Devoir surveillé n°1 — 1 Bac Sciences Expérimentales

1. On considère la proposition $(P)$ suivante : $$(\forall x \in \mathbb{R}) ;\; (x^2 = 2x \Rightarrow x = 2)$$ Donner la négation de $(P)$, puis en déduire la valeur de vérité de $(P)$.

2. a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, le nombre $n(n+1)(n+2)$ est un multiple de $3$.

   b) En déduire que le nombre $n^3 - n$ est multiple de $3$ pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$.

3. a) Démontrer que : $$(\forall a;b \in \mathbb{R}^{+}) ;\; (a + b = 0 \Rightarrow a = 0 \text{ et } b = 0)$$

   b) Montrer que : $$(\forall x,y \in \mathbb{R}) :\; \left( x \neq 9 \text{ ou } y \neq 9 \Rightarrow \dfrac{x+y+18}{6} \neq \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)$$

4. a) Montrer que : $$(\forall n \in \mathbb{N}^{*}) ;\; 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

   b) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, $6$ divise $n(n+1)(2n+1)$.

Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 2x + 2}$$

1. Montrer que $D_f = \mathbb{R}$.
2. Montrer que $f$ est minorée par $1$ sur $\mathbb{R}$.
3. Est-ce que $1$ est une valeur minimale de $f$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifier votre réponse.
4. Montrer que $2$ est une valeur maximale de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que : $$f(x) = x^2 - x \qquad \text{et} \qquad g(x) = \sqrt{x + 2}$$

1. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $D_f$, puis de $g$ sur $D_g$.
2. Tracer $(C_f)$ et $(C_g)$ dans le même repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$.
3. Déterminer combien de solutions admet l'équation $f(x) = g(x)$.
4. Déterminer $g\left(\left[-2 ; \dfrac{-7}{4}\right]\right)$ et $g\left(\left[\dfrac{-7}{4} ; +\infty\right[\right)$.

5. a) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f \circ g$.

   b) Donner l'expression de $f \circ g(x)$ pour $x$ dans $D_{f \circ g}$.

   c) Étudier la monotonie de $f \circ g$ sur $\left[-2 ; \dfrac{-7}{4}\right]$ et sur $\left[\dfrac{-7}{4} ; +\infty\right[$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}^{*}$ par leurs graphes (voir figure).

1. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

2. a) Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$.

   b) En déduire l'ensemble de définition de $h$ définie par $h(x) = \dfrac{1}{f(x)}$.

3. a) Résoudre graphiquement l'inéquation $g(x) \geq 0$.

   b) En déduire l'ensemble de définition de $k$ définie par $k(x) = \sqrt{g(x)}$.

4. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > g(x)$.