Examen régional blanc — 3AC n°3

Exercice 1 : Activités numériques (5 points)

1) Calculer et donner le résultat sous la forme la plus simple : $A = 2^{5} \times 2^{-3} + \dfrac{3^{4}}{3^{2}}$.

2) Écrire le nombre $B$ sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ le plus petit possible : $B = \sqrt{50} - 3\sqrt{8} + \sqrt{18}$.

3) Donner l'écriture scientifique du nombre : $C = \dfrac{12 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{7}}{3 \times 10^{2}}$.

4) On considère la fraction $D = \dfrac{84}{126}$.

  a) Calculer le $\text{PGCD}(84\,;\,126)$.

  b) En déduire l'écriture irréductible de la fraction $D$.

Exercice 2 : Calcul littéral (5 points)

1) Développer et réduire l'expression : $E = (2x + 3)^{2} - (x - 1)(x + 5).$

2) Factoriser les expressions suivantes :

  a) $F = 9x^{2} - 25.$

  b) $G = (x + 4)(2x - 1) + (x + 4)(x + 3).$

3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(3x - 6)(x + 2) = 0.$

Exercice 3 : Géométrie analytique (5 points)

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})$, on considère les points : $A(-1\,;\,2)$, $B(3\,;\,4)$ et $C(5\,;\,0).$

1) Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}.$

2) Calculer la distance $AB.$

3) Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AC].$

4) On considère le point $D(7\,;\,2).$ Montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.

Exercice 4 : Géométrie dans l'espace (5 points)

$SABCD$ est une pyramide régulière de sommet $S$ dont la base $ABCD$ est un carré de centre $O$ et de côté $AB = 6\ \text{cm}.$ La hauteur de la pyramide est $SO = 4\ \text{cm}.$

1) Calculer l'aire de la base carrée $ABCD.$

2) Calculer le volume $V$ de la pyramide $SABCD.$

3) Soit $I$ le milieu du côté $[BC].$ Montrer que $OI = 3\ \text{cm}.$

4) En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $SOI$ rectangle en $O$, calculer la longueur de l'apothème $SI.$