Examen blanc — 1BAC Sciences Maths n°1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-3x+4}{x-1}$ pour $x\neq 1$.

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$.
2. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$.
   En déduire que la droite d'équation $x=1$ est une asymptote à $(\mathcal{C})$.
3. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$.
4. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=x-2+\dfrac{2}{x-1}$.
   En déduire que la droite $(\Delta):\ y=x-2$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$.
5. Étudier la dérivabilité de $f$ et montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f'(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$.
6. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
7. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $x_0=2$.

On considère la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par : $u_0=3$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_n\gt 2$.
3. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
4. On pose pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v_n=u_n-2$.
   Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
5. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
6. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n$.
7. Calculer $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$ en fonction de $n$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
On considère les points $A(1,2)$, $B(5,4)$ et $C(3,-2)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.
2. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ (arrondie au degré).
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
4. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur $(h)$ issue de $C$ dans le triangle $ABC$ (droite passant par $C$ et orthogonale à $(AB)$).
5. Déterminer une équation du cercle $(\Gamma)$ de diamètre $[BC]$.
6. Déterminer et caractériser l'ensemble $(E)$ des points $M(x,y)$ du plan tels que $\vec{MB}\cdot\vec{MC}=0$.

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $4$ boules rouges, $3$ boules vertes et $3$ boules noires.
On tire simultanément $3$ boules de l'urne.

1. Déterminer le nombre total de tirages possibles.
2. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « les trois boules tirées sont de la même couleur ».
3. Calculer la probabilité de l'événement $B$ : « les trois boules tirées sont de trois couleurs différentes ».
4. Calculer la probabilité de l'événement $C$ : « obtenir exactement deux boules rouges ».
5. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.
   Déterminer la loi de probabilité de $X$.
6. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.