Devoir surveillé n°6 — 1 Bac Sciences Expérimentales

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = 2x^3 - 3x^2$$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. a) Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ puis $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$.
   b) Interpréter les deux résultats géométriquement.
2. a) Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ puis $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}$.
   b) Interpréter les deux résultats géométriquement.
3. a) Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
   b) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. Étudier la convexité de $(C_f)$, en précisant le(s) point(s) d'inflexion de $(C_f)$ s'il(s) existe(nt).
5. Déterminer les points d'intersection de la courbe $(C_f)$ avec l'axe des abscisses.
6. Montrer que le point $A\left( \dfrac{1}{2} ; -\dfrac{1}{2} \right)$ est centre de symétrie de $(C_f)$.
7. Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé.