Transformations du plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. Notion de transformation

Une transformation du plan est une application f : P → P qui, à chaque point M, associe un unique point M' = f(M) appelé image de M. Le point M est appelé antécédent de M'.

On note aussi M $\mapsto$ M'.

II. La translation

Soit $u$ un vecteur du plan. La translation de vecteur $u$ , notée $t_{u}$ , est la transformation qui à tout point M associe M' tel que $M M^{'} = u$ .

Propriétés de la translation :

Conserve les distances (isométrie) : M'N' = MN.
Conserve les angles, les aires, l'alignement, le parallélisme.
Image d'une droite : droite parallèle.
Image d'un cercle de centre $Ω$ et rayon R : cercle de centre $Ω^{'} = t_{u} (Ω)$ et même rayon R.

Expression analytique : dans un repère, si $u (a, b)$ et M(x, y), alors M'(x', y') = $t_{u}$ (M) est donné par :

$x^{'} = x + a, y^{'} = y + b$

III. La symétrie centrale

Soit $Ω$ un point. La symétrie centrale de centre $Ω$ , notée $S_{Ω}$ , est la transformation qui à tout M associe M' tel que $Ω$ soit le milieu de [MM'].

Équivalent : $Ω M^{'} = - Ω M$ .

Une symétrie centrale est une isométrie (conserve les distances, angles, aires). C'est aussi une rotation d'angle $180°$ .

Image d'une droite : droite parallèle. Image d'un cercle : cercle de même rayon.

Expression analytique : si $Ω (a, b)$ , M(x, y), alors M'(x', y') :

$x^{'} = 2 a - x, y^{'} = 2 b - y$

IV. La symétrie axiale (orthogonale)

Soit (Δ) une droite. La symétrie axiale d'axe (Δ), notée $S_{Δ}$ , est la transformation qui à tout M associe M' tel que (Δ) soit la médiatrice de [MM'] (si M ∉ Δ), ou M' = M si M ∈ Δ.

Isométrie. Points fixes : tous les points de (Δ). Image d'une droite (D) : droite (D') ; parallèles ssi (D) $∥$ (Δ) ou (D) = (Δ).

Expression analytique (cas usuels) :

Symétrie par rapport à l'axe (Ox) : $(x, y) \mapsto (x, - y)$ .
Symétrie par rapport à l'axe (Oy) : $(x, y) \mapsto (- x, y)$ .
Symétrie par rapport à la droite $y = x$ : $(x, y) \mapsto (y, x)$ .

V. La rotation

Soient $Ω$ un point et $θ$ un angle orienté. La rotation de centre $Ω$ et d'angle $θ$ , notée $R_{(Ω, θ)}$ , est la transformation qui à tout M $\neq =$ $Ω$ associe M' tel que :

$Ω M^{'} = Ω M$ (conservation de la distance au centre),
$(Ω M, Ω M^{'}) = θ$ (mesure de l'angle orienté).

De plus $R_{(Ω, θ)} (Ω) = Ω$ .

Une rotation est une isométrie. Elle conserve les distances, les angles (et leur orientation), les aires. Image d'une droite : droite (non parallèle en général sauf si $θ$ multiple de $π$ ). Image d'un cercle : cercle de même rayon.

Cas particuliers : $θ = 0$ $\Rightarrow$ identité ; $θ = π$ $\Rightarrow$ symétrie centrale $S_{Ω}$ .

VI. L'homothétie

Soient $Ω$ un point et k un réel non nul. L'homothétie de centre $Ω$ et de rapport k, notée $h_{(Ω, k)}$ , est la transformation qui à tout M associe M' tel que :

$Ω M^{'} = k \cdot Ω M$

Propriétés de l'homothétie $h_{(Ω, k)}$ :

Si $k = 1$ : identité. Si $k = - 1$ : symétrie centrale $S_{Ω}$ .
Multiplie les distances par $∣ k ∣$ : M'N' = $∣ k ∣ \cdot$ MN.
Conserve les angles, l'alignement, le parallélisme.
Image d'une droite : droite parallèle. Image d'un cercle de rayon R : cercle de rayon $∣ k ∣ \cdot R$ .
Multiplie les aires par $k^{2}$ .

Expression analytique : si $Ω (a, b)$ , M(x, y), alors M'(x', y') = $h_{(Ω, k)}$ (M) :

$x^{'} = a + k (x - a), y^{'} = b + k (y - b)$

VII. Récapitulatif — effets sur les figures

Transformation	Distances	Aires	Angles	Droite → droite
Translation	conservées	conservées	conservés	parallèle
Symétrie centrale	conservées	conservées	conservés	parallèle
Symétrie axiale	conservées	conservées	conservés (orientation inversée)	droite
Rotation	conservées	conservées	conservés	droite (image)
Homothétie (k)	× \|k\|	× $k^{2}$	conservés	parallèle

📈 Figure clé

Translation d'un triangle par un vecteur

🔑 Formules clés à retenir

Translation $t_{u}$ : $M M^{'} = u$ ; $x^{'} = x + a, y^{'} = y + b$
Symétrie centrale $S_{Ω}$ : $Ω$ milieu $[M M^{'}]$ ; $x^{'} = 2 a - x, y^{'} = 2 b - y$
Symétrie axiale (Ox) : $(x, y) \mapsto (x, - y)$
Rotation $R_{(Ω, θ)}$ : $Ω M^{'} = Ω M$ et $(Ω M, Ω M^{'}) = θ$
Homothétie $h_{(Ω, k)}$ : $Ω M^{'} = k \cdot Ω M$ ; distances $\times ∣ k ∣$ , aires $\times k^{2}$
Isométries : translation, symétries, rotation (conservent distances)

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Homothétie : les aires sont multipliées par k², pas par k — Si k = 3, les longueurs sont × 3 mais les aires sont × 9. Ne pas confondre l'effet sur les longueurs et sur les surfaces.

❌

Symétrie axiale ≠ symétrie centrale — Axiale : symétrie par rapport à une droite (axe). Centrale : symétrie par rapport à un point (centre). Les formules de coordonnées sont différentes.

❌

La rotation conserve les distances et les angles, pas les orientations — Une rotation directe conserve l'orientation. Une symétrie inverse l'orientation.

🟢 Astuces de pros

✅

Isométries (conservent les distances) : translation, rotation, symétrie axiale, symétrie centrale. L'homothétie de rapport k ≠ ±1 n'est PAS une isométrie.

💡

Pour trouver l'image d'un point, appliquer les formules de coordonnées directement plutôt que de faire une construction géométrique (plus rapide et moins d'erreurs).

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthodes types — Transformations du plan

Type 1 : Construire l'image d'un point par une translation

Quand ? On donne un vecteur $u$ et un point $M$ , et on cherche $M^{'} = t_{u} (M)$ .

Rappelle la définition : $M^{'} = t_{u} (M)$ équivaut à $M M^{'} = u$ .
En coordonnées : si $u (a; b)$ et $M (x; y)$ , alors $M^{'} (x + a; y + b)$ .
Place le point en reportant le vecteur $u$ à partir de $M$ .

Exemple éclair : $u (3; - 1)$ et $M (2; 5)$ donnent $M^{'} (5; 4)$ .

Type 2 : Construire l'image d'un point par une homothétie

Quand ? On donne un centre $O$ , un rapport $k$ et un point $M$ , et on cherche $M^{'} = h (O, k) (M)$ .

Rappelle la définition : $M^{'} = h (O, k) (M)$ équivaut à $O M^{'} = k O M$ .
En coordonnées avec $O (x_{O}; y_{O})$ : $x_{M^{'}} = x_{O} + k (x_{M} - x_{O})$ et $y_{M^{'}} = y_{O} + k (y_{M} - y_{O})$ .
Si $k > 0$ , $M^{'}$ est du même côté que $M$ par rapport à $O$ ; si $k < 0$ , du côté opposé.

Exemple éclair : $O (0; 0)$ , $k = 2$ , $M (1; 3)$ : $O M^{'} = 2 O M$ donc $M^{'} (2; 6)$ .

Type 3 : Construire l'image par une symétrie (centrale ou axiale)

Quand ? On demande l'image d'un point par une symétrie de centre $O$ ou par une symétrie d'axe $(D)$ .

Symétrie centrale de centre $O$ : $M^{'}$ tel que $O$ est le milieu de $[M M^{'}]$ , soit $O M^{'} = - O M$ (c'est l'homothétie de rapport $- 1$ ).
Symétrie axiale d'axe $(D)$ : trace la perpendiculaire à $(D)$ passant par $M$ , $M^{'}$ est le point tel que $(D)$ coupe $[M M^{'}]$ en son milieu et perpendiculairement.
En coordonnées, pour la symétrie centrale : $M^{'} (2 x_{O} - x_{M}; 2 y_{O} - y_{M})$ .

Exemple éclair : symétrie centrale de centre $O (1; 1)$ : image de $M (4; 3)$ est $M^{'} (2 \times 1 - 4; 2 \times 1 - 3) = (- 2; - 1)$ .

Type 4 : Déterminer l'image d'une droite, d'un cercle ou d'un segment

Quand ? On demande l'image d'une figure entière par une transformation.

Utilise la propriété de conservation : translation, homothétie et symétries transforment une droite en droite, un segment en segment, un cercle en cercle.
Pour une droite : transforme deux de ses points, l'image est la droite passant par les deux images.
Pour un cercle : transforme le centre $Ω$ en $Ω^{'}$ . Le rayon est inchangé par translation/symétrie, et multiplié par $∣ k ∣$ par une homothétie de rapport $k$ .

Exemple éclair : par $h (O, 3)$ , un cercle de rayon $2$ a pour image un cercle de rayon $3 \times 2 = 6$ .

Type 5 : Reconnaître une transformation à partir de deux figures

Quand ? On te montre une figure et son image, et on demande quelle transformation les relie.

Compare les longueurs : si elles sont conservées, c'est une translation ou une symétrie ; si elles sont multipliées par $k$ , c'est une homothétie de rapport $k$ .
Pour distinguer translation et symétrie : vérifie si $M M^{'}$ est le même pour tous les points (translation) ou s'il existe un centre/axe fixe (symétrie).
Pour une homothétie : les droites $(M M^{'})$ doivent toutes passer par un même point, le centre $O$ .

Exemple éclair : si $A^{'} B^{'} = 2 A B$ et $(A A^{'})$ , $(B B^{'})$ se coupent en $O$ , c'est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ .

Type 6 : Déterminer le centre ou le rapport d'une homothétie

Quand ? On sait que l'image de $A$ est $A^{'}$ et l'image de $B$ est $B^{'}$ par une homothétie, et on cherche $k$ ou $O$ .

Trouve le rapport : $A^{'} B^{'} = k A B$ , donc $k = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}$ (signé selon le sens des vecteurs).
Trouve le centre $O$ : il vérifie $O A^{'} = k O A$ . Résous cette équation vectorielle pour les coordonnées de $O$ .
Vérifie avec un deuxième point.

Exemple éclair : si $A^{'} B^{'} = 3 A B$ , le rapport vaut $k = 3$ .

Type 7 : Utiliser une transformation pour démontrer (alignement, milieu, parallélisme)

Quand ? On demande de prouver un alignement, un parallélisme ou une conservation d'une propriété via une transformation.

Identifie la transformation $T$ adaptée (souvent une homothétie ou une translation suggérée par l'énoncé).
Applique la propriété correspondante : $T$ conserve l'alignement, le parallélisme, le milieu et les angles.
Rédige : « $T$ transforme tel point en tel point, or $T$ conserve … donc … ».

Exemple éclair : si une homothétie envoie $A$ , $B$ , $C$ sur $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ et que $A$ , $B$ , $C$ sont alignés, alors $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ le sont aussi.

Transformations du plan — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

72 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

25 exercices

Image par une translation

Facile

Énoncé

Soit $u (3, - 2)$ et $M (1, 4)$ . Déterminer les coordonnées de $M^{'} = t_{u} (M)$ .

Ma réponse

Transformations du plan

Transformations du plan — Résumé de cours

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II. La translation

III. La symétrie centrale

IV. La symétrie axiale (orthogonale)

V. La rotation

VI. L'homothétie

VII. Récapitulatif — effets sur les figures

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 Pièges classiques

🟢 Astuces de pros

Méthodes types

Méthodes types — Transformations du plan

Type 1 : Construire l'image d'un point par une translation

Type 2 : Construire l'image d'un point par une homothétie

Type 3 : Construire l'image par une symétrie (centrale ou axiale)

Type 4 : Déterminer l'image d'une droite, d'un cercle ou d'un segment

Type 5 : Reconnaître une transformation à partir de deux figures

Type 6 : Déterminer le centre ou le rapport d'une homothétie

Type 7 : Utiliser une transformation pour démontrer (alignement, milieu, parallélisme)

Transformations du plan — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Image par une translation

Image par symétrie centrale

Symétrie axiale

Homothétie simple

Construire l'image par une homothétie de rapport 2

Énoncé

Translation simple

Translation simple

Translation avec coordonnées

Symétrie centrale

Symétrie centrale avec coordonnées

Translation simple

Translation avec contexte

Symétrie centrale

Symétrie dans un contexte

Translation simple

Symétrie centrale

Translation avec un contexte

Distance et translation

Symétrie centrale avec contexte

Translation simple

Symétrie centrale

Démonstration de la propriété de la translation

Translation et distances

Translation et distances

Symétrie centrale simple

Exercices Intermédiaires

Composition de deux symétries axiales parallèles

Composition symétrie centrale et translation

Image d'une figure par homothétie

Image d'un segment par translation

Image d'un cercle par homothétie

Composition de deux translations

Rotation de 90° au centre O

Homothétie et alignement d'un triangle

Énoncé

Image de deux points et rapport de longueurs

Énoncé

Déterminer le rapport et les images de droites

Énoncé

Translation et distances

Translation et alignement

Symétrie centrale et calcul de distance

Translation avec vecteur

Translation d'une figure

Symétrie et figure géométrique

Problème avec deux transformations

Démonstration d'une propriété

Translation avec coordonnées

Symétrie centrale et cercle

Translation dans un repère

Translation et figure géométrique