Polynômes — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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📚 Contenu du cours

Définition

Un polynôme P(x) est une expression de la forme : P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ où a_n ≠ 0, n est le degré.

Opérations sur les polynômes

Somme : deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q)
Produit : deg(P × Q) = deg P + deg Q

Racines d'un polynôme

a est une racine de P si P(a) = 0. Si a est racine, alors (x - a) divise P(x).

Polynôme du second degré : ax² + bx + c

Discriminant : Δ = b² - 4ac

Δ > 0 : deux racines x₁ = (-b - √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
Δ = 0 : une racine double x₀ = -b/(2a)
Δ < 0 : pas de racine réelle

Factorisation

Δ > 0 : P(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
Δ = 0 : P(x) = a(x - x₀)²

Relations entre coefficients et racines

x₁ + x₂ = -b/a ; x₁ × x₂ = c/a

🔑 Formules clés à retenir

Δ = b² - 4ac
x = (-b ± √Δ) / (2a)
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ × x₂ = c/a

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Mal calculer le discriminant — Δ = b² − 4ac. Attention au signe : si b est négatif, b² est positif. Si ax² + bx + c n'est pas sous forme standard, remettre en ordre d'abord.

❌

Δ = 0 ⇒ une seule racine, pas deux — x = −b/(2a). Ne pas écrire deux racines identiques comme si c'était deux solutions distinctes.

❌

Oublier de mettre sous forme ax² + bx + c = 0 avant d'appliquer la formule — Tout doit être du même côté de l'équation.

🟢 Astuces de pros

✅

Relations de Viète pour vérifier : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Si les racines trouvées ne vérifient pas ces relations, il y a une erreur.

💡

Factorisation rapide : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Très utile pour résoudre les inéquations du 2ème degré ensuite.

Polynômes — Fiche d'exercices

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✏️ Exercices interactifs

16 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 16 corrigés

🟢 Exercices Faciles

5 exercices

Résolution d'équations du 2nd degré

🟢 Facile

Énoncé

Résoudre dans ℝ :

x² - 5x + 6 = 0
2x² + 3x - 2 = 0
x² - 4x + 4 = 0

Ma réponse

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Correction détaillée

1) x² - 5x + 6 = 0

Δ = 25 - 24 = 1 > 0

x₁ = (5 - 1)/2 = 2 et x₂ = (5 + 1)/2 = 3

S = {2, 3}

2) 2x² + 3x - 2 = 0

Δ = 9 + 16 = 25 > 0

x₁ = (-3 - 5)/4 = -2 et x₂ = (-3 + 5)/4 = 1/2

S = {-2, 1/2}

3) x² - 4x + 4 = 0

Δ = 16 - 16 = 0

x₀ = 4/2 = 2 (racine double)

S = {2}

Factorisation complète par le discriminant

🟢 Facile

Énoncé

Pour chacun des trinômes suivants, calculer le discriminant, factoriser complètement, puis donner les racines :

P(x) = 3x² − 7x + 2
Q(x) = x² + 4x + 4
R(x) = 2x² + x + 3

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Correction détaillée

1) P(x) = 3x² − 7x + 2

a = 3, b = −7, c = 2.

Δ = (−7)² − 4 × 3 × 2 = 49 − 24 = 25 > 0.

x₁ = (7 − 5)/6 = 2/6 = 1/3 et x₂ = (7 + 5)/6 = 12/6 = 2.

Factorisation : P(x) = 3(x − 1/3)(x − 2) = (3x − 1)(x − 2)

Vérification : (3x−1)(x−2) = 3x² − 6x − x + 2 = 3x² − 7x + 2 ✓

2) Q(x) = x² + 4x + 4

a = 1, b = 4, c = 4.

Δ = 16 − 16 = 0. Racine double.

x₀ = −4/2 = −2.

Factorisation : Q(x) = (x + 2)²

On reconnaît l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b² avec a = x et b = 2.

3) R(x) = 2x² + x + 3

a = 2, b = 1, c = 3.

Δ = 1 − 24 = −23 < 0.

Δ < 0 : R(x) n'a pas de racine réelle.

Comme a = 2 > 0 et Δ < 0, on a R(x) > 0 pour tout x ∈ ℝ.

R(x) ne se factorise pas sur ℝ.

Polynômes et identités remarquables

🟢 Facile

Énoncé

Développer et simplifier :

(x + 3)(x − 3)
(2x − 1)²
(x² + 2)(x² − 2)
(x + 1)³ (en utilisant (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

Puis factoriser :

4x² − 9
x² + 6x + 9

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Correction détaillée

1) (x + 3)(x − 3)

= x² − 3² = x² − 9 (différence de carrés)

2) (2x − 1)²

= (2x)² − 2(2x)(1) + 1² = 4x² − 4x + 1

3) (x² + 2)(x² − 2)

= (x²)² − 2² = x⁴ − 4

4) (x + 1)³

= x³ + 3x²(1) + 3x(1)² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1

5) Factoriser 4x² − 9

4x² − 9 = (2x)² − 3² = (2x − 3)(2x + 3)

6) Factoriser x² + 6x + 9

x² + 6x + 9 = x² + 2(x)(3) + 3² = (x + 3)²

Division euclidienne de polynômes

🟢 Facile

Énoncé

Effectuer la division euclidienne de A par B :

A = x³ + 2x² − x + 3 par B = x − 1
A = 2x³ − x² + 4 par B = x + 2

Dans chaque cas, écrire A = B × Q + R et vérifier le résultat.

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Correction détaillée

1) A = x³ + 2x² − x + 3 divisé par B = x − 1

On effectue la division :

x³ + 2x² − x + 3 = (x − 1) × Q(x) + R

Étape 1 : x³ ÷ x = x². On pose x²(x − 1) = x³ − x². Reste : (x³ + 2x² − x + 3) − (x³ − x²) = 3x² − x + 3.

Étape 2 : 3x² ÷ x = 3x. On pose 3x(x − 1) = 3x² − 3x. Reste : (3x² − x + 3) − (3x² − 3x) = 2x + 3.

Étape 3 : 2x ÷ x = 2. On pose 2(x − 1) = 2x − 2. Reste : (2x + 3) − (2x − 2) = 5.

Q(x) = x² + 3x + 2, R = 5.

Vérification : (x−1)(x²+3x+2) + 5 = x³+3x²+2x−x²−3x−2+5 = x³+2x²−x+3 ✓

2) A = 2x³ − x² + 4 divisé par B = x + 2

Étape 1 : 2x³ ÷ x = 2x². On pose 2x²(x+2) = 2x³+4x². Reste : (2x³−x²+0·x+4)−(2x³+4x²) = −5x²+4.

Étape 2 : −5x² ÷ x = −5x. On pose −5x(x+2) = −5x²−10x. Reste : (−5x²+0·x+4)−(−5x²−10x) = 10x+4.

Étape 3 : 10x ÷ x = 10. On pose 10(x+2) = 10x+20. Reste : (10x+4)−(10x+20) = −16.

Q(x) = 2x² − 5x + 10, R = −16.

Théorème de Bézout et racines

🟢 Facile

Énoncé

On rappelle le théorème de Bézout : a est racine du polynôme P si et seulement si (x − a) divise P(x).

Vérifier que 2 est racine de P(x) = x³ − 3x² + 4 et factoriser P(x).
Montrer que 1 est racine double de Q(x) = x³ − 3x + 2 et factoriser Q(x).

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Correction détaillée

1) P(x) = x³ − 3x² + 4

P(2) = 8 − 12 + 4 = 0. ✓ Donc (x − 2) divise P(x).

Division de x³ − 3x² + 4 par (x − 2) :

x³ − 3x² + 4 = (x−2)(x² − x − 2) = (x−2)(x−2)(x+1) = (x−2)²(x+1).

Vérif : (x−2)²(x+1) = (x²−4x+4)(x+1) = x³+x²−4x²−4x+4x+4 = x³−3x²+4 ✓

2) Q(x) = x³ − 3x + 2

Q(1) = 1 − 3 + 2 = 0. ✓ Donc (x−1) divise Q(x).

Q'(x) = 3x² − 3. Q'(1) = 3 − 3 = 0. ✓ Donc 1 est racine double.

Division de x³ − 3x + 2 par (x−1)² = x² − 2x + 1 :

x³ − 3x + 2 = (x−1)²(x + 2) = (x−1)²(x+2).

Vérif : (x−1)²(x+2) = (x²−2x+1)(x+2) = x³+2x²−2x²−4x+x+2 = x³−3x+2 ✓

🟡 Exercices Intermédiaires

7 exercices

Factorisation et signe

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6.

Vérifier que 1 est racine de P.
Factoriser P(x) par (x - 1).
Factoriser complètement P(x).
Résoudre P(x) = 0.

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Correction détaillée

1) Vérification

P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓ Donc 1 est racine.

2) Division par (x - 1)

P(x) = (x - 1)(x² - 5x + 6)

Vérification : (x-1)(x²-5x+6) = x³ - 5x² + 6x - x² + 5x - 6 = x³ - 6x² + 11x - 6 ✓

3) Factorisation complète

x² - 5x + 6 : Δ = 25 - 24 = 1, racines : 2 et 3

P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

4) Solutions

P(x) = 0 ⇔ x = 1 ou x = 2 ou x = 3

S = {1, 2, 3}

Factorisation et simplification

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Factoriser : x² - 5x + 6

2) Simplifier : (x² - 9)/(x² - 5x + 6)

3) Soit P(x) = 2x³ - 5x² - 4x + 3. Vérifier que x = 1 est une racine et factoriser P(x).

4) Résoudre : (x-1)(2x+3)(x-2) = 0

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Correction détaillée

1) Factorisation de x² - 5x + 6

On cherche deux nombres dont la somme est -5 et le produit est 6 : -2 et -3

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

2) Simplification

(x² - 9)/(x² - 5x + 6) = (x-3)(x+3) / [(x-2)(x-3)]

= (x+3)/(x-2) (pour x ≠ 3)

3) Racine et factorisation

P(1) = 2(1)³ - 5(1)² - 4(1) + 3 = 2 - 5 - 4 + 3 = -4 ≠ 0

Erreur : x = 1 n'est pas une racine. Cherchons d'autres valeurs.

P(-1) = 2(-1)³ - 5(-1)² - 4(-1) + 3 = -2 - 5 + 4 + 3 = 0 ✓

Donc (x + 1) est un facteur. Par division polynomiale :

P(x) = (x+1)(2x² - 7x + 3) = (x+1)(2x-1)(x-3)

4) Résolution

(x-1)(2x+3)(x-2) = 0

⇒ x = 1 ou x = -3/2 ou x = 2

S = {1, -3/2, 2}

Tableau de signes d'un trinôme

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit T(x) = −2x² + 5x + 3.

Calculer le discriminant et trouver les racines.
Dresser le tableau de signes de T(x).
En déduire l'ensemble des solutions de T(x) ≥ 0.
Résoudre aussi : T(x) < 0.

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Correction détaillée

1) Discriminant et racines

a = −2, b = 5, c = 3.

Δ = 25 − 4 × (−2) × 3 = 25 + 24 = 49 > 0.

x₁ = (−5 − 7)/(−4) = (−12)/(−4) = 3

x₂ = (−5 + 7)/(−4) = 2/(−4) = −1/2

Donc les racines sont x₁ = −1/2 et x₂ = 3 (avec x₁ < x₂).

Factorisation : T(x) = −2(x + 1/2)(x − 3) = −(2x + 1)(x − 3)

2) Tableau de signes

x	−∞	−1/2		3	+∞
a = −2	− − − − − − − − − −
(x + 1/2)	−	0		+	+
(x − 3)	−	−		0	+
T(x)	−	0	+	0	−

Remarque : a < 0, donc T est négatif à l'extérieur des racines et positif entre les racines.

3) T(x) ≥ 0

S = [−1/2, 3]

4) T(x) < 0

S = ]−∞, −1/2[ ∪ ]3, +∞[

Division euclidienne de polynômes

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Effectuer la division euclidienne de P(x) par D(x) et vérifier P(x) = D(x) × Q(x) + R(x) :

P(x) = x³ + 2x² − 5x + 1 par D(x) = x − 1
P(x) = 2x³ − x² + 3x − 4 par D(x) = x + 2

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Correction détaillée

1) P(x) = x³ + 2x² − 5x + 1 divisé par (x − 1)

On peut utiliser le schéma de Horner ou la division polynomiale.

On cherche Q(x) = ax² + bx + c tel que (x−1)(ax²+bx+c) + R = x³+2x²−5x+1.

x³+2x²−5x+1 ÷ (x−1) :

x³ ÷ x = x² ; x²(x−1) = x³−x² ; reste : 3x²−5x+1.

3x² ÷ x = 3x ; 3x(x−1) = 3x²−3x ; reste : −2x+1.

−2x ÷ x = −2 ; −2(x−1) = −2x+2 ; reste : −1.

P(x) = (x−1)(x²+3x−2) + (−1)

Vérification : P(1) = 1+2−5+1 = −1 = reste ✓

2) P(x) = 2x³ − x² + 3x − 4 divisé par (x + 2)

2x³ ÷ x = 2x² ; 2x²(x+2) = 2x³+4x² ; reste : −5x²+3x−4.

−5x² ÷ x = −5x ; −5x(x+2) = −5x²−10x ; reste : 13x−4.

13x ÷ x = 13 ; 13(x+2) = 13x+26 ; reste : −30.

P(x) = (x+2)(2x²−5x+13) + (−30)

Vérification : P(−2) = 2(−8)−4+(−6)−4 = −16−4−6−4 = −30 = reste ✓

Relations coefficients-racines et reconstruction

🟡 Intermédiaire

Énoncé

1) Les racines d'un trinôme ax² + bx + c sont x₁ = 3 et x₂ = −1. Trouver le trinôme si a = 2.

2) On sait que x₁ + x₂ = 5 et x₁ × x₂ = 6. Trouver x₁ et x₂, puis le trinôme.

3) Montrer que si x₁ et x₂ sont les racines de x² + px + q = 0, alors x₁² + x₂² = p² − 2q.

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Correction détaillée

1) Trinôme de racines 3 et −1 avec a = 2

Somme des racines : x₁ + x₂ = 3 + (−1) = 2 = −b/a, donc b = −2a = −4.

Produit des racines : x₁ × x₂ = 3 × (−1) = −3 = c/a, donc c = −3a = −6.

Trinôme : 2x² − 4x − 6 (ou équivalent 2(x−3)(x+1))

Vérification : 2(3)²−4(3)−6 = 18−12−6 = 0 ✓ et 2(−1)²−4(−1)−6 = 2+4−6 = 0 ✓

2) Trouver x₁ et x₂

x₁ et x₂ vérifient : somme = 5 et produit = 6.

Ce sont les racines de X² − 5X + 6 = 0.

Δ = 25 − 24 = 1. X₁ = 2, X₂ = 3.

x₁ = 2, x₂ = 3 et trinôme : X² − 5X + 6

3) Démonstration

Par les relations de Vieta : x₁ + x₂ = −p et x₁ × x₂ = q.

On calcule x₁² + x₂² en développant (x₁ + x₂)² :

(x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂²

Donc x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = (−p)² − 2q = p² − 2q. ∎

Relations coefficients-racines

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Soit P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) ayant deux racines x₁ et x₂.

Rappeler les formules de Vieta : exprimer x₁ + x₂ et x₁ · x₂ en fonction de a, b, c.
Les racines d'un trinôme vérifient x₁ + x₂ = 4 et x₁ · x₂ = 3. Trouver x₁ et x₂, puis écrire le trinôme (avec a = 1).
Calculer x₁² + x₂², x₁³ + x₂³ et 1/x₁ + 1/x₂ à l'aide de x₁ + x₂ = S et x₁x₂ = P.

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Correction détaillée

1) Formules de Vieta

P(x) = a(x − x₁)(x − x₂) = a[x² − (x₁+x₂)x + x₁x₂].

En identifiant avec ax² + bx + c :

x₁ + x₂ = −b/a et x₁ · x₂ = c/a.

2) S = 4, P = 3

x₁ et x₂ sont racines de t² − 4t + 3 = 0. Δ = 16 − 12 = 4.

t = (4 ± 2)/2 ⇒ t = 3 ou t = 1. Donc x₁ = 1, x₂ = 3 et trinôme : x² − 4x + 3.

3) Expressions symétriques

x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂ = S² − 2P.

x₁³ + x₂³ = (x₁+x₂)(x₁²−x₁x₂+x₂²) = S(S²−2P−P) = S(S²−3P).

1/x₁ + 1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂) = S/P (si P ≠ 0).

Décomposition en facteurs irréductibles

🟡 Intermédiaire

Énoncé

Factoriser complètement dans ℝ[x] les polynômes suivants :

P(x) = x⁴ − 5x² + 4
Q(x) = x³ + x² − 4x − 4
R(x) = x⁴ − 1

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Correction détaillée

1) P(x) = x⁴ − 5x² + 4

Poser X = x² : X² − 5X + 4 = 0. Δ = 25 − 16 = 9. X = 4 ou X = 1.

x² = 4 ⇒ x = ±2 ; x² = 1 ⇒ x = ±1.

P(x) = (x−2)(x+2)(x−1)(x+1).

2) Q(x) = x³ + x² − 4x − 4

Chercher une racine entière parmi ±1, ±2, ±4 :

Q(2) = 8 + 4 − 8 − 4 = 0 ✓. Donc (x−2) divise Q(x).

Division : x³ + x² − 4x − 4 = (x−2)(x²+3x+2) = (x−2)(x+1)(x+2).

Q(x) = (x−2)(x+1)(x+2).

3) R(x) = x⁴ − 1

R(x) = (x²)² − 1² = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1).

x² + 1 n'a pas de racine réelle (discriminant < 0). Donc dans ℝ[x] :

R(x) = (x−1)(x+1)(x²+1).

🔴 Exercices Difficiles

4 exercices

Problème avec paramètre

🔴 Difficile

Énoncé

Soit l'équation (E) : x² - 2mx + m + 2 = 0, où m est un paramètre réel.

Calculer le discriminant Δ en fonction de m.
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles (E) admet deux solutions distinctes.
Pour quelles valeurs de m, les deux solutions sont strictement positives ?

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Correction détaillée

1) Discriminant

Δ = (-2m)² - 4(1)(m+2) = 4m² - 4m - 8 = 4(m² - m - 2)

2) Deux solutions distinctes : Δ > 0

m² - m - 2 > 0

Δ' = 1 + 8 = 9, racines : m = (1-3)/2 = -1 et m = (1+3)/2 = 2

(m+1)(m-2) > 0 ⇒ m < -1 ou m > 2

3) Deux solutions strictement positives

Conditions (avec x₁, x₂ les racines) :

Δ > 0 : m < -1 ou m > 2
x₁ + x₂ > 0 : 2m > 0 ⇒ m > 0
x₁ × x₂ > 0 : m + 2 > 0 ⇒ m > -2

Intersection : m > 0 et (m < -1 ou m > 2) et m > -2

⇒ m > 2

Équation du 2nd degré à paramètre

🔴 Difficile

Énoncé

On considère l'équation (E_m) : (m + 1)x² − 2mx + m − 2 = 0, où m est un paramètre réel.

Pour quelle valeur de m l'équation est-elle du premier degré ? Résoudre dans ce cas.
Pour m ≠ −1, calculer le discriminant Δ en fonction de m.
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles (E_m) a deux racines réelles distinctes.
Pour m = 2, résoudre l'équation et vérifier les relations coefficients-racines.

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Correction détaillée

1) Cas du premier degré

L'équation est du 1er degré si le coefficient de x² est nul : m + 1 = 0, soit m = −1.

Pour m = −1 : 0·x² − 2(−1)x + (−1) − 2 = 0 ⇒ 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3/2.

2) Discriminant (m ≠ −1)

a = m + 1, b = −2m, c = m − 2.

Δ = (−2m)² − 4(m+1)(m−2)

= 4m² − 4(m² − 2m + m − 2)

= 4m² − 4(m² − m − 2)

= 4m² − 4m² + 4m + 8

Δ = 4m + 8 = 4(m + 2)

3) Deux racines distinctes : Δ > 0

4(m + 2) > 0 ⇒ m + 2 > 0 ⇒ m > −2.

En excluant m = −1 (cas du 1er degré) :

(E_m) a deux racines réelles distinctes pour m ∈ ]−2, −1[ ∪ ]−1, +∞[.

4) Pour m = 2

a = 3, b = −4, c = 0.

3x² − 4x = 0 ⇒ x(3x − 4) = 0.

x₁ = 0 et x₂ = 4/3.

Vérification des relations :

x₁ + x₂ = 0 + 4/3 = 4/3 = −b/a = 4/3 ✓

x₁ × x₂ = 0 × 4/3 = 0 = c/a = 0/3 = 0 ✓

Polynôme à paramètre

🔴 Difficile

Énoncé

Soit P(x) = x² − (m+2)x + 2m, où m est un paramètre réel.

Calculer le discriminant Δ en fonction de m.
Déterminer les valeurs de m pour lesquelles P a deux racines réelles distinctes, une racine double, ou pas de racine réelle.
Trouver m tel que les racines de P vérifient x₁ + x₂ = 5.
Pour m = 2, factoriser P(x).

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Correction détaillée

1) Discriminant

Δ = (m+2)² − 4·1·2m = m² + 4m + 4 − 8m = m² − 4m + 4 = (m−2)².

2) Nature des racines

Δ = (m−2)² ≥ 0 pour tout m ∈ ℝ.

Δ = 0 ⟺ m = 2 : racine double.

Δ > 0 ⟺ m ≠ 2 : deux racines réelles distinctes.

P n'a jamais de condition d'absence de racines réelles (Δ ≥ 0 toujours).

3) x₁ + x₂ = 5

Par Vieta : x₁ + x₂ = (m + 2)/1 = m + 2.

m + 2 = 5 ⇒ m = 3.

4) P(x) pour m = 2

P(x) = x² − 4x + 4 = (x − 2)².

Racine double : x = 2. P(x) = (x−2)².

Identités remarquables avancées et applications

🔴 Difficile

Énoncé

Développer (a + b + c)² et en déduire une expression de ab + bc + ca.
Factoriser a³ − b³ (en vérifiant que a = b est racine et en divisant).
Application : factoriser 8x³ − 27 et x⁶ − 1.
Montrer que si a + b + c = 0, alors a³ + b³ + c³ = 3abc.

Ma réponse

🤖 Prof Hicham

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Correction détaillée

1) (a + b + c)²

(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca.

Donc ab + bc + ca = [(a+b+c)² − (a²+b²+c²)] / 2.

2) Factorisation de a³ − b³

Pour P(a) = a³ − b³ (vu comme polynôme en a), a = b est racine : b³ − b³ = 0. ✓

Division de a³ − b³ par (a − b) :

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

Vérif : (a−b)(a²+ab+b²) = a³+a²b+ab²−a²b−ab²−b³ = a³−b³ ✓

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

3) Applications

8x³ − 27 = (2x)³ − 3³ = (2x−3)(4x²+6x+9).

x⁶ − 1 = (x²)³ − 1 = (x²−1)(x⁴+x²+1) = (x−1)(x+1)(x⁴+x²+1).

On peut aussi : x⁶−1 = (x³−1)(x³+1) = (x−1)(x²+x+1)(x+1)(x²−x+1).

x⁶−1 = (x−1)(x+1)(x²+x+1)(x²−x+1).

4) a + b + c = 0 ⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc

On utilise l'identité : a³ + b³ + c³ − 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca).

Si a + b + c = 0, alors le membre droit vaut 0, donc a³ + b³ + c³ = 3abc. ∎

Preuve de l'identité : développer (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca) donne a³+b³+c³−3abc. ∎