Examen blanc — 1BAC Sciences Exp n°1

Exercice 1 — Étude d'une fonction (5 points)

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-3}$ et on note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$. (0,5 pt)
2. Calculer $\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)$, puis interpréter graphiquement les résultats obtenus. (1 pt)
3. Calculer $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$. (0,5 pt)
4. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f'(x)=\dfrac{x^2-6x+7}{(x-3)^2}$. (1 pt)
5. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $D_f$. (1,5 pt)
6. On donne $f(1)=0$. Lire graphiquement : pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $f(x)=0$ ? (On rappelle que $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.) (0,5 pt)

Exercice 2 — Suites numériques (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+4$.

On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v_n=u_n-6$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (0,5 pt)
2. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison $q$ et le premier terme $v_0$. (1,5 pt)
3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. (1 pt)
4. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$. (1 pt)
5. Calculer la somme $S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$ en fonction de $n$. (1 pt)

Exercice 3 — Produit scalaire et géométrie analytique (5 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})$.
On considère les points $A(1\,;\,2)$, $B(5\,;\,4)$ et $C(3\,;\,-2)$.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. (0,5 pt)
2. Calculer le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? (1 pt)
3. Calculer les distances $AB$ et $AC$, puis l'aire du triangle $ABC$. (1 pt)
4. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$. (1 pt)
5. Déterminer une équation du cercle $(\Gamma)$ de diamètre $[BC]$. (1,5 pt)

Exercice 4 — Trigonométrie (5 points)

On travaille dans l'intervalle $I=\left]-\pi\,;\,\pi\right]$.

1. Résoudre dans $I$ l'équation : $\cos x=\dfrac{1}{2}$. (1 pt)
2. Résoudre dans $I$ l'équation : $2\sin x-\sqrt{3}=0$. (1 pt)
3. On considère l'équation $(E)$ : $2\cos^2 x-3\cos x+1=0$.
   1. En posant $X=\cos x$, résoudre l'équation du second degré $2X^2-3X+1=0$. (1 pt)
   2. En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ dans $I$. (1,5 pt)
4. Donner les solutions de $\cos x=\dfrac{1}{2}$ dans $\mathbb{R}$. (0,5 pt)