Examen blanc — 2BAC Sciences Exp n°5

Exercice 1 : Nombres complexes (3 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$.

On considère le nombre complexe $a = 1 + i\sqrt{3}$.

1. Écrire $a$ sous forme trigonométrique. (0,5 pt)
2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 2z + 4 = 0$. (0,5 pt)
3. On pose $b = 1 - i\sqrt{3}$.
   Vérifier que $a$ et $b$ sont les solutions de l'équation précédente, puis écrire $b$ sous forme trigonométrique. (0,5 pt)
4. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a = 1 + i\sqrt{3}$, $b = 1 - i\sqrt{3}$ et $c = 2$.
   1. Calculer $\dfrac{c - a}{b - a}$ puis interpréter géométriquement le résultat (nature du triangle $ABC$). (0,75 pt)
5. Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
   Déterminer l'affixe $a'$ de l'image du point $A$ par $R$. (0,75 pt)

Exercice 2 : Probabilités (4 points)

Une usine fabrique des composants électroniques sur deux chaînes de production $A$ et $B$.

• La chaîne $A$ produit $60\%$ des composants ; parmi eux, $5\%$ sont défectueux.
• La chaîne $B$ produit $40\%$ des composants ; parmi eux, $8\%$ sont défectueux.

On prélève au hasard un composant de la production.

On note $A$ : « le composant provient de la chaîne $A$ », $B$ : « le composant provient de la chaîne $B$ » et $D$ : « le composant est défectueux ».

1. 1. Calculer $p(A \cap D)$ et $p(B \cap D)$. (0,5 pt)
   2. En déduire que la probabilité qu'un composant prélevé soit défectueux est $p(D) = 0{,}062$. (0,5 pt)
   3. Sachant que le composant prélevé est défectueux, calculer la probabilité qu'il provienne de la chaîne $A$. (Arrondir à $10^{-3}$.) (0,5 pt)
2. On prélève successivement et avec remise $5$ composants de la production.
   On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux parmi les $5$ prélevés.
   1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (0,75 pt)
   2. Calculer la probabilité qu'aucun composant ne soit défectueux. (Arrondir à $10^{-3}$.) (0,75 pt)
   3. Calculer la probabilité qu'au moins un composant soit défectueux. (Arrondir à $10^{-3}$.) (0,5 pt)
   4. Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat. (0,5 pt)

Exercice 3 : Suites numériques (3 points)

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 2.$$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n \gt 4$. (0,75 pt)
2. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$. (0,5 pt)
3. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_n = u_n - 4$.
   1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,75 pt)
   2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt)
   3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$. (0,5 pt)

Exercice 4 : Étude de fonction et calcul d'aire (10 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par : $$f(x) = x - 2 + \dfrac{\ln x}{x}.$$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité : $1$ cm).

1. Limites et asymptotes.
   1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat. (1 pt)
   2. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)$. (0,5 pt)
   3. Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x - 2$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty$. (1 pt)
   4. Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et $(\Delta)$ sur $]0\,;\,+\infty[$. (1 pt)
2. Dérivée et variations.
   1. Montrer que pour tout $x \gt 0$ : $f'(x) = \dfrac{x^2 + 1 - \ln x}{x^2}$. (1 pt)
   2. Montrer que pour tout $x \gt 0$ : $f'(x) \gt 0$. (1,5 pt)
   3. Dresser le tableau de variations de $f$. (1 pt)
3. Courbe. Tracer la droite $(\Delta)$ et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$.
   On admet que $(\mathcal{C})$ coupe l'axe des abscisses en un unique point d'abscisse $\alpha$ avec $1{,}5 \lt \alpha \lt 2$. (1 pt)
4. Calcul d'aire. Soit $\lambda$ un réel tel que $\lambda \geq 1$.
   On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire, en cm², du domaine plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\Delta)$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \lambda$.
   1. Montrer que $\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{1}^{\lambda} \dfrac{\ln x}{x}\,dx$. (0,5 pt)
   2. Calculer $\mathcal{A}(\lambda)$ en fonction de $\lambda$. (1 pt)