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Comment réviser le chapitre Vecteurs du plan en 3ème Année Collège ?

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Le chapitre Vecteurs du plan est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Vecteurs du plan fait partie du programme officiel de 3ème Année Collège au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Vecteurs du plan sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Vecteurs du plan sont accessibles gratuitement sur Atlasmaths.

Vecteurs du plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Notion de vecteur

Un vecteur est défini par :

Une direction (la droite qui le supporte),
Un sens (l'orientation sur cette droite),
Une norme (longueur, notée $∥ u ∥$ ).

Le vecteur $A B$ est le vecteur dont le point de départ est A et le point d'arrivée est B. Sa norme est $∥ A B ∥ = A B$ (distance).

Le vecteur nul, noté $0$ , est le vecteur $AA$ pour tout point A. Sa norme est 0.

II. Égalité de vecteurs — translation

Deux vecteurs $A B$ et $C D$ sont égaux ( $A B = C D$ ) s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Géométriquement : $A B = C D \Leftrightarrow$ ABDC est un parallélogramme (ou A = C et B = D).

Il y a une infinité de représentants d'un même vecteur (un par point de départ). Tous les vecteurs égaux forment un même vecteur « libre ».

La translation de vecteur $u$ est la transformation qui associe à tout point M le point M' tel que $M M^{'} = u$ .

III. Addition de vecteurs

La somme de deux vecteurs $u = A B$ et $v = B C$ est le vecteur :

$u + v = A B + B C = A C$ (règle de Chasles)

Règle de Chasles : pour tous points A, B, C :

$A B + B C = A C$

Conséquences : $A B + B A = 0$ ; $A C = A B + B C = A B - C B$ .

Pour tout point O : $O B - O A = A B$ .

Propriétés de l'addition :

Commutativité : $u + v = v + u$ .
Associativité : $(u + v) + w = u + (v + w)$ .
Élément neutre : $u + 0 = u$ .
Opposé : $u + (- u) = 0$ , avec $- A B = B A$ .

IV. Multiplication par un scalaire

Soit $u$ un vecteur et k un réel. Le vecteur $k \cdot u$ est défini par :

$∥ k \cdot u ∥ = ∣ k ∣ \cdot ∥ u ∥$ (norme multipliée par |k|),
Même direction que $u$ ,
Même sens si k > 0, sens opposé si k < 0.
Si k = 0 ou $u = 0$ , alors $k \cdot u = 0$ .

Colinéarité : deux vecteurs $u$ et $v$ (non nuls) sont colinéaires ssi il existe un réel k tel que $v = k \cdot u$ .

$\Leftrightarrow$ ils ont la même direction (ou directions opposées).

Application : A, B, C sont alignés $\Leftrightarrow$ $A B$ et $A C$ sont colinéaires.

V. Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère (O ; $i$ , $j$ ), tout vecteur $u$ s'écrit de façon unique :

$u = x \cdot i + y \cdot j$

On note $u (x, y)$ ou $u = (x, y)$ . Les réels x et y sont les coordonnées de $u$ .

Si $A (x_{A}, y_{A})$ et $B (x_{B}, y_{B})$ , alors :

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$

Calculs avec les coordonnées : si $u (x, y)$ et $v (x^{'}, y^{'})$ :

$u + v = (x + x^{'}, y + y^{'})$
$k \cdot u = (k x, k y)$
$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$
$u = v \Leftrightarrow x = x^{'}$ et $y = y^{'}$
$u$ et $v$ colinéaires $\Leftrightarrow x y^{'} - y x^{'} = 0$ (déterminant nul)

VI. Milieu d'un segment

Le milieu I de [AB] vérifie $I A + I B = 0$ . Ses coordonnées sont :

$x_{I} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}, y_{I} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$

📈 Figure clé

Vecteurs du plan

🔑 Formules clés à retenir

Chasles : $A B + B C = A C$
$O B - O A = A B$
$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$
$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2}$
Colinéaires ⇔ $x y^{'} - y x^{'} = 0$
Milieu I de [AB] : $(x_{I}, y_{I}) = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
$k \cdot u = (k x, k y)$ ; $∥ k \cdot u ∥ = ∣ k ∣ \cdot ∥ u ∥$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Inverser l'ordre de soustraction des coordonnées — $A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ . C'est B moins A, pas A moins B.

❌

Confondre vecteur nul et point origine — Le vecteur nul $0$ a des coordonnées (0, 0) mais il n'est pas un point, c'est un vecteur sans direction.

❌

Oublier que $A B \neq = B A$ — Ces deux vecteurs sont opposés : $B A = - A B$ . La direction est la même, le sens est opposé.

🟢 Astuces de pros

✅

Test de parallélogramme ABCD : ABCD est un parallélogramme si et seulement si $A B = D C$ (pas $C D$ !). Attention à l'ordre des lettres.

💡

Pour la règle de Chasles, penser à un chemin : $A B + B C = A C$ . Le B "se simplifie" : on part de A, on passe par B, on arrive en C.

Vecteurs du plan — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

68 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 68 corrigés

Exercices Faciles

23 exercices

Coordonnées d'un vecteur

Facile

Énoncé

Dans un repère, soient A(2, 1), B(5, 4), C(−1, 3).

Calculer les coordonnées de $A B$ et $A C$ .
Calculer $∥ A B ∥$ .

Ma réponse

Vecteurs du plan

Vecteurs du plan — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. Notion de vecteur

II. Égalité de vecteurs — translation

III. Addition de vecteurs

IV. Multiplication par un scalaire

V. Coordonnées d'un vecteur

VI. Milieu d'un segment

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Vecteurs du plan

Type 1 : Montrer que deux vecteurs sont égaux

Type 2 : Construire la somme de deux vecteurs

Type 3 : Utiliser la relation de Chasles

Type 4 : Lire les coordonnées d'un vecteur

Type 5 : Additionner des vecteurs avec leurs coordonnées

Vecteurs du plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Coordonnées d'un vecteur

Vecteurs et milieu — relation vectorielle

Règle de Chasles

Addition en coordonnées

Milieu d'un segment

Construire des images par translation

Placer des points avec des vecteurs égaux

Compléter des sommes de vecteurs

Translater C(1, 2) par u = AB avec A(0,0), B(3,4)

Comparaison de vecteurs

Norme de AB, points A(1,2) et B(4,6)

AB et CD sont-ils égaux ? A(0,0), B(3,4), C(1,1), D(4,5)

Translation d'un vecteur

Représentation géométrique

Vérification de l'égalité de vecteurs

Définition d'un vecteur

Distance entre deux points

Détermination des coordonnées d'un point

Somme de vecteurs

Calcul de ||AB|| pour A(1,2) et B(4,6)

Introduction aux vecteurs

Norme d'un vecteur nul

Égalité de AB et CD, A(2,3), B(5,7), C(1,1), D(4,5)

Exercices Intermédiaires

Médiane d'un triangle exprimée avec des vecteurs

AB + BA = 0 et parallélogramme ABDC

Colinéarité et alignement

Parallélogramme

Vecteur et barycentre simple

Translation et image

Multiple d'un vecteur et droites parallèles

Milieu et somme de vecteurs

Translation dans un losange

Vecteur égal et parallélogramme

Égalité de vecteurs dans un parallélogramme

Simplifier avec la relation de Chasles

Construire des multiples de vecteurs

Vérifier Chasles pour A(1,2), B(3,5), C(6,7)

Problème de distances

Propriété de la somme des vecteurs

Coordonnées d'un vecteur nul

Déplacement du point A(2, 1) par u = (3, 4)

Détermination d'un vecteur à partir de points

Démonstration de Chasles pour trois points quelconques

Propriété des vecteurs égaux

Translater M(1, 0) par le vecteur u = (3, 2)

Trajet d'un bateau depuis O selon u = (3, 2)

Somme AB + BC avec A(1,1), B(3,4), C(6,8)

Addition de vecteurs simples

Exercices Difficiles

Décomposition de vecteur

Vecteurs et figure géométrique

Vecteurs — point milieu et barycentre

Application à la démonstration géométrique

Centre de gravité G d'un triangle et vecteur nul