Devoir surveillé n°4 — 1 Bac Sciences Expérimentales

Calculer les limites suivantes :

1. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} 2x^4 - x - 1$
2. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 - x^3 - 1}{x^4 + x - 1}$
3. $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 2x^2 + 2x - 1}{x - 1}$
4. $\displaystyle\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{2x + 1} - 3}{x - 4}$
5. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \sqrt{9x^2 + 1} + x$
6. $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}} \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 3x + 2}$
7. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(x) + \sin(x)}{x^3}$
8. $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin(6x)}{\sin(4x)}$

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.
2. Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*} : \left| f(x) \right| \leq \dfrac{2}{x^2}$, puis en déduire $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
3. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $A(x) = \sin(x) + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x)$.

1. Transformer en produits les sommes suivantes : $\sin(3x) + \sin(x)$ et $\sin(4x) + \sin(2x)$.
   On donne : $\sin(p) + \sin(q) = 2\sin\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p - q}{2}\right)$.
2. Montrer que $A(x) = 4\cos(x) \times \sin\left(\dfrac{5x}{2}\right) \times \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$.
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$, puis dans $\left[0\,;\pi\right]$, l'équation $A(x) = 0$.
   On donne : $\sin(x) = 0 \Leftrightarrow x = k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$ ; et $\cos(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$.

$ABCD$ est un carré. À l'extérieur du carré on construit un triangle équilatéral $DCJ$, et à l'intérieur du carré on construit un triangle équilatéral $BCI$.

1. Construire une figure.
2. Soit $E$ un point tel que le triangle $ACE$ est équilatéral, avec $B$ à l'intérieur de ce triangle.
   Soit $r_C$ la rotation de centre $C$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
   1. Déterminer $r_C(D)$, $r_C(B)$ et $r_C(E)$ en justifiant votre réponse.
   2. En déduire que les points $A$, $J$ et $I$ sont alignés.