Examen blanc — 1BAC Sciences Maths n°3

Exercice 1 — Limites, continuité et dérivabilité (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x} & \text{si } x \gt 0 \\[2mm] \dfrac{x^{2}+ax}{x-2} & \text{si } x \leq 0 \end{cases}$$

où $a$ est un réel.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Montrer que pour tout $x \gt 0$ : $\;f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}$.
2. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)$.
3. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}} f(x)$ (en fonction de $a$ si nécessaire), puis déterminer la valeur de $a$ pour laquelle $f$ est continue en $0$.
4. On prend désormais $a=-1$.
   Étudier la dérivabilité de $f$ à droite et à gauche en $0$, puis conclure quant à la dérivabilité de $f$ en $0$. Interpréter géométriquement le résultat.
5. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)$ et interpréter graphiquement.

Exercice 2 — Suites numériques (5 points)

On considère la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par :

$$u_0=0 \qquad \text{et} \qquad u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}\quad \text{pour tout } n\in\mathbb{N}.$$

On pose $f(x)=\sqrt{x+6}$ pour $x\geq -6$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $\;0 \leq u_n \leq 3$.
2. Étudier le signe de $f(x)-x$ sur $[0,3]$, puis en déduire que la suite $(u_n)$ est croissante.
3. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
4. On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=3-u_n$.
   Montrer que pour tout $n$ : $\;0\leq v_{n+1}\leq \dfrac{1}{5}\,v_n$.
5. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $\;0\leq 3-u_n \leq \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}\!\cdot 3$, puis retrouver la limite de $(u_n)$.

Exercice 3 — Géométrie analytique du plan (5 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.
On considère les points $A(1;2)$, $B(5;4)$ et $C(3;-2)$.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
   En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
2. Déterminer une équation cartésienne du cercle $(\Gamma)$ de diamètre $[BC]$.
   Préciser son centre $\Omega$ et son rayon $R$.
3. Vérifier que le point $A$ appartient à $(\Gamma)$ et justifier ce résultat à l'aide de la question 1.
4. On considère la droite $(D)$ d'équation $x-3y-1=0$.
   Calculer la distance $d(\Omega,(D))$ et en déduire la position relative de $(D)$ et $(\Gamma)$ (sécante, tangente ou disjointe).
5. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(D)$ et de $(\Gamma)$.

Exercice 4 — Dénombrement et probabilités (5 points)

Une urne contient $12$ jetons indiscernables au toucher : $5$ jetons rouges, $4$ jetons verts et $3$ jetons noirs.
On tire simultanément et au hasard $3$ jetons de l'urne.

1. Déterminer le nombre total de tirages possibles.
2. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « les trois jetons tirés sont de la même couleur ».
3. Calculer la probabilité de l'événement $B$ : « les trois jetons tirés sont de trois couleurs différentes ».
4. Calculer la probabilité de l'événement $C$ : « obtenir exactement deux jetons rouges ».
5. Sachant que le tirage contient au moins un jeton rouge, calculer la probabilité qu'il en contienne exactement deux. (On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.)