Examen blanc — 1BAC Sciences Exp n°6

Exercice 1 — Étude d'une fonction (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$.

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$ et justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
2. Calculer $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.
3. Calculer $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$. (On pourra écrire $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}$.)
4. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}$.
5. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.

Exercice 2 — Suites (5 points)

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. On pose $v_n=u_n-6$.
   Montrer que $(v_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$.
5. Calculer la somme $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$ en fonction de $n$.

Exercice 3 — Produit scalaire dans le plan (5 points)

Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=5$, $AC=8$ et l'angle $\widehat{BAC}=60^{\circ}$.
On munit le plan d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. Calculer le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.
2. En utilisant la relation d'Al-Kashi, calculer la longueur $BC$.
3. On considère désormais les points $A(1;2)$, $B(4;6)$ et $C(-2;3)$.
   Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ par les coordonnées.
4. Déterminer une équation cartésienne du cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre $[AB]$ (avec $A(1;2)$, $B(4;6)$).

Exercice 4 — Statistique à deux variables (4 points)

Le tableau suivant donne, pour $5$ semaines, le nombre $x$ d'heures de révision et la note $y$ obtenue (sur 20) par un élève :

1. Calculer les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$.
2. Calculer la covariance $\mathrm{cov}(x,y)$ ainsi que les variances $V(x)$ et $V(y)$.
3. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$. Interpréter.
4. Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ : $y=ax+b$. Estimer la note pour $x=6$ heures.