Examen blanc — 1BAC Sciences Exp n°2

Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x-1}.$$ On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. 1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$.
   En déduire que $(\mathcal{C})$ admet une asymptote verticale dont on précisera l'équation.
2. 2. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$.
3. 3. Montrer que pour tout $x\neq 1$ : $f(x)=x-2-\dfrac{1}{x-1}$.
   En déduire que la droite $(D):y=x-2$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
4. 4. Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de $(D)$.
5. 5. Montrer que pour tout $x\neq 1$ : $f'(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$, puis déterminer le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.

Exercice 2 — Suites numériques (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2.$$

1. 1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. 2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_n\gt 4$.
3. 3. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
   En déduire qu'elle est convergente.
4. 4. On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v_n=u_n-4$.
   Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
5. 5. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$, et calculer $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n$.

Exercice 3 — Barycentre et produit scalaire (5 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.
On considère les points $A(1;2)$, $B(5;0)$ et $C(3;4)$.

1. 1. Soit $G$ le barycentre du système $\{(A,1),(B,1),(C,2)\}$.
   Montrer que les coordonnées de $G$ sont $G(3;\tfrac{5}{2})$.
2. 2. Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ et en déduire une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ arrondie au degré.
3. 3. Déterminer une équation cartésienne de l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$, et préciser sa nature.
4. 4. Déterminer l'ensemble $(\Delta)$ des points $M$ tels que $\big(\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}\big)\cdot\vec{AB}=0$.

Exercice 4 — Trigonométrie (5 points)

1. 1. En utilisant une formule d'addition, calculer la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$.
2. 2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2\cos x-\sqrt{3}=0$, puis donner les solutions appartenant à l'intervalle $[0;2\pi[$.
3. 3. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'inéquation $2\sin x-1\gt 0$.
4. 4. Montrer que pour tout réel $x$ : $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos x$.