Devoir de Positionnement 2BAC SM — Lycée Ibn Arabi 2019 — 2ème Bac SM

1.
Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ $\sqrt{x^2-1}$ − x :

2. Pour n ≥ 4 entier, calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ (xⁿ + 2x³)/(x³ + x²) :

3.
Soit f(x) = ($\sqrt{1+x^2}$−1)/|x| pour x ≠ 0. Quelle valeur f(0) rend f continue en 0 ?

4.
On veut montrer 3×5^(2n−1) + 2^(3n−2) ≡ 0 [17]. Pour n=1 : 3×5¹ + 2¹ = 17. Pour le pas d'hérédité, on utilise :

5.
Soit f : ]5,+∞[ → ]2,+∞[, x ↦ (2x−1)/(x−5). La bijection réciproque f⁻¹(y) est :

6. Pour vérifier que f : ]5,+∞[ → ]2,+∞[ définie par f(x)=(2x−1)/(x−5) est bijective, on vérifie :

7.
Soit la suite ($U_n$) définie par $U_{n+1}$ = n·$U_n$ + a (a réel). Pour étudier la monotonie, on calcule $U_{n+1}$ − $U_n$ :

8. Si a > 0 et U₁ > 0, la suite ($U_n$) définie par $U_{n+1}$ = n$U_n$ + a est :