Examen régional blanc — 3AC n°2
Examen blanc original au format de l'examen régional normalisé de mathématiques, 3ème année collège. Corrigé détaillé.
Exercice 1 — Activités numériques (5 points)
1. On considère le nombre : $A = \dfrac{2^{5}\times 3^{2}}{2^{3}\times 3}$. Écrire $A$ sous la forme $2^{a}\times 3^{b}$ puis calculer sa valeur.
2. Soit $B = \sqrt{45} - 2\sqrt{20} + \sqrt{5}$. Écrire $B$ sous la forme $k\sqrt{5}$ où $k$ est un entier relatif.
3. On donne $C = \sqrt{2}\,(\sqrt{8} + \sqrt{2})$.
Montrer que $C$ est un entier naturel.
4. Comparer les deux nombres $3\sqrt{2}$ et $2\sqrt{5}$.
5. Donner l'écriture scientifique du nombre $D = \dfrac{420\times 10^{-3}}{7\times 10^{2}}$.
Exercice 2 — Calcul littéral (5 points)
On considère l'expression : $E = (2x - 3)^{2} - (2x - 3)(x + 1)$.
1. Développer et réduire l'expression $E$.
2. Factoriser l'expression $E$.
3. Résoudre l'équation produit : $(2x - 3)(x - 4) = 0$.
4. Résoudre l'inéquation : $3x - 5 \lt x + 7$, puis représenter les solutions sur une droite graduée.
Exercice 3 — Statistiques (4 points)
On a relevé les notes obtenues par les $20$ élèves d'une classe lors d'un contrôle de mathématiques. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :
| Note | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 5 | 6 | 4 | 2 |
1. Vérifier que l'effectif total est égal à $20$.
2. Calculer la fréquence (en pourcentage) de la note $12$.
3. Calculer la moyenne de cette série de notes.
4. Déterminer le mode de la série.
5. Déterminer la médiane de la série.
6. On représente cette série par un diagramme en bâtons : la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif. Quelle serait la hauteur du bâton de la note $14$ si l'on choisit $1$ cm pour $2$ élèves ?
Exercice 4 — Géométrie (6 points)
Le plan est muni d'unités en centimètres.
On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 6\;\text{cm}$ et $AC = 8\;\text{cm}$.
1. Calculer la longueur $BC$.
$M$ est le point du segment $[AB]$ tel que $AM = 4{,}5\;\text{cm}$ et $N$ est le point du segment $[AC]$ tel que $AN = 6\;\text{cm}$.
2. Calculer les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$.
3. En déduire, en utilisant la réciproque du théorème de Thalès, que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
4. Calculer la longueur $MN$.
5. Le point $K$ appartient à la demi-droite $[AB)$ tel que $AK = 9\;\text{cm}$, et le point $L$ appartient à la demi-droite $[AC)$ tel que $AL = 12\;\text{cm}$. La droite $(KL)$ est-elle parallèle à $(BC)$ ? Justifier.