I. Notion de vecteur
Un vecteur est défini par :
- Une direction (la droite qui le supporte),
- Un sens (l'orientation sur cette droite),
- Une norme (longueur, notée ‖u→‖).
Le vecteur AB→ est le vecteur dont le point de départ est A et le point d'arrivée est B. Sa norme est ‖AB→‖ = AB (distance).
Le vecteur nul, noté 0→, est le vecteur AA→ pour tout point A. Sa norme est 0.
II. Égalité de vecteurs — translation
Deux vecteurs AB→ et CD→ sont égaux (AB→ = CD→) s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Géométriquement : AB→ = CD→ ⇔ ABDC est un parallélogramme (ou A = C et B = D).
Il y a une infinité de représentants d'un même vecteur (un par point de départ). Tous les vecteurs égaux forment un même vecteur « libre ».
La translation de vecteur u→ est la transformation qui associe à tout point M le point M' tel que MM→' = u→.
III. Addition de vecteurs
La somme de deux vecteurs u→ = AB→ et v→ = BC→ est le vecteur :
u→ + v→ = AB→ + BC→ = AC→ (règle de Chasles)
Règle de Chasles : pour tous points A, B, C :
AB→ + BC→ = AC→
Conséquences : AB→ + BA→ = 0→ ; AC→ = AB→ + BC→ = AB→ − CB→.
Pour tout point O : OB→ − OA→ = AB→.
Propriétés de l'addition :
- Commutativité : u→ + v→ = v→ + u→.
- Associativité : (u→ + v→) + w→ = u→ + (v→ + w→).
- Élément neutre : u→ + 0→ = u→.
- Opposé : u→ + (−u→) = 0→, avec −AB→ = BA→.
IV. Multiplication par un scalaire
Soit u→ un vecteur et k un réel. Le vecteur k·u→ est défini par :
- ‖k·u→‖ = |k| · ‖u→‖ (norme multipliée par |k|),
- Même direction que u→,
- Même sens si k > 0, sens opposé si k < 0.
- Si k = 0 ou u→ = 0→, alors k·u→ = 0→.
Colinéarité : deux vecteurs u→ et v→ (non nuls) sont colinéaires ssi il existe un réel k tel que v→ = k·u→.
⇔ ils ont la même direction (ou directions opposées).
Application : A, B, C sont alignés ⇔ AB→ et AC→ sont colinéaires.
V. Coordonnées d'un vecteur
Dans un repère (O ; i→, j→), tout vecteur u→ s'écrit de façon unique :
u→ = x·i→ + y·j→
On note u→(x, y) ou u→ = (x, y). Les réels x et y sont les coordonnées de u→.
Si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors :
AB→ = (xB − xA ; yB − yA)
Calculs avec les coordonnées : si u→(x, y) et v→(x', y') :
- u→ + v→ = (x + x', y + y')
- k·u→ = (kx, ky)
- ‖u→‖ = √(x² + y²)
- u→ = v→ ⇔ x = x' et y = y'
- u→ et v→ colinéaires ⇔ xy' − yx' = 0 (déterminant nul)
VI. Milieu d'un segment
Le milieu I de [AB] vérifie IA→ + IB→ = 0→. Ses coordonnées sont :
xI = (xA + xB)/2, yI = (yA + yB)/2