Examen blanc — 2BAC Sciences Exp n°1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v}\right)$.

1. On considère l'équation $(E)\,:\;z^{2}-2\sqrt{3}\,z+4=0$ d'inconnue le nombre complexe $z$.
   1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$.
   2. Écrire chacune des solutions sous forme trigonométrique.
2. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=\sqrt{3}+i$, $\;b=\sqrt{3}-i\;$ et $\;c=2i$.
   1. Montrer que $\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|=1$, puis en déduire que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
   2. Soit $z'=\dfrac{c-a}{b-a}$.
      Donner une interprétation géométrique de l'argument de $z'$.
3. Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
   On note $D$ l'image du point $B$ par $R$.
   Déterminer l'affixe $d$ du point $D$ et montrer que $AD=AB$.

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 4 boules rouges et 6 boules vertes.

1. Partie A. On tire simultanément et au hasard 3 boules de l'urne.
   1. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « les trois boules tirées sont vertes ».
   2. Calculer la probabilité de l'événement $B$ : « tirer exactement deux boules rouges ».
2. Partie B. On tire maintenant successivement et avec remise 5 boules de l'urne.
   On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.
   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   2. Calculer $P(X=2)$.
   3. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat.

On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=1$ et $\;u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}+3\;$ pour tout $n\in\mathbb{N}.$

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n}\lt 6.$
3. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante, puis en déduire qu'elle est convergente.
4. On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v_{n}=u_{n}-6.$
   1. Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
   2. Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.
   3. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)\,e^{-x}+2.$ On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j}\right)$ (unité : $2$ cm).

Partie A — Étude de la fonction $f$.

1. 1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$. (On rappelle que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{-x}=-\infty$.)
   2. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et interpréter géométriquement le résultat.
2. 1. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $f'(x)=(2-x)\,e^{-x}.$
   2. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
3. Montrer que $f(2)=e^{-2}+2$ et donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
4. 1. Montrer que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$ et la déterminer.
   2. Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de la droite $(\Delta)\,:\;y=2.$
5. Tracer l'allure de la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(\Delta)$ dans le repère.

Partie B — Calcul intégral et aire.

6. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(x-1)\,e^{-x}.$ Montrer que la fonction $G$ définie par $G(x)=-x\,e^{-x}$ est une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$.
7. En déduire $\displaystyle\int_{1}^{2}(x-1)\,e^{-x}\,dx.$
8. Calculer, en $\text{cm}^{2}$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\Delta)\,:\;y=2$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.