Examen blanc — 2BAC Sciences Exp n°6

Exercice 1 : Nombres complexes (3 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v})$.

1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe $\delta = 3 - 4i$.

2. On considère l'équation $(E)$ d'inconnue complexe $z$ :

$$ z^2 - (5 - 2i)\,z + (5 - 5i) = 0 $$

a) Vérifier que le discriminant de $(E)$ est $\Delta = 3 - 4i$, puis résoudre l'équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$.

b) On note $a = 3 - i$ et $b = 2 - i$ les solutions de $(E)$. Écrire le nombre complexe $w = \dfrac{a}{b}$ sous forme algébrique.

3. Soit le nombre complexe $c = 1 + i\sqrt{3}$.

a) Déterminer le module et un argument de $c$.

b) En déduire le module et un argument de $c^{6}$, puis montrer que $c^{6}$ est un réel que l'on précisera.

Exercice 2 : Probabilités (3 points)

Une urne contient $9$ boules indiscernables au toucher : $4$ boules rouges et $5$ boules vertes.

1. On tire simultanément et au hasard $3$ boules de l'urne.

a) Calculer le nombre total de tirages possibles.

b) Soit $A$ l'événement : « les trois boules tirées sont de la même couleur ».
Montrer que $p(A) = \dfrac{14}{84}$.

c) Soit $B$ l'événement : « parmi les trois boules tirées, il y a exactement deux boules rouges ».
Calculer $p(B)$.

2. On remet les $3$ boules dans l'urne, puis on effectue maintenant $4$ tirages successifs avec remise d'une boule à chaque fois.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues à l'issue des $4$ tirages.

a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b) Calculer la probabilité $p(X = 2)$.

Exercice 3 : Suites (4 points)

On considère la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$$ u_{n+1} = \dfrac{4u_n - 2}{u_n + 1}. $$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n \gt 2$.

3. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\displaystyle v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n - 1}$.

a) Calculer $v_0$.

b) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$.

c) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 4 : Étude d'une fonction et suite d'intégrales (10 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f(x) = (x - 1)\,e^{-x} + 1. $$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})$ (unité : $2$ cm).

Partie A — Étude de la fonction.

1. a) Calculer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat.

b) Calculer $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

2. a) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = (2 - x)\,e^{-x}$.

b) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. Montrer que le point $A(1\,;\,1)$ appartient à $(\mathcal{C})$ et déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $A$.

4. Tracer l'allure de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite $(T)$ dans le repère.

Partie B — Calcul d'aire et suite d'intégrales.

Pour tout entier naturel $n \geq 1$, on pose :

$$ I_n = \int_{0}^{1} x^{n}\,e^{-x}\,dx. $$

5. a) À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_1 = \displaystyle\int_{0}^{1} x\,e^{-x}\,dx$.

b) En déduire l'aire $\mathcal{A}$, en cm², du domaine délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite d'équation $y = 1$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 1$.

6. a) Montrer que pour tout entier $n \geq 1$ : $\;I_{n+1} = -\,e^{-1} + (n+1)\,I_n$.

b) En déduire la valeur de $I_2$.

7. Montrer que pour tout $n \geq 1$ : $0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{n+1}$, puis déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n$.