Examen blanc — 1BAC Sciences Maths n°2

Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ par :

$$f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 1}{x - 1}.$$

On note $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^{+}} f(x)$.
   En déduire que $(\mathcal{C}_f)$ admet une asymptote verticale dont on précisera l'équation.
2. Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ tels que, pour tout $x \in D_f$ : $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - 1}.$
3. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
4. Montrer que la droite $(\Delta) : y = x - 2$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C}_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis étudier la position relative de $(\mathcal{C}_f)$ et $(\Delta)$.
5. Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in D_f$ et dresser le tableau de variations de $f$.
6. Montrer que le point $I(1 ; -1)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$.

Exercice 2 — Suites numériques (5 points)

On considère la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,u_n + 3.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. On pose $v_n = u_n - 6$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
   Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
4. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$.
5. On pose $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_k = v_0 + v_1 + \dots + v_n$.
   Calculer $S_n$ en fonction de $n$, puis $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n$.
6. On pose $T_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k$.
   Exprimer $T_n$ en fonction de $n$.

Exercice 3 — Barycentre et produit scalaire (5 points)

Dans le plan orienté muni d'un repère orthonormé, on considère trois points $A$, $B$, $C$ tels que $AB = 4$, et $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.

1. Soit $G$ le barycentre du système $\{(A, 2), (B, 1), (C, 1)\}$.
   Exprimer $\vec{AG}$ en fonction de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Soit $I$ le milieu de $[BC]$.
   Montrer que $G$ est le barycentre de $\{(A, 2), (I, 2)\}$, puis en déduire que $G$ est le milieu de $[AI]$.
3. Pour tout point $M$ du plan, réduire le vecteur $\vec{u}(M) = 2\,\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}$ en fonction de $\vec{MG}$.
4. Déterminer puis caractériser l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que : $\left\| 2\,\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} \right\| = 8.$
5. On suppose de plus que $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6$.
   Déterminer l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ tels que : $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = \vec{MA}\cdot\vec{MC}.$

Exercice 4 — Trigonométrie (5 points)

Partie A. On considère l'équation, d'inconnue $x \in \mathbb{R}$ :

$$(E) : \quad \cos\!\left(2x\right) + \cos\!\left(x\right) = 0.$$

1. Montrer que $(E)$ équivaut à $2\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0.$
2. En posant $t = \cos(x)$, résoudre l'équation $2t^2 + t - 1 = 0$.
3. Résoudre $(E)$ dans $\mathbb{R}$, puis donner les solutions appartenant à $[0 ; 2\pi[$.

Partie B.

4. Calculer la valeur exacte de $\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ en utilisant $\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}$ et la formule d'addition du cosinus.
5. Résoudre dans $[0 ; 2\pi[$ l'inéquation : $2\cos(x) - 1 \geq 0.$