Examen blanc — 2BAC Sciences Exp n°4

Exercice 1 — Nombres complexes (3 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :

$$a=2, \qquad b=1+i\sqrt{3}, \qquad c=-1+i\sqrt{3}.$$

1. a) Écrire le nombre complexe $b$ sous forme trigonométrique. (0,5 pt)

    b) En déduire que $b=2\,e^{i\frac{\pi}{3}}$, puis montrer que $|a|=|b|=2$. (0,5 pt)

2. a) Calculer $\dfrac{b-0}{a-0}$ et en déduire que le triangle $OAB$ est équilatéral. (0,75 pt)

    b) Vérifier que $c=b-2$ et interpréter géométriquement ce résultat (préciser la nature du quadrilatère $OACB$... on pourra étudier $\vec{OA}$ et $\vec{BC}$). (0,5 pt)

3. Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

    a) Donner l'écriture complexe de $r$. (0,5 pt)

    b) Déterminer l'affixe du point $A'=r(A)$ et vérifier que $A'=B$. (0,25 pt)

Exercice 2 — Probabilités (3,5 points)

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $6$ boules rouges et $4$ boules vertes. Parmi les $6$ rouges, $2$ portent le numéro $1$ et les autres portent le numéro $0$. Parmi les $4$ vertes, $3$ portent le numéro $1$ et l'autre porte le numéro $0$.

Partie A. On tire au hasard une boule de l'urne.
On note :

• $R$ : « la boule tirée est rouge » ;
• $V$ : « la boule tirée est verte » ;
• $U$ : « la boule tirée porte le numéro $1$ ».

1. Calculer $p(R)$, $p(V)$ et les probabilités conditionnelles $p(U\mid R)$ et $p(U\mid V)$. (0,75 pt)

2. Montrer que $p(U)=\dfrac{1}{2}$. (0,75 pt)

3. Les événements $R$ et $U$ sont-ils indépendants ? Justifier. (0,5 pt)

4. Sachant que la boule tirée porte le numéro $1$, calculer la probabilité qu'elle soit verte. (0,5 pt)

Partie B. On répète $5$ fois de suite l'expérience « tirer une boule puis la remettre dans l'urne » (tirages indépendants avec remise).
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules portant le numéro $1$ obtenues à l'issue des $5$ tirages.

5. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (0,5 pt)

6. Calculer $p(X=2)$ puis la probabilité d'obtenir au moins une boule portant le numéro $1$. (0,5 pt)

Exercice 3 — Suites numériques (3,5 points)

On considère la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ définie par :

$$u_0=2 \qquad \text{et} \qquad u_{n+1}=\dfrac{3u_n+1}{u_n+3} \quad \text{pour tout } n\in\mathbb{N}.$$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\gt 1$. (0,75 pt)

2. a) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-1=\dfrac{2(u_n-1)}{u_n+3}.$ (0,5 pt)

    b) En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante. (0,5 pt)

3. On pose pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1}.$

    a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. (0,75 pt)

    b) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt)

4. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n.$ (0,5 pt)

Exercice 4 — Étude d'une fonction (10 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=(x-1)\,e^{-x}+1.$$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ (unité : $2$ cm).

Partie A — Étude de $f$.

1. a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$. (0,5 pt)

    b) Montrer que la droite $(\Delta):y=1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty$, et préciser la position relative de $(\mathcal{C})$ et $(\Delta)$ sur $\mathbb{R}$. (0,75 pt)

2. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{-x}=-\infty$). (0,5 pt)

3. a) Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=(2-x)\,e^{-x}.$ (0,75 pt)

    b) Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. (0,75 pt)

4. Montrer que $f$ admet un maximum en $x=2$ et calculer sa valeur exacte. (0,5 pt)

5. a) Calculer $f(1)$ et donner une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $1$. (0,5 pt)

    b) Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$ et la déterminer. (0,5 pt)

6. Construire la droite $(\Delta)$ puis la courbe $(\mathcal{C})$ (on prendra $e\approx 2{,}72$). (0,75 pt)

Partie B — Calcul d'aire.

7. a) À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{1}^{2}(x-1)\,e^{-x}\,dx.$ (1 pt)

    b) En déduire, en $\text{cm}^2$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\Delta):y=1$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$. (0,75 pt)

Partie C — Suite d'intégrales.

Pour tout entier $n\ge 1$, on pose : $\displaystyle I_n=\int_{0}^{1}x^n\,e^{-x}\,dx.$

8. a) Calculer $I_1$. (0,75 pt)

    b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout $n\ge 1$ : $I_{n+1}=-\dfrac{1}{e}+(n+1)\,I_n.$ (1 pt)

9. a) Montrer que pour tout $n\ge 1$, $I_n\ge 0$, et que $\displaystyle 0\le I_n\le \dfrac{1}{n+1}.$ (0,75 pt)

    b) En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n.$ (0,5 pt)