Examen blanc — 2BAC Sciences Exp n°8

Exercice 1 — Nombres complexes (4 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\\vec{u},\\vec{v})$.

1. Résoudre dans $\\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 4z + 8 = 0$.

2. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a = 2 + 2i$, $b = 2 - 2i$ et $c = 4i$.

a. Vérifier que $a$ et $b$ sont les solutions de l'équation de la question 1.

b. Écrire le nombre complexe $a$ sous forme trigonométrique.

3. Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\\dfrac{\\pi}{2}$.
On note $A'$ l'image de $A$ par $r$.

a. Montrer que l'affixe de $A'$ est $a' = -2 + 2i$.

b. Calculer $\\dfrac{c - a'}{a - a'}$ et en déduire la nature du triangle $A'AC$.

Exercice 2 — Probabilités (3 points)

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $4$ boules rouges et $6$ boules vertes.

1. On tire au hasard, successivement et avec remise, deux boules de l'urne.

a. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « obtenir deux boules de la même couleur ».

b. Calculer la probabilité de l'événement $B$ : « obtenir au moins une boule rouge ».

2. On reprend l'urne initiale ($4$ rouges, $6$ vertes).
On tire au hasard, successivement et avec remise, $5$ boules.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues.

a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b. Calculer la probabilité $p(X = 2)$.

c. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge.

Exercice 3 — Suites numériques (3 points)

On considère la suite $(u_n)_{n\\geq 0}$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \\in \\mathbb{N}$ :

$$u_{n+1} = \\dfrac{1}{2}u_n + 2.$$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \\in \\mathbb{N}$ : $1 \\leq u_n \\lt 4$.

2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
En déduire qu'elle est convergente.

3. On pose pour tout $n \\in \\mathbb{N}$ : $v_n = u_n - 4$.

a. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

c. Calculer $\\lim\\limits_{n\\to +\\infty} u_n$.

Exercice 4 — Étude d'une fonction (10 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par :

$$f(x) = (x - 1)e^{-x} + 2.$$

On note $(\\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\\vec{i},\\vec{j})$ (unité : $2\\,\\text{cm}$).

1. Calculer $\\lim\\limits_{x\\to +\\infty} f(x)$ et interpréter géométriquement le résultat.

2.a. Calculer $\\lim\\limits_{x\\to -\\infty} f(x)$.

2.b. Montrer que $\\lim\\limits_{x\\to -\\infty} \\dfrac{f(x)}{x} = -\\infty$ et en déduire la nature de la branche infinie de $(\\mathcal{C})$ au voisinage de $-\\infty$.

3.a. Montrer que pour tout $x \\in \\mathbb{R}$ : $f'(x) = (2 - x)e^{-x}$.

3.b. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.

4. Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\\alpha$ dans $\\mathbb{R}$, et déterminer $\\alpha$.

5. Tracer la courbe $(\\mathcal{C})$ ainsi que son asymptote. (On donne $f(2) = e^{-2} + 2 \\approx 2{,}14$.)

6.a. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{1}^{2} (x-1)e^{-x}\,dx$.

6.b. En déduire, en $\\text{cm}^2$, l'aire $\\mathcal{A}$ du domaine délimité par la courbe $(\\mathcal{C})$, la droite d'équation $y = 2$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2$.