Théorème de Thalès

نظرية طاليس

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Théorème de Thalès — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

📖 Cours complet

📚 Contenu du cours

I. Droites parallèles et triangles — configuration de Thalès

On considère deux droites (SA) et (SB) sécantes en un point S, coupées par deux droites parallèles. On obtient deux configurations de Thalès :

  • Configuration « triangle » : les parallèles coupent les deux côtés du triangle SAB.
  • Configuration « papillon » (sablier) : S est entre les deux parallèles.

II. Théorème de Thalès

Soient S un point et (d) et (d') deux droites parallèles. Si A, M ∈ (SA) avec M ≠ S, et B, N ∈ (SB) avec N ≠ S, tels que (MN) ∥ (AB), alors :

SM/SA = SN/SB = MN/AB

Ces trois rapports sont égaux : on dit que M et N divisent proportionnellement les côtés du triangle.

Attention : les rapports sont des rapports de longueurs signées (avec signe) dans le cas général. Pour les longueurs positives (cas du triangle simple) : SM/SA = SN/SB.

III. Réciproque du théorème de Thalès

Soient S, A, M trois points alignés (dans cet ordre) et S, B, N trois points alignés. Si :

SM/SA = SN/SB

alors (MN) ∥ (AB).

Utiliser la réciproque pour montrer un parallélisme :

  1. Identifier le sommet S et les deux droites sécantes.
  2. Calculer SM/SA et SN/SB.
  3. Si les deux rapports sont égaux → (MN) ∥ (AB).

IV. Calcul d'une longueur inconnue

Si (MN) ∥ (AB) et qu'on connaît SM, SA, SB, chercher SN :

SM/SA = SN/SB ⇒ SN = SM × SB / SA

De même : MN = AB × SM/SA.

Exemple : SM = 3 cm, SA = 6 cm, SB = 8 cm, (MN) ∥ (AB).

SN/SB = SM/SA = 3/6 = 1/2. SN = 8 × 1/2 = 4 cm.

V. Cas de la droite des milieux

Théorème des milieux : si M et N sont les milieux de [SA] et [SB] dans un triangle SAB, alors (MN) ∥ (AB) et MN = AB/2.

Réciproquement, si (MN) ∥ (AB) et SM = MA, alors SN = NB.

VI. Applications et pièges

Pièges courants :

  • Bien identifier le sommet S (la pointe du triangle ou le point d'intersection).
  • Les longueurs doivent partir du même sommet S dans chaque rapport.
  • Vérifier que les points sont dans le bon ordre sur les droites.
  • Ne pas confondre avec le théorème de Pythagore (triangles rectangles).

🔑 Formules clés à retenir

  • (MN) ∥ (AB) ⇒ SM/SA = SN/SB = MN/AB
  • SM/SA = SN/SB ⇒ (MN) ∥ (AB) (réciproque)
  • SN = SM × SB / SA
  • MN = AB × SM / SA
  • Milieux : MN ∥ AB et MN = AB/2
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Inverser l'ordre des points dans les rapports — SM/SA doit avoir le même sens que SN/SB (du sommet S vers les points). Toujours partir du sommet de la configuration.

❌

Appliquer Thalès sans vérifier le parallélisme — Il faut d'abord confirmer (ou démontrer) que les droites sont parallèles. C'est la condition sine qua non.

❌

Confondre la configuration sécante (droites qui se coupent en S) avec d'autres configurations — Les deux droites coupées doivent passer par le même point S.

🟢 Astuces de pros

✅

Schéma systématique : tracer la figure, identifier S (sommet), les deux droites coupées et les parallèles. Écrire les rapports directement depuis le schéma.

💡

Pour la réciproque, calculer les deux rapports numériquement et vérifier leur égalité. Ne conclure au parallélisme qu'après avoir vérifié.