Transformations du plan

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Transformations du plan — Résumé de cours

1ère Année Collège — Riyaddiyat.ma

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📚 Contenu du cours

I. Notion de transformation

Une transformation du plan est une application f : P → P qui, à chaque point M, associe un unique point M' = f(M) appelé image de M. Le point M est appelé antécédent de M'.

On note aussi M ↦ M'.

II. La translation

Soit u→ un vecteur du plan. La translation de vecteur u→, notée tu→, est la transformation qui à tout point M associe M' tel que MM'→ = u→.

Propriétés de la translation :

  • Conserve les distances (isométrie) : M'N' = MN.
  • Conserve les angles, les aires, l'alignement, le parallélisme.
  • Image d'une droite : droite parallèle.
  • Image d'un cercle de centre Ω et rayon R : cercle de centre Ω' = tu→(Ω) et même rayon R.

Expression analytique : dans un repère, si u→(a, b) et M(x, y), alors M'(x', y') = tu→(M) est donné par :

x' = x + a,   y' = y + b

III. La symétrie centrale

Soit Ω un point. La symétrie centrale de centre Ω, notée SΩ, est la transformation qui à tout M associe M' tel que Ω soit le milieu de [MM'].

Équivalent : ΩM'→ = −ΩM→.

Une symétrie centrale est une isométrie (conserve les distances, angles, aires). C'est aussi une rotation d'angle 180°.

Image d'une droite : droite parallèle. Image d'un cercle : cercle de même rayon.

Expression analytique : si Ω(a, b), M(x, y), alors M'(x', y') :

x' = 2a − x,   y' = 2b − y

IV. La symétrie axiale (orthogonale)

Soit (Δ) une droite. La symétrie axiale d'axe (Δ), notée SΔ, est la transformation qui à tout M associe M' tel que (Δ) soit la médiatrice de [MM'] (si M ∉ Δ), ou M' = M si M ∈ Δ.

Isométrie. Points fixes : tous les points de (Δ). Image d'une droite (D) : droite (D') ; parallèles ssi (D) ∥ (Δ) ou (D) = (Δ).

Expression analytique (cas usuels) :

  • Symétrie par rapport à l'axe (Ox) : (x, y) ↦ (x, −y).
  • Symétrie par rapport à l'axe (Oy) : (x, y) ↦ (−x, y).
  • Symétrie par rapport à la droite y = x : (x, y) ↦ (y, x).

V. La rotation

Soient Ω un point et θ un angle orienté. La rotation de centre Ω et d'angle θ, notée R(Ω, θ), est la transformation qui à tout M ≠ Ω associe M' tel que :

  • ΩM' = ΩM (conservation de la distance au centre),
  • (ΩM→, ΩM'→) = θ (mesure de l'angle orienté).

De plus R(Ω, θ)(Ω) = Ω.

Une rotation est une isométrie. Elle conserve les distances, les angles (et leur orientation), les aires. Image d'une droite : droite (non parallèle en général sauf si θ multiple de π). Image d'un cercle : cercle de même rayon.

Cas particuliers : θ = 0 ⇒ identité ; θ = π ⇒ symétrie centrale SΩ.

VI. L'homothétie

Soient Ω un point et k un réel non nul. L'homothétie de centre Ω et de rapport k, notée h(Ω, k), est la transformation qui à tout M associe M' tel que :

ΩM'→ = k · ΩM→

Propriétés de l'homothétie h(Ω, k) :

  • Si k = 1 : identité. Si k = −1 : symétrie centrale SΩ.
  • Multiplie les distances par |k| : M'N' = |k|·MN.
  • Conserve les angles, l'alignement, le parallélisme.
  • Image d'une droite : droite parallèle. Image d'un cercle de rayon R : cercle de rayon |k|·R.
  • Multiplie les aires par k².

Expression analytique : si Ω(a, b), M(x, y), alors M'(x', y') = h(Ω, k)(M) :

x' = a + k(x − a),   y' = b + k(y − b)

VII. Récapitulatif — effets sur les figures

TransformationDistancesAiresAnglesDroite → droite
Translationconservéesconservéesconservésparallèle
Symétrie centraleconservéesconservéesconservésparallèle
Symétrie axialeconservéesconservéesconservés (orientation inversée)droite
Rotationconservéesconservéesconservésdroite (image)
Homothétie (k)× |k|× k²conservésparallèle

🔑 Formules clés à retenir

  • Translation tu→ : MM'→ = u→ ; x' = x+a, y' = y+b
  • Symétrie centrale SΩ : Ω milieu [MM'] ; x' = 2a−x, y' = 2b−y
  • Symétrie axiale (Ox) : (x, y) ↦ (x, −y)
  • Rotation R(Ω,θ) : ΩM' = ΩM et (ΩM→, ΩM'→) = θ
  • Homothétie h(Ω,k) : ΩM'→ = k·ΩM→ ; distances × |k|, aires × k²
  • Isométries : translation, symétries, rotation (conservent distances)
⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 Pièges classiques

❌

Homothétie : les aires sont multipliées par k², pas par k — Si k = 3, les longueurs sont × 3 mais les aires sont × 9. Ne pas confondre l'effet sur les longueurs et sur les surfaces.

❌

Symétrie axiale ≠ symétrie centrale — Axiale : symétrie par rapport à une droite (axe). Centrale : symétrie par rapport à un point (centre). Les formules de coordonnées sont différentes.

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La rotation conserve les distances et les angles, pas les orientations — Une rotation directe conserve l'orientation. Une symétrie inverse l'orientation.

🟢 Astuces de pros

✅

Isométries (conservent les distances) : translation, rotation, symétrie axiale, symétrie centrale. L'homothétie de rapport k ≠ ±1 n'est PAS une isométrie.

💡

Pour trouver l'image d'un point, appliquer les formules de coordonnées directement plutôt que de faire une construction géométrique (plus rapide et moins d'erreurs).