Examen blanc — 2BAC Sciences Exp n°3

Exercice 1 — Nombres complexes (3 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v})$.

1. On considère le nombre complexe $a = 1 + i\sqrt{3}$.

  a. Calculer le module $|a|$ et déterminer un argument de $a$. (0,5 pt)

  b. Écrire $a$ sous forme exponentielle, puis en déduire la forme exponentielle de $a^{6}$. (0,5 pt)

2. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation : $z^{2} - 2z + 4 = 0$. (0,75 pt)

3. On note $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est positive et $z_{2}$ l'autre solution.

  a. Écrire $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle. (0,75 pt)

  b. On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$.
Montrer que le triangle $OAB$ est équilatéral. (0,5 pt)

Exercice 2 — Probabilités (3 points)

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $4$ boules rouges et $6$ boules vertes.

Partie A. On tire simultanément $3$ boules de l'urne.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.

  1. Déterminer les valeurs possibles de $X$. (0,5 pt)

  2. Montrer que $P(X = 2) = \dfrac{3}{10}$. (0,5 pt)

  3. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance $E(X)$. (1 pt)

Partie B. On effectue maintenant $5$ tirages successifs avec remise d'une boule.
On note $Y$ le nombre de boules rouges obtenues.

  1. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (0,5 pt)

  2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement $2$ boules rouges. (0,5 pt)

Exercice 3 — Suites (3 points)

On considère la suite $(u_{n})_{n\geqslant 0}$ définie par $u_{0} = 5$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\,u_{n} + 4$.

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. (0,5 pt)

2. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_{n} = u_{n} - 6$.

  a. Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (1 pt)

  b. Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. (0,75 pt)

3. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_{n}$. (0,75 pt)

Problème — Étude d'une fonction (11 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par :

$f(x) = x - 2 + \dfrac{\ln x}{x}$.

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})$ (unité : $2$ cm).

Partie A — Limites et asymptotes.

  1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x)$ et interpréter graphiquement. (1 pt)

  2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$. (0,5 pt)

  3. Montrer que la droite $(\Delta) : y = x - 2$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty$, puis étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et $(\Delta)$. (1,5 pt)

Partie B — Dérivée et variations.

  1. Montrer que pour tout $x \in\, ]0\,;\,+\infty[$ : $f'(x) = \dfrac{x^{2} + 1 - \ln x}{x^{2}}$. (1 pt)

  2. On pose $g(x) = x^{2} + 1 - \ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Étudier les variations de $g$ et en déduire que $g(x) \gt 0$ pour tout $x \gt 0$. (1,5 pt)

  3. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations. (1 pt)

Partie C — Point d'inflexion et tracé.

  1. Montrer que pour tout $x \gt 0$ : $f''(x) = \dfrac{2\ln x - 3}{x^{3}}$. (1 pt)

  2. En déduire que $(\mathcal{C})$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse. (0,5 pt)

  3. Tracer $(\Delta)$ et $(\mathcal{C})$. (1 pt)

Partie D — Calcul d'aire.

  Calculer, en $\text{cm}^{2}$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\Delta)$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$. (1 pt)