Examen blanc — 2BAC Sciences Exp n°7

Exercice 1 — Nombres complexes (3 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\,;\,\vec{u},\,\vec{v})$.

On considère les nombres complexes :

$$a = 1 + i\sqrt{3}, \qquad b = -2i.$$

1. Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle.
2. On pose $z_0 = \dfrac{a}{b}$.
   Montrer que $z_0 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}i$, puis écrire $z_0$ sous forme exponentielle.
3. Soient $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $z_A = 1 + i\sqrt{3}$, $z_B = -2i$ et $z_C = \sqrt{3} - i$.
   Montrer que $\dfrac{z_C - z_B}{z_A - z_B}$ est un imaginaire pur, et en déduire la nature du triangle $ABC$.
4. Déterminer et construire l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - z_A| = |z - z_C|$.

Exercice 2 — Probabilités (3 points)

Une urne contient $8$ boules indiscernables au toucher : $5$ boules rouges et $3$ boules vertes.

On tire simultanément et au hasard $3$ boules de l'urne.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées.

1. Déterminer le nombre total de tirages possibles.
2. Déterminer les valeurs prises par $X$, puis calculer $p(X = 0)$ et $p(X = 2)$.
3. Établir la loi de probabilité de $X$.
4. Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$.

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace et suite (3 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k})$.

On considère les points $A(1\,;\,0\,;\,2)$, $B(2\,;\,1\,;\,3)$ et $C(-1\,;\,2\,;\,1)$, ainsi que la sphère $(S)$ d'équation

$$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 2z + 2 = 0.$$

1. Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de la sphère $(S)$.
2. Montrer que $\vec{n}\,(1\,;\,1\,;\,-1)$ est normal au plan $(ABC)$, puis déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
3. Calculer la distance $d\big(\Omega,\,(ABC)\big)$, et en déduire que le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle dont on précisera le rayon $r$.

Exercice 4 — Étude d'une fonction (11 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par :

$$f(x) = x - 2 + \frac{\ln x}{x}.$$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j})$ d'unité $1\,\text{cm}$.

1. (a) Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et interpréter géométriquement le résultat.
   (b) Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = x - 2$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty$, puis étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et $(D)$.
3. (a) Montrer que pour tout $x \gt 0$ : $f'(x) = \dfrac{x^2 + 1 - \ln x}{x^2}$.
   (b) On pose $g(x) = x^2 + 1 - \ln x$ pour $x \gt 0$.
   Étudier le signe de $g(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
4. Montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet un unique point d'inflexion dont on déterminera l'abscisse.
5. Construire la droite $(D)$ et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j})$.
6. Soit $\lambda$ un réel tel que $\lambda \gt 1$.
   Calculer, en $\text{cm}^2$, l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ du domaine plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(D)$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \lambda$.
   Déterminer ensuite $\displaystyle\lim_{\lambda \to +\infty} \mathcal{A}(\lambda)$.