Examen blanc — 1BAC Sciences Exp n°5

Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ par : $$f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 1}{x - 1}.$$

On note $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)$.
   En déduire que $(\mathcal{C}_f)$ admet une asymptote verticale dont on précisera l'équation.
2. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
3. Montrer que pour tout $x \in D_f$ : $f(x) = x - 2 + \dfrac{-1}{x - 1}$.
   En déduire que la droite $(\Delta) : y = x - 2$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C}_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
4. Étudier la position relative de $(\mathcal{C}_f)$ et de $(\Delta)$.
5. Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in D_f$ et montrer que $f'(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2}$.
6. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.

Exercice 2 — Suites numériques (5 points)

On considère la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\, u_n + 2.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n \lt 4$.
3. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_n = u_n - 4$.
   Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
4. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
5. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$.
6. Calculer, en fonction de $n$, la somme $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n$.

Exercice 3 — Géométrie analytique de l'espace (5 points)

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1\,;\,0\,;\,2)$, $B(2\,;\,1\,;\,0)$ et $C(0\,;\,3\,;\,1)$.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Calculer le produit vectoriel $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$.
   En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
3. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $5x + 3y + 4z - 13 = 0$.
4. Calculer la distance du point $D(1\,;\,1\,;\,1)$ au plan $(ABC)$.
5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$.

Exercice 4 — Trigonométrie (5 points)

Partie A.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $2\cos(x) - 1 = 0$, puis donner les solutions dans l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$.
2. Résoudre dans l'intervalle $[0\,;\,2\pi[$ l'inéquation : $2\cos(x) - 1 \gt 0$.

Partie B.

3. Démontrer, à l'aide des formules d'addition, l'identité : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) + \sin\!\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin(x)$.
4. En déduire la résolution dans $[0\,;\,2\pi[$ de l'équation : $\sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) + \sin\!\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$.