Devoir surveillé n°2 (modèle 1) — 1 Bac Sciences Expérimentales

Soient ABC un triangle dans le plan $(P)$ et $G = \text{bary}\{(A,-1)\,;\,(B,3)\,;\,(C,2)\}$.

On considère : $E = \text{bary}\{(A,-1)\,;\,(B,3)\}$, $F = \text{bary}\{(A,-1)\,;\,(C,2)\}$ et $K = \text{bary}\{(B,3)\,;\,(C,2)\}$.

1. a) Vérifier que : $\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}$ ; $\overrightarrow{AF} = 2\,\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BK} = \dfrac{2}{5}\,\overrightarrow{BC}$.
   b) Construire les points $E$, $F$ et $K$.
   c) Tracer dans la figure précédente les droites $(CE)$, $(BF)$ et $(AK)$.
2. a) Montrer que $G$ est le milieu du segment $[CE]$.
   b) Montrer que $(CE)$, $(BF)$ et $(AK)$ sont concourantes en $G$.
3. a) Déterminer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
   b) Montrer que $A = \text{bary}\{(G,4)\,;\,(B,-3)\,;\,(C,-2)\}$.
4. a) Vérifier que : $\forall M \in (P) : -\overrightarrow{MA} + 3\,\overrightarrow{MB} + 2\,\overrightarrow{MC} = 4\,\overrightarrow{MG}$.
   b) Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan $(P)$ tels que : $$\left\| -\overrightarrow{MA} + 3\,\overrightarrow{MB} + 2\,\overrightarrow{MC} \right\| = 4\left\| \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AC} \right\|.$$

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\,;\,\overrightarrow{i}\,;\,\overrightarrow{j})$.

Soient $A(5\,;\,1)$, $B(-1\,;\,3)$ et $C(1\,;\,-1)$ trois points du plan.

1. a) Vérifier que $\overrightarrow{BA}(6\,;\,-2)$ ; $\overrightarrow{AC}(-4\,;\,-2)$ ; $\overrightarrow{BC}(2\,;\,-4)$.
   b) Calculer $\det(\overrightarrow{BC}\,;\,\overrightarrow{BA})$ ; $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}$ et les distances $BA$ et $BC$.
   c) Calculer $\cos\widehat{(\overrightarrow{BC}\,;\,\overrightarrow{BA})}$ et $\sin\widehat{(\overrightarrow{BC}\,;\,\overrightarrow{BA})}$.
   d) En déduire la mesure principale de l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{BC}\,;\,\overrightarrow{BA})}$.
2. Déterminer la nature du triangle $ABC$.
3. Calculer la surface du triangle $ABC$.
4. Déterminer les coordonnées de $K = \text{bary}\{(B,3)\,;\,(C,2)\}$.
5. a) Soit la droite $(D) : 2x + y + 1 = 0$ ; déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur $\overrightarrow{U}$ de $(D)$ et d'un vecteur normal $\overrightarrow{n}$ à $(D)$.
   b) Montrer que les droites $(D)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
6. Soient $(\Delta_1)$ la médiatrice de $[AB]$ et $(\Delta_2)$ la médiatrice de $[AC]$, et $I$, $J$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$.
   a) Déterminer les coordonnées de $I$ et de $J$.
   b) Déterminer une équation cartésienne de $(\Delta_1)$ puis de $(\Delta_2)$.
   c) Déterminer les coordonnées de $\Omega$ le centre du cercle $(C)$ circonscrit au triangle $ABC$.
   d) Déterminer une équation cartésienne du cercle $(C)$.
7. Déterminer l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ du plan tels que : $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = 4$.