Concours blanc ENSA — Mathématiques n°14

On lance deux dés équilibrés. Sachant que la somme obtenue est paire, quelle est la probabilité que cette somme soit égale à $8$ ?

Avec les $7$ lettres distinctes $\{M,A,R,O,C,I,N\}$, combien de mots de $5$ lettres toutes différentes peut-on former ?

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(1,0,2)$ et $B(3,-2,4)$. Quelle est une équation cartésienne du plan médiateur du segment $[AB]$ ?

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules vertes.
On tire successivement et sans remise $3$ boules. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement $2$ boules rouges ?

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ avec $E(X)=6$ et $V(X)=2{,}4$. Quelle est la valeur de $n$ ?

Dans l'espace, on donne $\vec{u}=(1,2,-1)$ et $\vec{v}=(2,-1,3)$. Quelle est la norme du produit vectoriel $\vec{u}\wedge\vec{v}$ ?

Un test de dépistage détecte une maladie touchant $2\%$ d'une population. Le test est positif chez $95\%$ des malades et chez $4\%$ des non-malades. Sachant qu'un test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit malade (valeur approchée) ?

Combien existe-t-il de façons de répartir $10$ étudiants identiques en équipes, en formant $3$ équipes étiquetées dont les effectifs sont au moins $1$ ? (Nombre de solutions de $x_1+x_2+x_3=10$ avec $x_i\geq1$.)

On considère la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0$. Quel est son rayon ?

Soit $z=\dfrac{1+i\sqrt3}{1-i}$. Quel est un argument de $z$ ?

On tire au hasard une main de $5$ cartes dans un jeu de $32$ cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement $2$ rois (le jeu comporte $4$ rois) ?

Dans l'espace, la droite $D$ passe par $A(1,1,0)$ de vecteur directeur $\vec{u}=(1,-1,2)$. Quelle est la distance du point $B(2,0,3)$ à $D$ ?

On répète $n=5$ fois de façon indépendante une épreuve de succès $p=\dfrac13$. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un succès ?

Quelle est la valeur de $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x)-3x}{x^2}$ ?

Soit $X$ une variable suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda=2$. Quelle est la probabilité $P(X=3)$ (valeur approchée) ?

Combien d'entiers compris entre $1$ et $1000$ sont divisibles par $3$ ou par $5$ ?

Dans l'espace, les plans $P_1:\,x+2y-z=1$ et $P_2:\,2x-y+3z=4$ se coupent. Quel est un vecteur directeur de leur droite d'intersection ?

On choisit au hasard une fonction (application) de $\{1,2,3,4\}$ vers $\{a,b,c\}$. Quelle est la probabilité qu'elle soit surjective ?

Soit $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C(0,3,0)$, $D(0,0,4)$. Quel est le volume du tétraèdre $ABCD$ ?

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0,1,2$ avec $P(X=0)=\dfrac12$, $P(X=1)=\dfrac13$, $P(X=2)=\dfrac16$. Quelle est la variance $V(X)$ ?