Examen régional blanc — 3AC n°4
Examen blanc original au format de l'examen régional normalisé de mathématiques, 3ème année collège. Corrigé détaillé.
Exercice 1 : Activités numériques (5 points)
On considère les deux nombres suivants :
$A = \dfrac{5^{3} \times 5^{-1}}{5^{4}} + \sqrt{49}$ et $B = \sqrt{12} - 3\sqrt{3} + \sqrt{75}$.
1) Écrire le nombre $A$ sous la forme d'une fraction irréductible.
2) Écrire le nombre $B$ sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre entier.
3) On donne le nombre $C = \dfrac{15 \times 10^{-3} \times 4 \times 10^{6}}{2 \times 10^{2}}$.
Écrire le nombre $C$ sous la forme de l'écriture scientifique.
Exercice 2 : Calcul littéral et équations (5 points)
1) On considère l'expression $E = (2x - 3)^{2} - (2x - 3)(x + 5)$.
a) Factoriser l'expression $E$.
b) Résoudre l'équation $(2x - 3)(x - 8) = 0$.
2) Dans une salle de cinéma, le prix d'un billet adulte est de $x$ dirhams et celui d'un billet enfant est de $y$ dirhams.
Une famille A achète $3$ billets adultes et $2$ billets enfants et paie $190$ dirhams.
Une famille B achète $2$ billets adultes et $4$ billets enfants et paie $180$ dirhams.
a) Montrer que cette situation se traduit par le système : $\begin{cases} 3x + 2y = 190 \\ 2x + 4y = 180 \end{cases}$
b) Résoudre ce système, puis déduire le prix d'un billet adulte et celui d'un billet enfant.
Exercice 3 : Fonctions affines (4 points)
On considère la fonction affine $f$ définie par $f(x) = ax + b$, dont la représentation graphique $(D)$ passe par les deux points $M(1 \,;\, 5)$ et $N(-2 \,;\, -1)$.
1) Montrer que $a = 2$ et $b = 3$, c'est-à-dire que $f(x) = 2x + 3$.
2) Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
3) Déterminer par le calcul l'antécédent de $0$ par la fonction $f$ (c'est-à-dire l'abscisse du point d'intersection de $(D)$ avec l'axe des abscisses).
4) Calculer $f(4)$.
Exercice 4 : Géométrie (6 points)
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm.
1) Calculer la longueur $BC$.
2) Calculer $\cos(\widehat{ABC})$, puis en déduire la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ arrondie au degré près.
3) Soit $H$ le point du segment $[AC]$ tel que $AH = 2$ cm, et soit $(d)$ la droite passant par $H$ et parallèle à la droite $(AB)$. La droite $(d)$ coupe le segment $[BC]$ en un point $M$.
a) En utilisant le théorème de Thalès, calculer la longueur $HM$.
b) Calculer $\tan(\widehat{ACB})$, puis en déduire la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$ arrondie au degré près.