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Concours blanc ENSAM — Mathématiques n°2

90 minutes 15 questions 15 points

Concours blanc ENSAM — Mathématiques (QCM). Dominante complexes, algèbre, arithmétique. Sujet original d'entraînement.

1

Question 1 · 1 pt

Soit $z=-1+i\sqrt{3}$. Quelle est la forme exponentielle de $z$ ?

A. $2e^{i2\pi/3}$ B. $2e^{i\pi/3}$ C. $2e^{-i2\pi/3}$ D. $\sqrt{3}e^{i2\pi/3}$

2

Question 2 · 1 pt

Combien y a-t-il de solutions distinctes dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^6=64$ ?

A. $2$ B. $3$ C. $6$ D. $12$

3

Question 3 · 1 pt

Quel est le reste de la division euclidienne de $2^{100}$ par $7$ ?

A. $1$ B. $2$ C. $4$ D. $6$

4

Question 4 · 1 pt

Soit $z\in\mathbb{C}^*$ tel que $z+\dfrac{1}{z}=2\cos\theta$. Que vaut $z^n+\dfrac{1}{z^n}$ ?

A. $2\cos(n\theta)$ B. $2\sin(n\theta)$ C. $2^n\cos\theta$ D. $\cos(n\theta)$

5

Question 5 · 1 pt

Pour quelles valeurs de l'entier $n$ a-t-on $(1+i)^n\in\mathbb{R}$ ?

A. $n$ multiple de $2$ B. $n$ multiple de $4$ C. $n$ multiple de $8$ D. $n$ impair

6

Question 6 · 1 pt

Quel est le PGCD de $a=2^{12}-1$ et $b=2^{18}-1$ ?

A. $2^6-1=63$ B. $2^3-1=7$ C. $2^{12}-1$ D. $3$

7

Question 7 · 1 pt

Soit $P(z)=z^3-1$. Quelle est la somme des carrés des racines de $P$ ?

A. $0$ B. $1$ C. $3$ D. $-1$

8

Question 8 · 1 pt

Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-1|=|z+i|$ est :

A. La médiatrice du segment $[AB]$ avec $A(1)$ et $B(-i)$ B. Un cercle de centre $O$ C. La droite d'équation $y=x$ D. Le cercle de diamètre $[AB]$

9

Question 9 · 1 pt

Le couple $(x,y)$ entier solution de $7x+5y=1$ avec $0\le x<5$ est :

A. $(3,-4)$ B. $(2,-3)$ C. $(4,-5)$ D. $(1,-1)$

10

Question 10 · 1 pt

Soit $j=e^{i2\pi/3}$. Que vaut $1+j+j^2$ ?

A. $0$ B. $1$ C. $3$ D. $-1$

11

Question 11 · 1 pt

Quel est le chiffre des unités de $7^{2026}$ ?

A. $1$ B. $3$ C. $7$ D. $9$

12

Question 12 · 1 pt

Soit $z=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1-i}$. Quel est un argument de $z$ ?

A. $\dfrac{7\pi}{12}$ B. $\dfrac{\pi}{12}$ C. $\dfrac{5\pi}{12}$ D. $-\dfrac{\pi}{12}$

13

Question 13 · 1 pt

Combien d'entiers $n$ avec $1\le n\le 100$ vérifient $\gcd(n,100)=1$ ?

A. $40$ B. $50$ C. $60$ D. $25$

14

Question 14 · 1 pt

Soient $A$, $B$, $C$ d'affixes $a$, $b$, $c$. Le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si :

A. $a+jb+j^2c=0$ avec $j=e^{i2\pi/3}$ B. $a+b+c=0$ C. $\dfrac{c-a}{b-a}=1$ D. $|a|=|b|=|c|$

15

Question 15 · 1 pt

Quel est le plus petit entier $n\ge 1$ tel que $3^n\equiv 1 \pmod{20}$ ?

A. $2$ B. $4$ C. $5$ D. $10$

Concours blanc ENSAM — Mathématiques n°2

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