Examen régional blanc — 3AC n°1

Exercice 1 : Activités numériques

1) Calculer $A$ puis donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
$A = \dfrac{2^{-3} \times 2^{5}}{2^{4}}$

2) Écrire $B$ sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier :
$B = \sqrt{50} - 3\sqrt{8} + \sqrt{18}$

3) On donne $C = \dfrac{15 \times 10^{-3} \times 4 \times 10^{6}}{3 \times 10^{2}}$.
Écrire $C$ en notation scientifique (de la forme $a \times 10^{n}$ avec $1 \leqslant a \lt 10$).

Exercice 2 : Calcul littéral

On considère l'expression : $E = (2x - 3)^{2} - (2x - 3)(x + 4)$.

1) Développer et réduire l'expression $(2x - 3)^{2}$.

2) Factoriser l'expression $F = 4x^{2} - 9$.

3) Résoudre l'équation $4x^{2} - 9 = 0$.

4) Résoudre le système d'équations suivant :
$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = -1 \end{cases}$

Exercice 3 : Fonctions linéaires et affines

Soit $f$ une fonction linéaire telle que $f(2) = -6$.

1) Déterminer le coefficient $a$ de $f$, puis écrire $f(x)$.

2) Calculer l'image de $-5$ par $f$.

3) Déterminer l'antécédent de $12$ par $f$.

On considère maintenant la fonction affine $g$ définie par $g(x) = 2x - 1$.

4) Donner le coefficient directeur de $g$ et calculer $g(3)$.

5) Dans un repère orthonormé, expliquer comment représenter graphiquement la fonction $g$ (citer deux points).

Exercice 4 : Géométrie

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 6\ \text{cm}$ et $AC = 8\ \text{cm}$.

1) Calculer la longueur $BC$.

2) Calculer $\cos(\widehat{ABC})$, puis en déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{ABC}$ arrondie au degré près.

Soit $M$ un point du segment $[AB]$ tel que $AM = 2,4\ \text{cm}$, et $N$ le point du segment $[AC]$ tel que la droite $(MN)$ soit parallèle à la droite $(BC)$.

3) En utilisant le théorème de Thalès, calculer les longueurs $AN$ et $MN$.