Examen blanc — 1BAC Sciences Maths n°4

Exercice 1 — Étude d'une fonction (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = x - 2\\sqrt{x^2 + 1} + 2$

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$. (Pour $+\\infty$, on pourra utiliser l'expression conjuguée.)
2. Montrer que la droite $(D) : y = -x + 2$ est asymptote à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $-\\infty$, puis étudier la position relative de $(C_f)$ par rapport à $(D)$ sur $\\mathbb{R}$.
3. Montrer que pour tout $x \\in \\mathbb{R}$ : $f'(x) = \\dfrac{\\sqrt{x^2+1} - 2x}{\\sqrt{x^2+1}}$.
4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\\mathbb{R}$ et dresser le tableau de variations de $f$. (On montrera que $f'(x) \\gt 0 \\iff \\sqrt{x^2+1} \\gt 2x$.)
5. Déterminer la valeur exacte du maximum de $f$.
6. Tracer l'allure de la courbe $(C_f)$ et de l'asymptote $(D)$ dans un repère orthonormé.

Exercice 2 — Suites (5 points)

On considère la suite $(u_n)_{n \\geq 0}$ définie par :

$u_0 = 5 \\quad\\text{et}\\quad u_{n+1} = \\dfrac{1}{3}u_n + 4 \\ \\text{ pour tout } n \\in \\mathbb{N}.$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. On pose $v_n = u_n - 6$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$.
   Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
4. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$.
5. On pose $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$.
   Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.

Exercice 3 — Trigonométrie (4 points)

1. Résoudre dans $\\mathbb{R}$ l'équation : $2\\cos^2 x - 3\\cos x + 1 = 0$, puis donner les solutions dans l'intervalle $[0, 2\\pi[$.
2. Montrer que pour tout $x \\in \\mathbb{R}$ : $\\cos x + \\cos 3x = 2\\cos 2x \\cos x$.
3. En déduire la résolution dans $[0, 2\\pi[$ de l'équation : $\\cos x + \\cos 3x = 0$.
4. Linéariser $\\sin^2 x \\cos x$ (l'exprimer à l'aide de $\\cos x$ et $\\cos 3x$).

Exercice 4 — Produit scalaire et barycentre (5 points)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O, \\vec{i}, \\vec{j})$, on considère les points $A(1, 2)$, $B(5, 4)$ et $C(3, -2)$.

1. Calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.
2. En utilisant le théorème d'Al-Kashi, calculer une valeur approchée de l'angle $\\widehat{BAC}$ en degrés.
3. Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.
   Calculer $\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}$ puis en déduire $AH$.
4. Soit $G$ le barycentre du système $\\{(A, 2), (B, 1), (C, 1)\\}$.
   Déterminer les coordonnées de $G$.
5. Déterminer et caractériser l'ensemble $(\\Gamma)$ des points $M$ du plan vérifiant : $2MA^2 + MB^2 + MC^2 = 80$.