Examen blanc — 1BAC Sciences Exp n°4

Exercice 1 — Étude d'une fonction (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-3x+4}{x-1}$, définie sur $D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)$. Interpréter géométriquement.
2. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$.
3. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=x-2+\dfrac{2}{x-1}$.
   En déduire que la droite $(\Delta):y=x-2$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
4. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f'(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$.
5. Étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

Exercice 2 — Suites (5 points)

On considère la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ définie par $u_0=5$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+4$.

On pose $v_n=u_n-6$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
4. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
5. Calculer la somme $S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire $T_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$.

Exercice 3 — Produit scalaire et barycentre (5 points)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(1;2)$, $B(5;0)$ et $C(3;4)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.
2. Calculer $AB$ et $AC$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? Calculer une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$.
3. Soit $G$ le barycentre du système $\{(A;2),(B;1),(C;1)\}$.
   Déterminer les coordonnées de $G$.
4. Déterminer et construire l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$.
5. Déterminer l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ tels que $2\,MA^2+MB^2+MC^2=44$, à l'aide du point $G$.

Exercice 4 — Trigonométrie (5 points)

I.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$ les équations suivantes :

1. $2\cos x-\sqrt{3}=0$.
2. $2\sin^2 x-\sin x-1=0$.

II.
On considère l'expression $E(x)=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$.

3. Montrer que $E(x)=\cos x$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
4. Résoudre dans $[0\,;\,2\pi[$ l'équation $E(x)=\dfrac{1}{2}$.