2x + 3) - 1

f'(x) = 0 ⇔ √(2x + 3) = 1 ⇔ x = -1 ∉ [0, 3]

Sur [0, 3] : f'(x) < 0 (car √(2x+3) ≥ √3 > 1)

f(3) = √9 - 3 = 0 et f est décroissante, donc f(x) ≥ 0 sur [0, 3].

Donc u_n+1 - u_n ≥ 0 : la suite est croissante. ✓

3. Convergence

(u_n) est croissante et majorée par 3, donc elle converge vers ℓ.

Par passage à la limite : ℓ = √(2ℓ + 3)

ℓ² = 2ℓ + 3 ⇔ ℓ² - 2ℓ - 3 = 0 ⇔ (ℓ - 3)(ℓ + 1) = 0

ℓ = 3 ou ℓ = -1. Comme u_n ≥ 0, on a ℓ = 3.

Suite arithmético-géométrique

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = (1/2)u_n + 3.

Montrer que la suite (v_n) définie par v_n = u_n - 6 est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.
Calculer la limite de (u_n).
Calculer S_n = u₀ + u₁ + ... + u_n.

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1. Suite géométrique

v_n+1 = u_n+1 - 6 = (1/2)u_n + 3 - 6 = (1/2)u_n - 3 = (1/2)(u_n - 6) = (1/2)v_n

(v_n) est géométrique de raison q = 1/2 et v₀ = u₀ - 6 = 1 - 6 = -5.

2. Expressions

v_n = v₀ · qⁿ = -5 · (1/2)ⁿ

u_n = v_n + 6 = 6 - 5·(1/2)ⁿ

3. Limite

lim (1/2)ⁿ = 0 (car |1/2| < 1)

lim u_n = 6 - 5 × 0 = 6

4. Somme

S_n = Σ u_k = Σ(6 - 5·(1/2)^k) = 6(n+1) - 5·Σ(1/2)^k

= 6(n+1) - 5 · (1 - (1/2)ⁿ⁺¹)/(1 - 1/2)

= 6(n+1) - 10(1 - (1/2)ⁿ⁺¹)

= 6n + 6 - 10 + 10·(1/2)ⁿ⁺¹ = 6n - 4 + 5·(1/2)ⁿ

Suites adjacentes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

On pose u_n = Σ_k=1ⁿ 1/k² et v_n = u_n + 1/n pour n ≥ 1.

Montrer que (u_n) est croissante.
Montrer que (v_n) est décroissante. (Indication : montrer que 1/(n+1)² < 1/n - 1/(n+1))
Montrer que les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes.
En déduire que (u_n) converge.

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1. (u_n) croissante

u_n+1 - u_n = 1/(n+1)² > 0 pour tout n ≥ 1.

Donc (u_n) est croissante. ✓

2. (v_n) décroissante

v_n+1 - v_n = (u_n+1 + 1/(n+1)) - (u_n + 1/n) = 1/(n+1)² + 1/(n+1) - 1/n

= 1/(n+1)² - (1/n - 1/(n+1)) = 1/(n+1)² - 1/(n(n+1))

= 1/(n+1) · (1/(n+1) - 1/n) = 1/(n+1) · (-1/(n(n+1))) = -1/(n(n+1)²) < 0

Donc (v_n) est décroissante. ✓

3. Suites adjacentes

v_n - u_n = 1/n → 0 quand n → +∞

(u_n) croissante, (v_n) décroissante, lim(v_n - u_n) = 0 : les suites sont adjacentes. ✓

4. Convergence

Par le théorème des suites adjacentes, (u_n) et (v_n) convergent vers la même limite ℓ.

(On sait que ℓ = π²/6 ≈ 1.6449... c'est le problème de Bâle résolu par Euler)

Suite arithmético-géométrique (BAC Rattrapage 2015)

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = 4 et u_n+1 = (2/5)u_n + 3.

Montrer par récurrence que u_n < 5 pour tout n ∈ ℕ.
Vérifier que u_n+1 − u_n = (3/5)(5 − u_n) et en déduire la monotonie de (u_n).
Soit v_n = 5 − u_n. Montrer que (v_n) est géométrique de raison 2/5, puis exprimer u_n en fonction de n.

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Correction détaillée

Solution

1. Récurrence : u_n < 5

Initialisation : u₀ = 4 < 5. ✓

Hérédité : Si u_n < 5, alors u_n+1 = (2/5)u_n + 3 < (2/5)(5) + 3 = 2 + 3 = 5. ✓

2. Monotonie

u_n+1 − u_n = (2/5)u_n + 3 − u_n = −(3/5)u_n + 3 = (3/5)(5 − u_n).

Or u_n < 5 donc 5 − u_n > 0, et (3/5) > 0.

Donc u_n+1 − u_n > 0 : la suite (u_n) est strictement croissante.

3. Suite géométrique (v_n)

v_n = 5 − u_n, donc :

v_n+1 = 5 − u_n+1 = 5 − (2/5)u_n − 3 = 2 − (2/5)u_n = (2/5)(5 − u_n) = (2/5)v_n.

Donc (v_n) est géométrique de raison 2/5, de premier terme v₀ = 5 − 4 = 1.

Ainsi v_n = (2/5)ⁿ, d'où :

u_n = 5 − (2/5)ⁿ

Suite récurrente avec point fixe (BAC 2019)

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = 2 et u_n+1 = (1/2)u_n + 1/7.

Montrer que u_n ≥ 2/7 pour tout n. Montrer que u_n+1 − u_n = −(1/2)(u_n − 2/7), en déduire que (u_n) est décroissante et convergente.
Soit v_n = u_n − 2/7. Calculer v₀, montrer que (v_n) est géométrique de raison 1/2.
En déduire l'expression de u_n en fonction de n et calculer sa limite.

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Correction détaillée

Solution

1. Encadrement et monotonie

Le point fixe satisfait l = (1/2)l + 1/7, soit l/2 = 1/7, donc l = 2/7.

Récurrence u_n ≥ 2/7 : u₀ = 2 ≥ 2/7 ✓. Si u_n ≥ 2/7, alors u_n+1 = (1/2)u_n + 1/7 ≥ (1/2)(2/7) + 1/7 = 1/7 + 1/7 = 2/7 ✓.

u_n+1 − u_n = (1/2)u_n + 1/7 − u_n = −(1/2)u_n + 1/7 = −(1/2)(u_n − 2/7).

Comme u_n ≥ 2/7, on a u_n − 2/7 ≥ 0, donc u_n+1 − u_n ≤ 0 : (u_n) est décroissante, et minorée par 2/7, donc convergente.

2. Suite géométrique (v_n)

v₀ = u₀ − 2/7 = 2 − 2/7 = 12/7.

v_n+1 = u_n+1 − 2/7 = −(1/2)(u_n − 2/7) = (1/2)v_n … Attention :

u_n+1 − 2/7 = (1/2)u_n + 1/7 − 2/7 = (1/2)u_n − 1/7 = (1/2)(u_n − 2/7) = (1/2)v_n.

Donc v_n+1 = (1/2)v_n : suite géométrique de raison 1/2.

3. Expression de u_n et limite

v_n = (12/7)(1/2)ⁿ, donc :

u_n = (12/7)(1/2)ⁿ + 2/7

Comme (1/2)ⁿ → 0, on a lim u_n = 2/7.

Suite définie par une fonction — intervalle stable (BAC)

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit f(x) = 5 − 4/x définie sur [3, 4]. On pose u₀ = 3 et u_n+1 = f(u_n).

Vérifier que f est continue et croissante sur [3, 4], et que f([3, 4]) ⊂ [3, 4].
Montrer par récurrence que u_n ∈ [3, 4] pour tout n. En déduire que (u_n) est croissante et majorée.
Montrer que 0 ≤ 4 − u_n+1 ≤ (1/2)(4 − u_n), puis que 0 ≤ 4 − u_n ≤ (1/2)ⁿ. Calculer la limite de (u_n).

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Solution

1. Étude de f sur [3, 4]

f(x) = 5 − 4/x est continue sur [3,4] (somme de fonctions continues).

f'(x) = 4/x² > 0 : f est strictement croissante.

f(3) = 5 − 4/3 = 11/3 ≈ 3,67 et f(4) = 5 − 1 = 4.

Donc f([3,4]) = [11/3, 4] ⊂ [3, 4]. ✓

2. Récurrence et monotonie

Initialisation : u₀ = 3 ∈ [3,4] ✓.

Hérédité : Si u_n ∈ [3,4], alors u_n+1 = f(u_n) ∈ f([3,4]) ⊂ [3,4] ✓.

Croissance : u₁ = f(3) = 11/3 > 3 = u₀. Si u_n ≤ u_n+1, alors f croissante donne u_n+2 = f(u_n+1) ≥ f(u_n) = u_n+1.

(u_n) est croissante et majorée par 4, donc convergente.

3. Encadrement et limite

4 − u_n+1 = 4 − (5 − 4/u_n) = 4/u_n − 1 = (4 − u_n)/u_n.

Comme u_n ∈ [3,4] : 0 ≤ 4 − u_n+1 = (4 − u_n)/u_n ≤ (4 − u_n)/3 ≤ (1/2)(4 − u_n) (car 1/3 ≤ 1/2). ✓

Par récurrence : 0 ≤ 4 − u_n ≤ (1/2)ⁿ(4 − u₀) = (1/2)ⁿ. ✓

Le théorème des gendarmes donne lim u_n = 4.

Suite avec convergence par inégalité (BAC)

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = (7u_n + 6)/(u_n + 2).

Montrer que u_n > 0 pour tout n ∈ ℕ.
Montrer que |u_n+1 − 6| ≤ (1/2)|u_n − 6|.
En déduire que |u_n − 6| ≤ 5(1/2)ⁿ et que la suite converge vers 6.

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Correction détaillée

Solution

1. u_n > 0

Initialisation : u₀ = 1 > 0 ✓.

Hérédité : Si u_n > 0, alors 7u_n + 6 > 0 et u_n + 2 > 0, donc u_n+1 > 0 ✓.

2. Inégalité clé

u_n+1 − 6 = (7u_n + 6)/(u_n + 2) − 6 = (7u_n + 6 − 6u_n − 12)/(u_n + 2) = (u_n − 6)/(u_n + 2).

Donc |u_n+1 − 6| = |u_n − 6| / (u_n + 2).

Comme u_n > 0, on a u_n + 2 > 2, donc 1/(u_n+2) < 1/2.

Ainsi |u_n+1 − 6| ≤ (1/2)|u_n − 6|. ✓

3. Convergence vers 6

Par récurrence : |u_n − 6| ≤ (1/2)ⁿ|u₀ − 6| = 5(1/2)ⁿ.

Comme 5(1/2)ⁿ → 0, par théorème des gendarmes : |u_n − 6| → 0.

Donc lim u_n = 6. ✓

Suite avec changement 1/u_n — suite arithmétique (BAC)

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = 2 et u_n+1 = (5u_n − 1)/(u_n + 3). On pose f(x) = (5x−1)/(x+3) sur [1, +∞[.

Montrer que f est strictement croissante sur [1, +∞[ et que f([1, +∞[) ⊂ [1, +∞[.
Montrer que f(x) − x = −(x−1)²/(x+3), en déduire que f(x) ≤ x pour x ≥ 1.
Montrer que u_n > 1, que (u_n) est décroissante et convergente. Calculer sa limite.
Soit v_n = 1/(u_n − 1). Montrer que (v_n) est arithmétique de raison 1/4 et exprimer u_n.

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Correction détaillée

Solution

1. f croissante et stable

f'(x) = [(5)(x+3) − (5x−1)(1)] / (x+3)² = (15+1)/(x+3)² = 16/(x+3)² > 0 : f est strictement croissante.

f(1) = (5−1)/(1+3) = 1 et lim_x→+∞ f(x) = 5. Donc f([1,+∞[) = [1, 5) ⊂ [1,+∞[. ✓

2. f(x) ≤ x

f(x) − x = (5x−1)/(x+3) − x = (5x−1 − x²−3x)/(x+3) = (−x²+2x−1)/(x+3) = −(x−1)²/(x+3).

Pour x ≥ 1 : (x−1)² ≥ 0 et (x+3) > 0, donc f(x) − x ≤ 0, soit f(x) ≤ x. ✓

3. Propriétés de (u_n)

u_n > 1 par récurrence : u₀ = 2 > 1. Si u_n > 1, alors u_n+1 = f(u_n) ≥ f(1) = 1 (f croissante), et l'égalité f(x)=1 est atteinte seulement en x=1, donc u_n+1 > 1. ✓

Décroissance : u_n+1 = f(u_n) ≤ u_n. ✓

(u_n) est décroissante et minorée par 1, donc convergente vers l. On a l = f(l), soit l(l+3) = 5l−1, l² − 2l + 1 = 0, (l−1)² = 0. lim u_n = 1.

4. Suite arithmétique (v_n)

v_n+1 = 1/(u_n+1−1) = 1/(f(u_n)−1) = 1/((u_n−1)²/(u_n+3)) ... Calculons f(u_n) − 1 :

f(x) − 1 = (5x−1)/(x+3) − 1 = (4x−4)/(x+3) = 4(x−1)/(x+3).

Donc v_n+1 = (u_n+3)/(4(u_n−1)) = v_n/4 + 3/(4(u_n−1)) = v_n/4 + 3v_n/4 ... Recalculons :

v_n+1 = 1/(u_n+1−1) = (u_n+3)/(4(u_n−1)) = (1/4)·(u_n−1+4)/(u_n−1) = (1/4)(1 + 4·v_n) ...

= (1/4) + v_n/4? Non : v_n+1 = (u_n+3)/(4(u_n−1)) = (u_n−1)/(4(u_n−1)) + 4/(4(u_n−1)) = 1/4 + (1/4)·1/(u_n−1) = 1/4 + v_n/4.

Donc v_n+1 − v_n = 1/4 : (v_n) est arithmétique de raison 1/4.

v₀ = 1/(2−1) = 1, donc v_n = 1 + n/4.

u_n = 1 + 1/v_n = 1 + 4/(4+n), soit u_n = (n+8)/(n+4).

Suite u₀=−3/2 avec encadrement et convergence

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = −3/2 et u_n+1 = (3u_n + 4)/(u_n + 6).

Montrer par récurrence que −4 < u_n < 1 pour tout n ∈ ℕ.
Montrer que (u_n) est croissante, qu'elle est convergente, et calculer sa limite.

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Solution

1. Encadrement −4 < u_n < 1

Initialisation : u₀ = −3/2 : −4 < −3/2 < 1 ✓.

Hérédité : Supposons −4 < u_n < 1.

u_n + 6 > −4 + 6 = 2 > 0, donc on peut diviser.

u_n+1 − 1 = (3u_n+4−u_n−6)/(u_n+6) = (2u_n−2)/(u_n+6) = 2(u_n−1)/(u_n+6).

u_n < 1 ⟹ u_n−1 < 0 et u_n+6 > 0 ⟹ u_n+1−1 < 0 ⟹ u_n+1 < 1. ✓

u_n+1 + 4 = (3u_n+4+4u_n+24)/(u_n+6) = (7u_n+28)/(u_n+6) = 7(u_n+4)/(u_n+6).

u_n > −4 ⟹ u_n+4 > 0 et u_n+6 > 0 ⟹ u_n+1+4 > 0 ⟹ u_n+1 > −4. ✓

2. Croissance, convergence et limite

u_n+1 − u_n = (3u_n+4)/(u_n+6) − u_n = (3u_n+4 − u_n²−6u_n)/(u_n+6) = (−u_n²−3u_n+4)/(u_n+6).

= −(u_n²+3u_n−4)/(u_n+6) = −(u_n+4)(u_n−1)/(u_n+6).

Comme −4 < u_n < 1 : (u_n+4) > 0, (u_n−1) < 0, (u_n+6) > 0.

Donc u_n+1 − u_n = −(+)(−)/(+) > 0 : (u_n) est strictement croissante.

(u_n) est croissante et majorée par 1 : elle converge vers un réel l.

En passant à la limite : l = (3l+4)/(l+6) ⟹ l²+6l = 3l+4 ⟹ l²+3l−4 = 0 ⟹ (l+4)(l−1) = 0.

Comme −4 < u_n < 1, on a l ∈ [−4, 1], donc lim u_n = 1. (La racine l = −4 est exclue car u_n > −4.)

🔴 Exercices Difficiles

5 exercices

Suite et fonction - Étude complète

🔴 Difficile

Énoncé

Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par f(x) = x + 1 - √(x² + 1) et la suite (u_n) définie par u₀ = 2 et u_n+1 = f(u_n).

Étudier les variations de f sur [0, +∞[ et montrer que f([0,+∞[) ⊂ [0, 1].
Montrer que si 0 ≤ x ≤ 2 alors 0 ≤ f(x) ≤ 2.
Montrer que (u_n) est décroissante et minorée. En déduire qu'elle converge.
Calculer la limite de (u_n).
On pose v_n = u_n/(u_n + 1). Montrer que (v_n) est géométrique et en déduire u_n.

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1. Variations de f

f'(x) = 1 - x/√(x² + 1) = (√(x²+1) - x)/√(x²+1)

√(x²+1) > x pour tout x ≥ 0, donc f'(x) > 0 : f est strictement croissante.

f(0) = 0 + 1 - 1 = 0

lim_x→+∞ f(x) = lim (x + 1 - x√(1 + 1/x²)) = lim (x + 1 - x - 1/(2x) + ...) = 1

Donc f est croissante de 0 vers 1 : f([0,+∞[) ⊂ [0, 1[ ✓

2. Stabilité de [0, 2]

f est croissante, f(0) = 0 ≥ 0 et f(2) = 3 - √5 ≈ 0.76 ≤ 2.

Donc 0 ≤ x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ f(x) ≤ f(2) < 2. ✓

3. Monotonie et convergence

u₁ = f(2) = 3 - √5 ≈ 0.76 < 2 = u₀.

Montrons que f(x) < x pour x > 0 :

f(x) < x ⇔ x + 1 - √(x²+1) < x ⇔ 1 < √(x²+1), vrai pour x > 0.

Donc u_n+1 = f(u_n) < u_n : (u_n) est décroissante.

(u_n) est décroissante et minorée par 0, donc elle converge.

4. Limite

ℓ = f(ℓ) ⇒ ℓ = ℓ + 1 - √(ℓ²+1) ⇒ √(ℓ²+1) = 1 ⇒ ℓ² = 0 ⇒ ℓ = 0

5. Suite (v_n)

v_n+1 = u_n+1/(u_n+1 + 1) = f(u_n)/(f(u_n) + 1)

f(u_n) = u_n + 1 - √(u_n² + 1)

f(u_n) + 1 = u_n + 2 - √(u_n² + 1)

Après simplification (multiplier par conjugué) :

v_n+1 = u_n/(u_n+1) · 1/(u_n + 2 - √(u_n²+1)) · (u_n + 1 - √(u_n²+1))

On peut montrer que v_n+1 = v_n · (√(u_n²+1) - u_n)

Ce qui donne v_n géométrique de raison liée à la suite.

Suite u₀=3/2 — géométrique et terme général (BAC 2020)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = 3/2 et u_n+1 = 2u_n/(2u_n + 5).

Calculer u₁.
Montrer par récurrence que u_n > 0 pour tout n ∈ ℕ.
Montrer que 0 < u_n+1 ≤ (2/5)u_n, puis par récurrence que 0 < u_n ≤ (3/2)(2/5)ⁿ. Calculer la limite de (u_n).
Soit v_n = 4u_n/(2u_n+3). Montrer que (v_n) est géométrique de raison 2/5. Calculer v₀, puis exprimer u_n en fonction de n.

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Correction détaillée

Solution

1. Calcul de u₁

u₁ = 2(3/2) / (2(3/2) + 5) = 3 / (3 + 5) = 3/8.

2. u_n > 0 par récurrence

Initialisation : u₀ = 3/2 > 0 ✓.

Hérédité : Si u_n > 0, alors 2u_n > 0 et 2u_n+5 > 0, donc u_n+1 = 2u_n/(2u_n+5) > 0. ✓

3. Encadrement et limite

u_n+1 = 2u_n/(2u_n+5). Comme 2u_n+5 > 5 (car u_n > 0) :

u_n+1 < 2u_n/5 = (2/5)u_n. Et u_n+1 > 0. ✓

Récurrence : 0 < u_n ≤ (3/2)(2/5)ⁿ :

Rang 0 : u₀ = 3/2 = (3/2)(2/5)⁰ ✓. Si 0 < u_n ≤ (3/2)(2/5)ⁿ, alors 0 < u_n+1 ≤ (2/5)u_n ≤ (2/5)(3/2)(2/5)ⁿ = (3/2)(2/5)ⁿ⁺¹ ✓.

Comme (3/2)(2/5)ⁿ → 0 et 0 < u_n ≤ (3/2)(2/5)ⁿ : lim u_n = 0.

4. Suite géométrique (v_n)

v_n+1 = 4u_n+1/(2u_n+1+3) = 4·(2u_n/(2u_n+5)) / (2·2u_n/(2u_n+5) + 3)

= (8u_n/(2u_n+5)) / ((4u_n + 3(2u_n+5))/(2u_n+5))

= 8u_n / (4u_n + 6u_n + 15) = 8u_n / (10u_n + 15) = 8u_n / (5(2u_n+3))

= (2/5) · 4u_n/(2u_n+3) = (2/5)v_n.

Donc (v_n) est géométrique de raison 2/5.

v₀ = 4(3/2)/(2(3/2)+3) = 6/(3+3) = 6/6 = 1.

v_n = (2/5)ⁿ. Or v_n = 4u_n/(2u_n+3), donc 2u_n+3 = 4u_n/v_n, d'où 3 = u_n(4/v_n−2), soit :

u_n = 3v_n/(4−2v_n) = 3(2/5)ⁿ / (4 − 2(2/5)ⁿ)

Suite u_{n+1}=u_n/(3−2u_n) — changement 1/u_n (Session 2021)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = 1/2 et u_n+1 = u_n/(3 − 2u_n).

Calculer u₁.
Montrer par récurrence que 0 < u_n ≤ 1/2 pour tout n ∈ ℕ.
Montrer que u_n+1/u_n ≤ 1/2 et déduire la monotonie de (u_n).
Montrer que 0 < u_n ≤ (1/2)ⁿ⁺¹, en déduire la limite de (u_n).
Vérifier que 1/u_n+1 − 1 = 3(1/u_n − 1). En déduire l'expression exacte de u_n.

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Solution

1. Calcul de u₁

u₁ = (1/2)/(3 − 2·(1/2)) = (1/2)/(3−1) = (1/2)/2 = 1/4.

2. Récurrence 0 < u_n ≤ 1/2

Initialisation : 0 < 1/2 ≤ 1/2 ✓.

Hérédité : Si 0 < u_n ≤ 1/2, alors 3 − 2u_n ≥ 3−1 = 2 > 0, donc u_n+1 > 0. De plus u_n+1 = u_n/(3−2u_n) ≤ (1/2)/(3−2·(1/2)) = (1/2)/2 = 1/4 ≤ 1/2. ✓

3. Rapport et monotonie

u_n+1/u_n = 1/(3−2u_n). Comme u_n ≤ 1/2, on a 3−2u_n ≥ 2, donc u_n+1/u_n ≤ 1/2 < 1.

Donc u_n+1 < u_n : (u_n) est strictement décroissante.

4. Encadrement et limite

Par récurrence : 0 < u_n ≤ (1/2)ⁿ⁺¹ (initialisation : u₀ = 1/2 = (1/2)¹ ✓ ; hérédité : u_n+1 ≤ (1/2)u_n ≤ (1/2)(1/2)ⁿ⁺¹ = (1/2)ⁿ⁺² ✓).

Comme (1/2)ⁿ⁺¹ → 0 : lim u_n = 0.

5. Changement de variable et terme général

1/u_n+1 − 1 = (3−2u_n)/u_n − 1 = 3/u_n − 2 − 1 = 3(1/u_n − 1). ✓

Posons w_n = 1/u_n − 1. Alors w_n+1 = 3w_n : suite géométrique de raison 3.

w₀ = 1/u₀ − 1 = 2 − 1 = 1, donc w_n = 3ⁿ.

1/u_n − 1 = 3ⁿ, soit 1/u_n = 3ⁿ + 1, d'où :

u_n = 1/(3ⁿ + 1)

Suite u₀=1, u_{n+1}=5u_n/(3u_n+5) — changement 5/u_n (BAC)

🔴 Difficile

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = 5u_n/(3u_n + 5).

Montrer que u_n > 0 pour tout n. Montrer que (u_n) est décroissante et convergente.
Soit v_n = 5/u_n. Montrer que (v_n) est arithmétique. En déduire u_n en fonction de n et calculer la limite de (u_n).

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Solution

1. u_n > 0, décroissance et convergence

u_n > 0 par récurrence : u₀ = 1 > 0 ✓. Si u_n > 0, alors 3u_n+5 > 0 et u_n+1 = 5u_n/(3u_n+5) > 0 ✓.

Décroissance : u_n+1/u_n = 5/(3u_n+5). Comme u_n > 0, 3u_n+5 > 5, donc u_n+1/u_n < 1, soit u_n+1 < u_n.

(u_n) est décroissante et minorée par 0, donc convergente.

2. Suite arithmétique (v_n) et terme général

v_n = 5/u_n. Calculons v_n+1 :

v_n+1 = 5/u_n+1 = 5(3u_n+5)/(5u_n) = 3u_n/(u_n) + 5/u_n = 3 + v_n.

Donc v_n+1 − v_n = 3 : (v_n) est arithmétique de raison 3.

v₀ = 5/u₀ = 5/1 = 5, donc v_n = 5 + 3n.

u_n = 5/v_n, soit :

u_n = 5/(3n + 5)

Comme 3n+5 → +∞ : lim u_n = 0.

Suite et raisonnement par récurrence avancé

🔴 Difficile

Énoncé

Soit (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = u_n + 1/u_n.

Montrer que u_n > 0 pour tout n ∈ ℕ.
Montrer que (u_n) est strictement croissante.
Montrer par récurrence que u_n² ≥ 2n + 1 pour tout n ∈ ℕ.
En déduire que lim u_n = +∞.
Montrer que u_n² ≤ 2n + 1 + ln(2n+1) pour tout n ≥ 1. (Bac national)

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1. u_n > 0

u₀ = 1 > 0. Si u_n > 0, alors u_n+1 = u_n + 1/u_n > 0. Par récurrence, u_n > 0. ✓

2. Monotonie

u_n+1 - u_n = 1/u_n > 0 (car u_n > 0)

(u_n) est strictement croissante. ✓

3. Récurrence : u_n² ≥ 2n + 1

Initialisation : u₀² = 1 = 2(0) + 1. ✓

Hérédité : Supposons u_n² ≥ 2n + 1.

u_n+1² = (u_n + 1/u_n)² = u_n² + 2 + 1/u_n²

≥ (2n + 1) + 2 + 0 = 2n + 3 = 2(n+1) + 1. ✓

4. Divergence

u_n² ≥ 2n + 1 → +∞, donc u_n → +∞. ✓

5. Majoration (niveau Bac)

u_n+1² = u_n² + 2 + 1/u_n²

Par la question 3, u_n² ≥ 2n+1, donc 1/u_n² ≤ 1/(2n+1).

u_n+1² ≤ u_n² + 2 + 1/(2n+1)

En sommant (télescopant) de 0 à n-1 :

u_n² ≤ 1 + 2n + Σ_k=0^n-1 1/(2k+1)

Or Σ 1/(2k+1) ≤ Σ ∫_2k^2k+2 dt/t = ∫₀²ⁿ dt/(t+1) ≤ ln(2n+1)

Donc u_n² ≤ 2n + 1 + ln(2n+1). ✓

Les suites numériques

Les suites numériques — Résumé de cours

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Généralités sur les suites

Définition

Modes de génération

II. Suites arithmétiques

Définition et propriétés

III. Suites géométriques

Définition et propriétés

IV. Sens de variation

V. Convergence des suites

Théorèmes fondamentaux

VI. Suites définies par un+1 = f(un)

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Les suites numériques — Fiche d'exercices

✏️ Exercices interactifs

🟢 Exercices Faciles

Calcul de termes d'une suite

1. Calcul des termes

2. un+1 - un

3. Test géométrique

Suite arithmétique - Terme général et somme

1. Terme général

2. Calcul de u10 et u20

3. Somme S

4. un > 100

Suite géométrique - Terme général et somme

1. Terme général

2. Calcul

3. Somme

4. Limite

Limites de suites — calculs directs

Solution

1. lim (n³ − 5n² − 6n + 7)

2. lim (3n² − 6n⁴)/(2n² + 5)

3. lim (3n² − 5n + 2)/(4 − n³)

4. lim ((n+1)1/3 − (n−1)1/3)

5. an = (−1/2)n + (3/2)n

Suite croissante et suite décroissante — deux exemples

Solution

1. (an) est croissante

2. (bn) est décroissante

Suite récurrente — terme général par changement de variable

Solution

Partie 1 — Récurrence sur un

Partie 2 — Suite arithmétique des vn²

🟡 Exercices Intermédiaires

Suite récurrente - Convergence

1. Montrons par récurrence que 0 ≤ un ≤ 3

2. Monotonie

3. Convergence

Suite arithmético-géométrique

1. Suite géométrique

2. Expressions

3. Limite

4. Somme

Suites adjacentes

1. (un) croissante

2. (vn) décroissante

3. Suites adjacentes

4. Convergence

Suite arithmético-géométrique (BAC Rattrapage 2015)

Solution

1. Récurrence : un < 5

2. Monotonie

3. Suite géométrique (vn)

Suite récurrente avec point fixe (BAC 2019)

Solution

1. Encadrement et monotonie

2. Suite géométrique (vn)

3. Expression de un et limite

Suite définie par une fonction — intervalle stable (BAC)

Solution

1. Étude de f sur [3, 4]

2. Récurrence et monotonie

VI. Suites définies par u_n+1 = f(u_n)

2. u_n+1 - u_n

2. Calcul de u₁₀ et u₂₀

4. u_n > 100

4. lim ((n+1)^1/3 − (n−1)^1/3)

5. a_n = (−1/2)ⁿ + (3/2)ⁿ

1. (a_n) est croissante

2. (b_n) est décroissante

Partie 1 — Récurrence sur u_n

Partie 2 — Suite arithmétique des v_n²

1. Montrons par récurrence que 0 ≤ u_n ≤ 3

1. (u_n) croissante

2. (v_n) décroissante

1. Récurrence : u_n < 5

3. Suite géométrique (v_n)

2. Suite géométrique (v_n)

3. Expression de u_n et limite

1. u_n > 0

3. Propriétés de (u_n)

4. Suite arithmétique (v_n)

1. Encadrement −4 < u_n < 1

5. Suite (v_n)

1. Calcul de u₁

2. u_n > 0 par récurrence

4. Suite géométrique (v_n)

1. Calcul de u₁

2. Récurrence 0 < u_n ≤ 1/2

1. u_n > 0, décroissance et convergence

2. Suite arithmétique (v_n) et terme général

1. u_n > 0

3. Récurrence : u_n² ≥ 2n + 1