Devoir blanc n°2 — 1 Bac Sciences Expérimentales

Calculer les limites suivantes :

1. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\dfrac{x^2 - x^3 - 1}{x^4 + x - 1}$
2. $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^3 - 2x^2 + 2x - 1}{x - 1}$
3. $\displaystyle\lim_{x \to 4}\dfrac{\sqrt{2x + 1} - 3}{x - 4}$
4. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\sqrt{9x^2 + 1} + x$
5. $\displaystyle\lim_{x \to 1^{-}}\dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 3x + 2}$
6. $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin(6x)}{\sin(4x)}$

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.
2. Montrer que $\left(\forall x \in \mathbb{R}_{-}^{*}\right) : \;|f(x)| \leq \dfrac{2}{x^2}$, puis en déduire $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Soit $f$ une fonction définie par sa courbe représentative (voir la figure fournie).

1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x \to 3^{+}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 3^{-}} f(x)$.
2. Déterminer $f'\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$, $f'\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)$, $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2}$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\dfrac{1}{2f(x) + 5}$.

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Montrer que $f$ est dérivable en $5$ et que $f'(5) = 1$.
2. Déterminer l'équation de $(T)$, la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $5$.
3. Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x - 2\sqrt{x}$.

1. Vérifier que $D_f = [0\,;+\infty[$ et que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
2. a) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $0$.
   b) Donner une interprétation géométrique du résultat.
3. a) Montrer que $f'(x) = \dfrac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$ pour tout $x \in \,]0\,;+\infty[$.
   b) Dresser le tableau de variations de $f$ en justifiant votre réponse.
   c) Déterminer les extremums de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.