Examen blanc — 2BAC Sciences Exp n°2

Exercice 1 : Nombres complexes (3 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$.

1. On considère l'équation $(E)$ d'inconnue le nombre complexe $z$ :

$$(E)\;:\quad z^2-2z+4=0.$$

   a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$. (0,5 pt)

   b. On note $a$ la solution dont la partie imaginaire est positive. Écrire $a$ sous forme trigonométrique. (0,5 pt)

2. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=1+i\sqrt{3}$, $b=1-i\sqrt{3}$ et $c=2$.

   a. Calculer $\dfrac{c-a}{b-a}$ puis en déduire la nature du triangle $ABC$. (0,75 pt)

   b. Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
Déterminer l'affixe $d$ du point $D$ image de $A$ par $R$. (0,75 pt)

3. Déterminer et construire l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-1-i\sqrt{3}|=2$. (0,5 pt)

Exercice 2 : Probabilités (3 points)

Une usine produit des composants électroniques sur deux chaînes de montage $A$ et $B$. La chaîne $A$ fabrique $60\%$ de la production, la chaîne $B$ le reste. Parmi les composants issus de $A$, $5\%$ sont défectueux ; parmi ceux issus de $B$, $8\%$ sont défectueux.

On prélève au hasard un composant dans la production totale.
On note $A$, $B$ les événements « le composant provient de la chaîne $A$ (resp. $B$) » et $D$ l'événement « le composant est défectueux ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré. (0,5 pt)

2. Calculer la probabilité que le composant provienne de $A$ et soit défectueux. (0,5 pt)

3. Montrer que la probabilité que le composant soit défectueux est $p(D)=0{,}062$. (0,5 pt)

4. Le composant prélevé est défectueux.
Calculer la probabilité qu'il provienne de la chaîne $B$ (arrondir à $10^{-3}$). (0,5 pt)

5. On prélève successivement et avec remise $5$ composants dans la production totale.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux parmi les $5$ prélevés.

   a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (0,5 pt)

   b. Calculer la probabilité qu'exactement un composant soit défectueux (arrondir à $10^{-3}$). (0,5 pt)

Exercice 3 : Suites et géométrie dans l'espace (4 points)

Partie A — Suites (2,5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$$u_{n+1}=\sqrt{3u_n}.$$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $0\lt u_n\le 3$. (0,75 pt)

2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. (0,75 pt)

3. En déduire que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$. (0,5 pt)

4. On pose $v_n=\ln\!\left(\dfrac{u_n}{3}\right)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt)

Partie B — Géométrie dans l'espace (1,5 point)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
On considère les points $A(2\,;\,0\,;\,1)$, $B(1\,;\,2\,;\,3)$ et $C(0\,;\,1\,;\,2)$.

1. Calculer le produit vectoriel $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ et en déduire que les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés. (0,75 pt)

2. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$. (0,75 pt)

Exercice 4 : Étude de fonction et calcul d'aire (10 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=(x+1)\,e^{-x}.$$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ (unité : $2$ cm).

Partie A — Limites et branches (2 points)

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$. (0,5 pt)

2. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=0$ et interpréter géométriquement ce résultat. (0,75 pt)

3. Étudier la position relative de la courbe $(\mathcal{C})$ et de l'axe des abscisses. (0,75 pt)

Partie B — Dérivée et variations (3 points)

1. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $f'(x)=-x\,e^{-x}$. (0,75 pt)

2. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt)

3. Calculer $f(0)$ et préciser la valeur maximale de $f$. (0,5 pt)

4. Donner une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$. (0,75 pt)

Partie C — Courbe et aire (5 points)

1. Montrer que $f''(x)=(x-1)e^{-x}$ et étudier la convexité de $f$ ; préciser le point d'inflexion de $(\mathcal{C})$. (1,25 pt)

2. Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ ainsi que la tangente $(T)$ dans le repère. (1,25 pt)

3. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $H(x)=(-x-2)e^{-x}$.
Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt)

4. Calculer, en cm², l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. (1,5 pt)