Examen blanc — 1BAC Sciences Exp n°3

Exercice 1 — Étude d'une fonction (5 points)

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x) = x - 2 + \sqrt{x^2 + 1}$$

On note $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. Justifier que le domaine de définition de $f$ est $D_f = \mathbb{R}$.
2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
3. Montrer que la droite $(\Delta) : y = 2x - 2$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de $+\infty$.
4. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\quad f'(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
5. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ et dresser le tableau de variations de $f$.

Exercice 2 — Suites numériques (5 points)

On considère la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ définie par :

$$u_0 = 1 \qquad \text{et} \qquad u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\,u_n + 4 \quad (n \in \mathbb{N}).$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. On pose $v_n = u_n - 6$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
   Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et préciser $v_0$.
3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
4. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$.
5. Calculer la somme $\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ en fonction de $n$.

Exercice 3 — Géométrie analytique de l'espace (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
On considère les points :

$$A(1,\,0,\,2), \quad B(2,\,1,\,0), \quad C(0,\,2,\,1), \quad D(3,\,3,\,-1).$$

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$.
2. Calculer le produit vectoriel $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$.
3. En déduire que les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, puis déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
4. Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont-ils coplanaires ? Justifier.
5. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.

Exercice 4 — Statistique à deux variables (5 points)

Le tableau suivant donne, pour cinq mois consécutifs, le montant $x$ (en milliers de DH) investi en publicité par une entreprise et son chiffre d'affaires $y$ (en dizaines de milliers de DH) :

1. Calculer les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$.
2. Calculer la variance $V(x)$, la variance $V(y)$ et la covariance $\mathrm{Cov}(x, y)$.
3. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$. Un ajustement affine est-il justifié ?
4. Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés : $y = ax + b$.
5. Estimer le chiffre d'affaires pour un investissement publicitaire de $x = 6$ (milliers de DH).